Պյութագորասը պնդում էր, որ թիվը հիմնական տարրերի հետ միասին ընկած է աշխարհի հիմքում: Պլատոնը կարծում էր, որ թիվը կապում է երևույթն ու անունը՝ օգնելով ճանաչել, չափել և եզրակացություններ անել։ Թվաբանությունը առաջացել է «arithmos» բառից՝ թիվ, սկիզբ մաթեմատիկայի մեջ։ Այն կարող է նկարագրել ցանկացած առարկա՝ տարրական խնձորից մինչև վերացական տարածություններ:
Կարիքները որպես զարգացման գործոն
Հասարակության ձևավորման սկզբնական շրջանում մարդկանց կարիքները սահմանափակվում էին հաշվել պահելու անհրաժեշտությամբ՝ մեկ պարկ հացահատիկ, երկու պարկ հացահատիկ և այլն։ Դրա համար բավական էին բնական թվերը, որոնց ամբողջությունը. N ամբողջ թվերի անվերջ դրական հաջորդականություն.
Հետագայում մաթեմատիկայի՝ որպես գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, անհրաժեշտություն առաջացավ Z ամբողջ թվերի առանձին դաշտ՝ այն ներառում է բացասական արժեքներ և զրո։ Կենցաղային մակարդակում դրա հայտնվելը հրահրվել էր նրանով, որ առաջնային հաշվառման մեջ անհրաժեշտ էր ինչ-որ կերպ շտկելպարտքեր և կորուստներ. Գիտական մակարդակով բացասական թվերը հնարավորություն են տվել լուծել ամենապարզ գծային հավասարումները։ Ի թիվս այլ բաների, այժմ հնարավոր է դարձել չնչին կոորդինատային համակարգի պատկերը, քանի որ հայտնվել է հղման կետ:
Հաջորդ քայլը կոտորակային թվերի ներդրման անհրաժեշտությունն էր, քանի որ գիտությունը տեղում չէր, ավելի ու ավելի շատ հայտնագործություններ պահանջում էին տեսական հիմք աճի նոր խթանի համար: Այսպես է հայտնվել ռացիոնալ թվերի դաշտը Q.
Վերջապես, ռացիոնալությունը դադարեց բավարարել խնդրանքները, քանի որ բոլոր նոր եզրակացությունները պահանջում էին հիմնավորում: Այնտեղ հայտնվեց իրական թվերի R դաշտը, Էվկլիդեսի աշխատությունները որոշակի մեծությունների անհամեմատելիության մասին՝ պայմանավորված դրանց իռացիոնալությամբ։ Այսինքն՝ հին հույն մաթեմատիկոսները թիվը դիրքավորել են ոչ միայն որպես հաստատուն, այլև որպես վերացական մեծություն, որը բնութագրվում է անհամեմատելի մեծությունների հարաբերակցությամբ։ Իրական թվերի հայտնվելու պատճառով այնպիսի մեծություններ, ինչպիսիք են «pi»-ն և «e»-ն, «տեսան լույսը», առանց որոնց ժամանակակից մաթեմատիկան չէր կարող տեղի ունենալ։
Վերջնական նորամուծությունը C կոմպլեքս թիվն էր: Այն պատասխանեց մի շարք հարցերի և հերքեց նախկինում ներկայացված պոստուլատները: Հանրահաշվի արագ զարգացման շնորհիվ արդյունքը կանխատեսելի էր՝ իրական թվեր ունենալը, շատ խնդիրներ լուծելն անհնար էր։ Օրինակ՝ կոմպլեքս թվերի շնորհիվ աչքի ընկավ լարերի և քաոսի տեսությունը, իսկ հիդրոդինամիկայի հավասարումները ընդլայնվեցին։
Բազմությունների տեսություն. Cantor
Անսահմանության հայեցակարգը բոլոր ժամանակներումվեճեր առաջացրեց, քանի որ դա ոչ ապացուցելի էր, ոչ էլ հերքելու։ Մաթեմատիկայի համատեքստում, որը գործում էր խիստ ստուգված պոստուլատներով, դա դրսևորվեց առավել պարզ, հատկապես, որ աստվածաբանական ասպեկտը դեռևս կշիռ ուներ գիտության մեջ։
Սակայն մաթեմատիկոս Գեորգ Կանտորի աշխատանքի շնորհիվ ժամանակի ընթացքում ամեն ինչ իր տեղն ընկավ։ Նա ապացուցեց, որ կան անսահման թվով անսահման բազմություններ, և որ R դաշտը մեծ է N դաշտից, նույնիսկ եթե երկուսն էլ վերջ չունեն։ 19-րդ դարի կեսերին նրա գաղափարները բարձրաձայն անվանում էին անհեթեթություն և հանցագործություն դասական, անսասան կանոնների դեմ, բայց ժամանակն ամեն ինչ դրեց իր տեղը։
Դաշտի հիմնական հատկությունները R
Իրական թվերն ունեն ոչ միայն նույն հատկությունները, ինչ իրենց մեջ ներառված ենթաբազմությունները, այլև լրացվում են ուրիշներով՝ իրենց տարրերի մասշտաբով.
- Զրո գոյություն ունի և պատկանում է R դաշտին: c + 0=c R-ից ցանկացած c-ի համար:
- Զրո գոյություն ունի և պատկանում է R դաշտին: c x 0=0 ցանկացած c-ի համար R-ից։
- c: d հարաբերակցությունը d ≠ 0-ի համար գոյություն ունի և վավեր է R-ից ցանկացած c, d-ի համար։
- R դաշտը դասավորված է, այսինքն՝ եթե c ≦ d, d ≦ c, ապա c=d ցանկացած c, d R-ից
- R դաշտում հավելումը կոմուտատիվ է, այսինքն՝ c + d=d + c ցանկացած c-ի համար, d R-ից։
- R դաշտում բազմապատկումը կոմուտատիվ է, այսինքն՝ c x d=d x c ցանկացած c-ի համար, d R-ից։
- R դաշտում հավելումը ասոցիատիվ է, այսինքն՝ (c + d) + f=c + (d + f) ցանկացած c, d, f R-ի համար։
- R դաշտում բազմապատկումը ասոցիատիվ է, այսինքն՝ (c x d) x f=c x (d x f) ցանկացած c, d, f R-ի համար։
- R դաշտի յուրաքանչյուր թվի համար կա հակադիր, այնպիսին, որ c + (-c)=0, որտեղ c, -c-ը R-ից է:
- R դաշտի յուրաքանչյուր թվի համար կա նրա հակադարձ, այնպես, որ c x c-1 =1, որտեղ c, c-1 R.-ից
- Միավորը գոյություն ունի և պատկանում է R-ին, ուստի c x 1=c, R-ից ցանկացած c-ի համար:
- Բաշխման օրենքը վավեր է, ուստի c x (d + f)=c x d + c x f, ցանկացած c, d, f R-ից։
- R դաշտում զրոն հավասար չէ մեկի:
- R դաշտը անցումային է՝ եթե c ≦ d, d ≦ f, ապա c ≦ f R-ից ցանկացած c, d, f համար։
- R դաշտում կարգը և գումարումը փոխկապակցված են. եթե c ≦ d, ապա c + f ≦ d + f ցանկացած c, d, f R-ից
- R դաշտում կարգը և բազմապատկումը կապված են. եթե 0 ≦ c, 0 ≦ d, ապա 0 ≦ c x d ցանկացած c, d R-ից
- Եվ բացասական և դրական իրական թվերը շարունակական են, այսինքն՝ R-ից ցանկացած c, d-ի համար R-ից կա f այնպիսին, որ c ≦ f ≦ d:
Մոդուլ R դաշտում
Իրական թվերը ներառում են մոդուլ:
Նշվում է որպես |f| ցանկացած f-ի համար R-ից |f|=f, եթե 0 ≦ f և |f|=-f, եթե 0 > f. Եթե մոդուլը դիտարկենք որպես երկրաչափական մեծություն, ապա դա անցած տարածությունն է. կարևոր չէ՝ զրոյից մինուս եք «անցել», թե առաջ՝ գումարած:
Բարդ և իրական թվեր. Որո՞նք են նմանությունները և որո՞նք են տարբերությունները:
Մեծ հաշվով բարդ և իրական թվերը նույնն են, միայն թեերևակայական միավոր i, որի քառակուսին -1 է: R և C դաշտերի տարրերը կարող են ներկայացվել հետևյալ բանաձևով՝
c=d + f x i, որտեղ d, f-ը պատկանում է R դաշտին, իսկ i-ն երևակայական միավորն է:
Այս դեպքում R-ից c ստանալու համար f-ն ուղղակի հավասար է զրոյի, այսինքն՝ մնում է թվի իրական մասը։ Շնորհիվ այն բանի, որ կոմպլեքս թվերի դաշտն ունի նույն հատկությունների բազմությունը, ինչ իրական թվերի դաշտը, f x i=0, եթե f=0:
Ինչ վերաբերում է գործնական տարբերություններին, օրինակ, R դաշտում, քառակուսի հավասարումը չի լուծվում, եթե դիսկրիմինանտը բացասական է, մինչդեռ C դաշտը նման սահմանափակում չի դնում՝ երևակայական միավորի ներդրման պատճառով:
Արդյունքներ
Աքսիոմների և պոստուլատների «աղյուսները», որոնց վրա հիմնված է մաթեմատիկան, չեն փոխվում։ Տեղեկատվության ավելացման և նոր տեսությունների ներդրման շնորհիվ դրանցից մի քանիսի վրա դրվում են հետևյալ «աղյուսները», որոնք հետագայում կարող են հիմք դառնալ հաջորդ քայլի համար. Օրինակ, բնական թվերը, չնայած այն հանգամանքին, որ դրանք իրական R դաշտի ենթաբազմություն են, չեն կորցնում իրենց արդիականությունը։ Հենց դրանց վրա է հիմնված ամբողջ տարրական թվաբանությունը, որով սկսվում է աշխարհի մասին մարդու իմացությունը։
Գործնական տեսանկյունից իրական թվերը նման են ուղիղ գծի: Դրա վրա կարող եք ընտրել ուղղությունը, նշել ծագումը և քայլը: Ուղիղ գիծը բաղկացած է անսահման թվով կետերից, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է մեկ իրական թվի, անկախ նրանից՝ այն ռացիոնալ է, թե ոչ։ Նկարագրությունից պարզ է դառնում, որ խոսքը մի հայեցակարգի մասին է, որի վրա կառուցված է թե՛ մաթեմատիկան ընդհանրապես, թե՛ մաթեմատիկական վերլուծությունն ընդհանրապես։մասնավորապես.
