Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի հատուկ ճյուղ է, որն ուսումնասիրում են միայն բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողները։ Դուք սիրում եք հաշվարկներ և բանաձևեր: Չե՞ք վախենում նորմալ բաշխման, անսամբլի էնտրոպիայի, մաթեմատիկական ակնկալիքների և դիսկրետ պատահական փոփոխականի հետ ծանոթանալու հեռանկարներից: Այդ դեպքում այս թեման ձեզ շատ կհետաքրքրի։ Եկեք ծանոթանանք գիտության այս բաժնի կարևորագույն հիմնական հասկացություններին։
Հիշեք հիմունքները
Նույնիսկ եթե հիշում եք հավանականությունների տեսության ամենապարզ հասկացությունները, մի անտեսեք հոդվածի առաջին պարբերությունները: Փաստն այն է, որ առանց հիմունքների հստակ ընկալման, դուք չեք կարողանա աշխատել ստորև քննարկված բանաձևերի հետ:
Այսպիսով, կա ինչ-որ պատահական իրադարձություն, ինչ-որ փորձ: Կատարված գործողությունների արդյունքում մենք կարող ենք ստանալ մի քանի արդյունք՝ դրանցից մի քանիսն ավելի տարածված են, մյուսները՝ ավելի քիչ տարածված։ Իրադարձության հավանականությունը մեկ տեսակի փաստացի ստացված արդյունքների թվի հարաբերակցությունն է հնարավորների ընդհանուր թվին: Միայն իմանալով այս հայեցակարգի դասական սահմանումը, դուք կարող եք սկսել ուսումնասիրել շարունակականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:պատահական փոփոխականներ։
Թվաբանական միջին
Նույնիսկ դպրոցում, մաթեմատիկայի դասերին, սկսեցիր աշխատել միջին թվաբանականով։ Այս հայեցակարգը լայնորեն կիրառվում է հավանականությունների տեսության մեջ, ուստի այն չի կարելի անտեսել: Մեզ համար այս պահին գլխավորն այն է, որ մենք դրան կհանդիպենք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների բանաձևերում։
Մենք ունենք թվերի հաջորդականություն և ցանկանում ենք գտնել միջին թվաբանականը: Մեզնից պահանջվում է ընդամենը գումարել հասանելի ամեն ինչ և բաժանել հաջորդականության տարրերի քանակով: Թող ունենանք 1-ից մինչև 9 թվեր։ Տարրերի գումարը կլինի 45, և այս արժեքը կբաժանենք 9-ի։ Պատասխան՝ 5.
Dispersion
Գիտականորեն ասած, շեղումը ստացված հատկանիշի արժեքների շեղումների միջին քառակուսին է թվաբանական միջինից: Մեկը նշվում է մեծատառ լատինատառ D-ով: Ի՞նչ է անհրաժեշտ այն հաշվարկելու համար: Հերթականության յուրաքանչյուր տարրի համար մենք հաշվարկում ենք առկա թվի և միջին թվաբանականի տարբերությունը և քառակուսի ենք դարձնում այն: Կլինեն ճիշտ այնքան արժեքներ, որքան կարող են լինել մեր դիտարկած իրադարձության արդյունքները: Հաջորդը, մենք ամփոփում ենք ստացված ամեն ինչ և բաժանում ենք հաջորդականության տարրերի քանակին: Եթե ունենք հինգ հնարավոր արդյունք, ապա բաժանենք հինգի։
Դիսպերսիան ունի նաև հատկություններ, որոնք դուք պետք է հիշեք՝ այն կիրառելու համար խնդիրներ լուծելիս: Օրինակ, եթե պատահական փոփոխականն ավելանում է X անգամ, ապա շեղումը մեծանում է քառակուսու X անգամ (այսինքն՝ XX): Այն երբեք զրոյից պակաս չէ և կախված չէարժեքների տեղափոխում հավասար արժեքով վեր կամ վար: Բացի այդ, անկախ փորձարկումների դեպքում գումարի շեղումը հավասար է շեղումների գումարին:
Այժմ մենք անպայման պետք է դիտարկենք դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումների և մաթեմատիկական ակնկալիքների օրինակներ:
Ենթադրենք, որ մենք անցկացրինք 21 փորձ և ստացանք 7 տարբեր արդյունք: Նրանցից յուրաքանչյուրին դիտարկել ենք համապատասխանաբար 1, 2, 2, 3, 4, 4 և 5 անգամ։ Ո՞րն է լինելու տարբերությունը:
Նախ, եկեք հաշվարկենք միջին թվաբանականը. տարրերի գումարը, իհարկե, 21 է: Բաժանեք այն 7-ի և ստացեք 3: Այժմ յուրաքանչյուր թվից հանեք 3-ը սկզբնական հաջորդականության մեջ, յուրաքանչյուր արժեքը քառակուսիացրեք և գումարեք: արդյունքները միասին: Ստացվում է 12: Այժմ մեզ մնում է թիվը բաժանել տարրերի թվի վրա, և, կարծես թե, այսքանը: Բայց կա մի բռնում! Եկեք քննարկենք դա։
Կախվածություն փորձերի քանակից
Պարզվում է, որ շեղումը հաշվարկելիս հայտարարը կարող է լինել երկու թվերից մեկը՝ կա՛մ N, կա՛մ N-1: Այստեղ N-ը կատարված փորձերի կամ հաջորդականության տարրերի քանակն է (որը, ըստ էության, նույնն է)։ Ինչի՞ց է դա կախված։
Եթե թեստերի թիվը չափվում է հարյուրավորներով, ապա հայտարարի մեջ պետք է դնենք N, եթե միավորներով, ապա N-1: Գիտնականները որոշել են միանգամայն խորհրդանշական գծել եզրագիծը. այսօր այն անցնում է 30 թվի երկայնքով: Եթե մենք 30-ից պակաս փորձ կատարենք, ապա գումարը կբաժանենք N-1-ի, իսկ եթե ավելին, ապա N-ի:
-ի:
Առաջադրանք
Եկեք վերադառնանք շեղումների և ակնկալիքների խնդրի լուծման մեր օրինակին: Մենքստացել է 12 միջանկյալ թիվ, որը պետք է բաժանել N կամ N-1-ի։ Քանի որ մենք անցկացրել ենք 21 փորձ, որը 30-ից քիչ է, ապա կընտրենք երկրորդ տարբերակը։ Այսպիսով, պատասխանն է. շեղումը 12 / 2=2 է:
Սպասում
Անցնենք երկրորդ հայեցակարգին, որը պետք է դիտարկենք այս հոդվածում։ Մաթեմատիկական ակնկալիքը բոլոր հնարավոր արդյունքների գումարման արդյունքն է՝ բազմապատկված համապատասխան հավանականություններով: Կարևոր է հասկանալ, որ ստացված արժեքը, ինչպես նաև շեղումը հաշվարկելու արդյունքը, ստացվում է միայն մեկ անգամ ամբողջ առաջադրանքի համար, անկախ նրանից, թե որքան արդյունք է այն համարում:
Սպասումների բանաձևը բավականին պարզ է. մենք վերցնում ենք արդյունքը, այն բազմապատկում ենք իր հավանականությամբ, նույնը ավելացնում ենք երկրորդ, երրորդ արդյունքի համար և այլն: Այս հասկացության հետ կապված ամեն ինչ հեշտ է հաշվարկել: Օրինակ՝ մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարը հավասար է գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքին։ Նույնը վերաբերում է աշխատանքին։ Հավանականությունների տեսության մեջ ամեն մի մեծություն չէ, որ թույլ է տալիս նման պարզ գործողություններ կատարել։ Եկեք առաջադրանք վերցնենք և հաշվարկենք մեր ուսումնասիրած երկու հասկացությունների արժեքը: Բացի այդ, մեզ շեղել էր տեսությունը. ժամանակն է զբաղվելու։
Եվս մեկ օրինակ
Մենք անցկացրեցինք 50 փորձարկումներ և ստացանք 10 տեսակի արդյունքներ՝ թվեր 0-ից 9-ը՝ հայտնվելով տարբեր տոկոսներով: Դրանք են, համապատասխանաբար, 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Հիշեցնենք, որ հավանականությունները ստանալու համար անհրաժեշտ է տոկոսային արժեքները բաժանել 100-ի: Այսպիսով, մենք ստանում ենք 0,02; 0, 1 և այլն: Եկեք ներկայացնենք պատահականության շեղման համարարժեքը և մաթեմատիկական ակնկալիքը խնդրի լուծման օրինակ։
Հաշվե՛ք թվաբանական միջինը՝ օգտագործելով տարրական դպրոցից հիշվող բանաձևը՝ 50/10=5:
Այժմ եկեք թարգմանենք հավանականությունները «հատվածով» արդյունքների քանակով, որպեսզի ավելի հեշտ լինի հաշվելը: Ստանում ենք 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 և 9։ Ստացված յուրաքանչյուր արժեքից հանում ենք միջին թվաբանականը, որից հետո ստացված արդյունքներից յուրաքանչյուրը քառակուսի ենք տալիս։ Տեսեք, թե ինչպես դա անել՝ օգտագործելով առաջին տարրը որպես օրինակ՝ 1 - 5=(-4): Ավելին՝ (-4)(-4)=16: Այլ արժեքների համար կատարեք այս գործողությունները ինքներդ: Եթե ամեն ինչ ճիշտ եք արել, ապա բոլոր միջանկյալ արդյունքները ավելացնելուց հետո կստանաք 90։
Շարունակեք հաշվարկել դիսպերսիան և միջինը՝ 90-ը բաժանելով N-ի: Ինչու՞ ենք ընտրում N-ը և ոչ թե N-1-ը: Ճիշտ է, քանի որ կատարված փորձերի թիվը գերազանցում է 30-ը։ Այսպիսով՝ 90/10=9։ Ստացանք դիսպերսիան։ Եթե դուք ստանում եք այլ թիվ, մի հուսահատվեք: Ամենայն հավանականությամբ, հաշվարկների մեջ բանական սխալ եք թույլ տվել։ Կրկնակի ստուգեք, թե ինչ եք գրել, և ամեն ինչ անպայման իր տեղը կընկնի։
Վերջապես հիշենք ակնկալիքների բանաձևը. Մենք չենք տա բոլոր հաշվարկները, մենք կգրենք միայն պատասխանը, որով կարող եք ստուգել բոլոր պահանջվող ընթացակարգերը կատարելուց հետո։ Ակնկալիքը հավասար կլինի 5-ի, 48-ի: Մենք միայն հիշում ենք, թե ինչպես պետք է իրականացնել գործողություններ՝ օգտագործելով առաջին տարրերի օրինակը՝ 00, 02 + 10, 1… և այլն: Ինչպես տեսնում եք, մենք պարզապես արդյունքի արժեքը բազմապատկում ենք դրա հավանականությամբ:
Շեղում
Մեկ այլ հասկացություն, որը սերտորեն կապված է շեղումների և ակնկալվող արժեքի հետստանդարտ շեղում. Նշվում է կա՛մ լատինատառ sd, կա՛մ հունարեն փոքրատառ «sigma»-ով։ Այս հայեցակարգը ցույց է տալիս, թե միջինում ինչպես են արժեքները շեղվում կենտրոնական հատկանիշից: Դրա արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դիսպերսիայի քառակուսի արմատը:
Եթե դուք կառուցում եք նորմալ բաշխման գրաֆիկ և ցանկանում եք ուղղակիորեն դրա վրա տեսնել ստանդարտ շեղման արժեքը, դա կարելի է անել մի քանի փուլով: Վերցրեք նկարի կեսը ռեժիմից ձախ կամ աջ (կենտրոնական արժեք), ուղղահայաց գծեք հորիզոնական առանցքին, որպեսզի ստացված պատկերների մակերեսները հավասար լինեն։ Բաշխման միջնամասի և հորիզոնական առանցքի վրա ստացված պրոյեկցիայի միջև ընկած հատվածի արժեքը կլինի ստանդարտ շեղումը:
Ծրագրաշար
Ինչպես երևում է բանաձևերի նկարագրություններից և ներկայացված օրինակներից, շեղումների և մաթեմատիկական ակնկալիքների հաշվարկը թվաբանական տեսանկյունից ամենահեշտ ընթացակարգը չէ: Ժամանակ չկորցնելու համար իմաստ ունի օգտագործել բարձրագույն կրթության մեջ օգտագործվող ծրագիրը՝ այն կոչվում է «R»: Այն ունի գործառույթներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել շատ հասկացությունների արժեքներ վիճակագրությունից և հավանականությունների տեսությունից:
Օրինակ, դուք սահմանում եք արժեքների վեկտոր: Դա արվում է հետևյալ կերպ. վեկտոր <-c(1, 5, 2…): Այժմ, երբ դուք պետք է հաշվարկեք որոշ արժեքներ այս վեկտորի համար, դուք գրում եք ֆունկցիա և տալիս այն որպես փաստարկ: Տարբերությունը գտնելու համար հարկավոր է օգտագործել var: Նրա օրինակըօգտագործումը՝ var (վեկտոր): Այնուհետև դուք պարզապես սեղմեք «enter» և ստացեք արդյունքը:
Եզրակացություն
Վարիանսը և մաթեմատիկական ակնկալիքը հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացություններն են, առանց որոնց ապագայում դժվար է որևէ բան հաշվարկել: Բուհերում դասախոսությունների հիմնական դասընթացում դրանք դիտարկվում են առարկայի ուսումնասիրման արդեն առաջին ամիսներին։ Հենց այս պարզ հասկացությունների չհասկանալու և դրանք հաշվարկելու անկարողության պատճառով է, որ շատ ուսանողներ անմիջապես սկսում են հետ մնալ ծրագրից և ավելի ուշ դասընթացի վերջում ստանում են վատ գնահատականներ, ինչը նրանց զրկում է կրթաթոշակներից:
Գործեք առնվազն մեկ շաբաթ օրական կես ժամ՝ լուծելով այս հոդվածում ներկայացված խնդիրներին նմանվող խնդիրներ: Այնուհետև հավանականությունների տեսության ցանկացած թեստի ժամանակ դուք կհաղթահարեք օրինակներ՝ առանց կողմնակի խորհուրդների և խաբեության թերթիկների:
