Ստերեոմետրիան՝ որպես տարածության երկրաչափության ճյուղ, ուսումնասիրում է պրիզմաների, գլանների, կոնների, գնդերի, բուրգերի և այլ եռաչափ պատկերների հատկությունները։ Այս հոդվածը նվիրված է վեցանկյուն կանոնավոր բուրգի բնութագրերի և հատկությունների մանրամասն վերանայմանը:
Ո՞ր բուրգը կուսումնասիրվի
Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգը տարածության մեջ գտնվող պատկեր է, որը սահմանափակված է մեկ հավասարակողմ և հավասարանկյուն վեցանկյունով և վեց միանման հավասարաչափ եռանկյուններով: Այս եռանկյունները կարող են նաև լինել հավասարակողմ որոշակի պայմաններում: Այս բուրգը ներկայացված է ստորև։
Այստեղ ներկայացված է նույն պատկերը, միայն մի դեպքում այն շրջված է կողային երեսով դեպի ընթերցողը, իսկ մյուս դեպքում՝ կողային եզրով։
Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգն ունի 7 երես, որոնք վերը նշված էին: Այն ունի նաև 7 գագաթ և 12 եզր։ Ի տարբերություն պրիզմայի, բոլոր բուրգերն ունեն մեկ հատուկ գագաթ, որը ձևավորվում է կողայինի հատման արդյունքում:եռանկյուններ. Սովորական բուրգի համար այն կարևոր դեր է խաղում, քանի որ դրանից մինչև գործչի հիմքը իջեցված ուղղահայացը բարձրությունն է: Ավելին, բարձրությունը կնշանակվի h տառով:
Ցուցադրված բուրգը ճիշտ է կոչվում երկու պատճառով.
- իր հիմքում վեցանկյուն է՝ հավասար կողմերի երկարություններով a և հավասար անկյուններով 120o;
- H բուրգի բարձրությունը հատում է վեցանկյունը հենց իր կենտրոնում (հատման կետը գտնվում է վեցանկյան բոլոր կողմերից և բոլոր գագաթներից նույն հեռավորության վրա):
Մակերևույթ
Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի հատկությունները կդիտարկվեն նրա տարածքի սահմանումից: Դա անելու համար նախ օգտակար է գործիչը հարթել հարթության վրա: Դրա սխեմատիկ ներկայացումը ներկայացված է ստորև:
Կարելի է տեսնել, որ մաքրման մակերեսը և, հետևաբար, դիտարկվող պատկերի ամբողջ մակերեսը հավասար է վեց միանման եռանկյունների և մեկ վեցանկյունի մակերեսների գումարին:
Վեցանկյան S6 տարածքը որոշելու համար օգտագործեք կանոնավոր n-գոնի համընդհանուր բանաձևը՝
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Որտեղ a-ն վեցանկյան կողմի երկարությունն է։
Կողային կողմի S3 մակերեսը կարելի է գտնել, եթե գիտեք նրա բարձրության արժեքը hb:
S3=1/2hba.
Որովհետև բոլոր վեցըեռանկյունները հավասար են միմյանց, այնուհետև մենք ստանում ենք աշխատանքային արտահայտություն՝ ճիշտ հիմքով վեցանկյուն բուրգի մակերեսը որոշելու համար՝
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Բուրգի ծավալ
Ինչպես տարածքը, վեցանկյուն կանոնավոր բուրգի ծավալը նրա կարևոր հատկությունն է: Այս ծավալը հաշվարկվում է բոլոր բուրգերի և կոնների ընդհանուր բանաձևով։ Եկեք գրենք:
V=1/3Soժ.
Այստեղ So նշանը վեցանկյուն հիմքի մակերեսն է, այսինքն՝ So=S 6.
Վերոնշյալ արտահայտությունը S6-ով փոխարինելով V-ի բանաձևով, մենք հասնում ենք կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալը որոշելու վերջնական հավասարությանը.
V=√3/2a2ժ.
Երկրաչափական խնդրի օրինակ
Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգում կողային եզրը երկու անգամ մեծ է հիմքի կողմի երկարությունից: Իմանալով, որ վերջինս 7 սմ է, անհրաժեշտ է հաշվարկել այս ցուցանիշի մակերեսը և ծավալը։
Ինչպես կարող եք կռահել, այս խնդրի լուծումը ներառում է S-ի և V-ի համար վերևում ստացված արտահայտությունների օգտագործումը: Այնուամենայնիվ, դրանք անմիջապես հնարավոր չի լինի օգտագործել, քանի որ մենք չգիտենք ապոտեմը և կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի բարձրությունը: Եկեք հաշվարկենք դրանք։
hb ապոտեմը կարելի է որոշել՝ դիտարկելով b, a/2 և hb կողմերի վրա կառուցված ուղղանկյուն եռանկյունը: Այստեղ b-ն կողային եզրի երկարությունն է: Օգտագործելով խնդրի պայմանը, մենք ստանում ենք՝
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 սմ.
Բուրգի h բարձրությունը կարող է որոշվել ճիշտ այնպես, ինչպես ապոտեմը, բայց այժմ մենք պետք է դիտարկենք h, b և a կողմերով եռանկյունին, որը գտնվում է բուրգի ներսում: Բարձրությունը կլինի՝
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 սմ.
Կարելի է տեսնել, որ հաշվարկված բարձրության արժեքն ավելի փոքր է, քան ապոտեմի համարը, որը ճիշտ է ցանկացած բուրգի համար:
Այժմ կարող եք օգտագործել արտահայտություններ ծավալի և տարածքի համար՝
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 սմ2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48սմ3.
Այսպիսով, կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի որևէ հատկանիշ միանշանակորեն որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա գծային պարամետրերից երկուսը:
