Նույնիսկ դպրոցում բոլոր աշակերտները ծանոթանում են «էվկլիդյան երկրաչափություն» հասկացությանը, որի հիմնական դրույթները կենտրոնացած են մի քանի աքսիոմների շուրջ՝ հիմնված այնպիսի երկրաչափական տարրերի վրա, ինչպիսիք են կետը, հարթությունը, ուղիղը, շարժումը։ Նրանք բոլորը միասին կազմում են այն, ինչը վաղուց հայտնի է եղել «էվկլիդյան տարածություն» տերմինով:
Էվկլիդեսյան տարածությունը, որի սահմանումը հիմնված է վեկտորների սկալյար բազմապատկման հայեցակարգի վրա, գծային (աֆինային) տարածության հատուկ դեպք է, որը բավարարում է մի շարք պահանջներ։ Նախ՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը բացարձակ սիմետրիկ է, այսինքն՝ (x;y) կոորդինատներով վեկտորը քանակապես նույնական է (y;x) կոորդինատներով վեկտորին, բայց հակառակ ուղղությամբ։
Երկրորդ, եթե կատարվի իր հետ վեկտորի սկալյար արտադրյալը, ապա այս գործողության արդյունքը կլինի դրական: Միակ բացառությունը կլինի այն դեպքը, երբ այս վեկտորի սկզբնական և վերջնական կոորդինատները հավասար են զրոյի. այս դեպքում նրա արտադրյալն ինքն իր հետ նույնպես հավասար կլինի զրոյի։
Երրորդ՝ սկալյար արտադրյալը բաշխիչ է, այսինքն՝ հնարավոր է նրա կոորդինատներից մեկը տարրալուծել երկու արժեքների գումարի, ինչը չի հանգեցնի վեկտորների սկալյար բազմապատկման վերջնական արդյունքի որևէ փոփոխության։ Վերջապես, չորրորդը, երբ վեկտորները բազմապատկվում են նույն իրական թվով, նրանց սկալյար արտադրյալը նույնպես կաճի նույն գործակցով։
Եթե այս բոլոր չորս պայմանները բավարարվեն, մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ մենք ունենք էվկլիդեսյան տարածություն:
Էվկլիդյան տարածությունը գործնական տեսանկյունից կարելի է բնութագրել հետևյալ հատուկ օրինակներով.
- Ամենապարզ դեպքը երկրաչափության հիմնական օրենքների համաձայն սահմանված սկալյար արտադրյալով վեկտորների մի շարքի առկայությունն է:
- Եվկլիդեսյան տարածություն կստացվի նաև, եթե վեկտորներով նկատի ունենանք իրական թվերի որոշակի վերջավոր բազմություն՝ տրված բանաձևով, որը նկարագրում է դրանց սկալային գումարը կամ արտադրյալը։
- Էվկլիդյան տարածության հատուկ դեպքը այսպես կոչված զրոյական տարածությունն է, որը ստացվում է, եթե երկու վեկտորների սկալյար երկարությունը հավասար է զրոյի։
Էվկլիդեսյան տարածությունն ունի մի շարք հատուկ հատկություններ: Նախ՝ սկալյար գործոնը կարելի է փակագծերից հանել սկալյար արտադրյալի և՛ առաջին, և՛ երկրորդ գործակիցից, դրանից արդյունքը ոչ մի կերպ չի փոխվի։ Երկրորդ՝ սկալարի առաջին տարրի բաշխվածության հետ մեկտեղարտադրանքը, գործում է նաև երկրորդ տարրի բաշխվածությունը։ Բացի այդ, բացի վեկտորների սկալյար գումարից, բաշխվածություն է տեղի ունենում նաև վեկտորի հանման դեպքում։ Վերջապես, երրորդը, երբ վեկտորը սանդղակի չափով բազմապատկվում է զրոյով, արդյունքը նույնպես կլինի զրո:
Այսպիսով, Էվկլիդյան տարածությունը ամենակարեւոր երկրաչափական հասկացությունն է, որն օգտագործվում է վեկտորների փոխադարձ դասավորության հետ կապված խնդիրները լուծելու համար, որը բնութագրվում է այնպիսի հասկացությամբ, ինչպիսին է սկալյար արտադրյալը:
