Քառակուսի արմատ պարունակող թվային արտահայտությունների հետ աշխատելու ունակությունը անհրաժեշտ է OGE-ի և USE-ի մի շարք խնդիրների հաջող լուծման համար: Այս քննություններում սովորաբար բավարար է հիմնական պատկերացումն այն մասին, թե ինչ է արմատահանումը և ինչպես է այն իրականացվում գործնականում:
Սահմանում
X թվի n-րդ արմատը x թիվ է, որի համար հավասարությունը ճիշտ է. xn =X.
Արմատով արտահայտության արժեքը գտնելը նշանակում է գտնել x տրված X-ը և n-ը:
Քառակուսի արմատը կամ, որը նույնն է, X-ի երկրորդ արմատը - x թիվը, որի համար հավասարությունը բավարարված է. x2 =X.
Նշանակում՝ ∛Х. Այստեղ 3-ը արմատի աստիճանն է, X-ը՝ արմատային արտահայտությունը։ «√» նշանը հաճախ կոչվում է ռադիկալ:
Եթե արմատից վերևի թիվը ցույց չի տալիս աստիճանը, ապա կանխադրվածը 2 աստիճանն է։
Դպրոցական դասընթացում նույնիսկ աստիճանների համար բացասական արմատները և արմատական արտահայտությունները սովորաբար հաշվի չեն առնվում: Օրինակ՝ չկա√-2, իսկ √4 արտահայտության համար ճիշտ պատասխանը 2 է, չնայած այն հանգամանքին, որ (-2)2 նույնպես հավասար է 4:
Արմատների ռացիոնալությունն ու իռացիոնալությունը
Արմատի հետ կապված ամենապարզ առաջադրանքը արտահայտության արժեքը գտնելն է կամ դրա ռացիոնալության ստուգումը:
Օրինակ, հաշվարկեք արժեքները √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, քանի որ 52 =25;
- ∛8=2, քանի որ 23 =8;
- ∛ - 125=-5 քանի որ (-5)3 =-125.
Տրված օրինակներում տրված պատասխանները ռացիոնալ թվեր են։
Բառացի հաստատուններ և փոփոխականներ չպարունակող արտահայտությունների հետ աշխատելիս խորհուրդ է տրվում միշտ նման ստուգում կատարել՝ օգտագործելով բնական հզորության բարձրացման հակադարձ գործողությունը: X թիվը n-րդ աստիճանին համարժեք է x-ի n գործակիցների արտադրյալի հաշվարկին։
Կան արմատով բազմաթիվ արտահայտություններ, որոնց արժեքը իռացիոնալ է, այսինքն՝ գրված է որպես անսահման ոչ պարբերական կոտորակ։
Ըստ սահմանման, ռացիոնալները նրանք են, որոնք կարող են արտահայտվել որպես ընդհանուր կոտորակ, իսկ իռացիոնալները բոլոր մյուս իրական թվերն են:
Դրանք ներառում են √24, √0, 1, √101:
Եթե խնդրի գրքում ասվում է. գտե՛ք 2, 3, 5, 6, 7 և այլն արմատ ունեցող արտահայտության արժեքը, այսինքն՝ այն բնական թվերից, որոնք չեն պարունակվում քառակուսիների աղյուսակում։, ապա ճիշտ պատասխանն է՝ √ կարող է լինել 2 (եթե այլ բան նշված չէ):
Գնահատում
Խնդիրների մեջբաց պատասխան, եթե անհնար է գտնել արմատով արտահայտության արժեքը և այն գրել որպես ռացիոնալ թիվ, արդյունքը պետք է թողնել որպես ռադիկալ։
Որոշ առաջադրանքներ կարող են պահանջել գնահատում: Օրինակ, համեմատեք 6-ը և √37-ը: Լուծումը պահանջում է երկու թվերի քառակուսում և արդյունքների համեմատություն: Երկու թվերից ավելի մեծ է այն, ում քառակուսին ավելի մեծ է: Այս կանոնը գործում է բոլոր դրական թվերի համար՝
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- միջոցներ √37 > 6.
Նույն ձևով լուծվում են խնդիրներ, որոնցում մի քանի թվեր պետք է դասավորվեն աճման կամ նվազման կարգով:
Օրինակ՝ դասավորել 5, √6, √48, √√64 աճման կարգով։
Քառակուսուցումից հետո ունենք՝ 25, 6, 48, √64: Կարելի է բոլոր թվերը նորից քառակուսի դնել √64-ի հետ համեմատելու համար, բայց դա հավասար է 8-ի ռացիոնալ թվին:
Արտահայտության պարզեցում
Պատահում է, որ անհնար է գտնել արմատ ունեցող արտահայտության արժեքը, ուստի այն պետք է պարզեցնել։ Հետևյալ բանաձևը օգնում է դրան.
√ab=√a√b.
Երկու թվերի արտադրյալի արմատը հավասար է նրանց արմատների արտադրյալին։ Այս գործողությունը կպահանջի նաև թվերի ֆակտորիզացիայի հնարավորություն:
Սկզբնական փուլում աշխատանքը արագացնելու համար խորհուրդ է տրվում ձեռքի տակ ունենալ պարզ թվերի և քառակուսիների աղյուսակ։ Այս սեղանները հաճախակիապագայում օգտագործելը կհիշվի:
Օրինակ, √242-ը իռացիոնալ թիվ է, կարող եք այն փոխարկել այսպես.
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Սովորաբար արդյունքը գրվում է որպես 11√2 (կարդացեք՝ տասնմեկ արմատ երկուսից):
Եթե դժվար է անմիջապես տեսնել, թե որ երկու գործոնի մեջ է անհրաժեշտ տարրալուծվել թիվը, որպեսզի դրանցից մեկից բնական արմատ հանվի, կարող եք օգտագործել ամբողջական տարրալուծումը պարզ գործոնների: Եթե ընդլայնման ժամանակ նույն պարզ թիվը կրկնվում է, այն հանվում է արմատային նշանից։ Երբ կան բազմաթիվ գործոններ, դուք կարող եք արմատը հանել մի քանի քայլով:
Օրինակ՝ √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5): Թիվ 2-ն առաջանում է ընդլայնման մեջ 2 անգամ (իրականում, ավելի քան երկու անգամ, բայց մեզ դեռ հետաքրքրում են ընդլայնման առաջին երկու դեպքերը):
Հանում ենք այն արմատի նշանի տակից՝
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 √ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Կրկնեք նույն գործողությունը՝
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Մնացած արմատական արտահայտության մեջ 2-ը և 3-ը տեղի են ունենում մեկ անգամ, ուստի մնում է հանել 5 գործակիցը:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
և կատարել թվաբանական գործողություններ՝
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Այսպիսով, մենք ստանում ենք √2400=20√6:
Եթե առաջադրանքում հստակ նշված չէ. «գտեք արտահայտության արժեքը քառակուսի արմատով», ապա ընտրությունը,թե ինչ ձևով թողնել պատասխանը (արդյո՞ք արմատը հանել արմատականի տակից) մնում է ուսանողին և կարող է կախված լինել լուծվող խնդրից։
Սկզբում բարձր պահանջներ են դրվում առաջադրանքների նախագծման, հաշվարկի, ներառյալ բանավոր կամ գրավոր, առանց տեխնիկական միջոցների օգտագործման:
Միայն իռացիոնալ թվային արտահայտությունների հետ աշխատելու կանոններին լավ տիրապետելուց հետո իմաստ ունի անցնել ավելի բարդ բառացի արտահայտությունների և իռացիոնալ հավասարումների լուծմանը և արտահայտության հնարավոր արժեքների տիրույթը հաշվարկելուն: արմատական.
Ուսանողները բախվում են այս տիպի խնդրի մաթեմատիկայի միասնական պետական քննության ժամանակ, ինչպես նաև մասնագիտացված բուհերի առաջին կուրսում՝ մաթեմատիկական վերլուծություն և հարակից առարկաներ ուսումնասիրելիս:
