Ինչպես գտնել արմատներով արտահայտության արժեքը՝ խնդիրների տեսակները, լուծման մեթոդները, օրինակները

Ինչպես գտնել արմատներով արտահայտության արժեքը՝ խնդիրների տեսակները, լուծման մեթոդները, օրինակները
Ինչպես գտնել արմատներով արտահայտության արժեքը՝ խնդիրների տեսակները, լուծման մեթոդները, օրինակները
Anonim

Քառակուսի արմատ պարունակող թվային արտահայտությունների հետ աշխատելու ունակությունը անհրաժեշտ է OGE-ի և USE-ի մի շարք խնդիրների հաջող լուծման համար: Այս քննություններում սովորաբար բավարար է հիմնական պատկերացումն այն մասին, թե ինչ է արմատահանումը և ինչպես է այն իրականացվում գործնականում:

Քառակուսի արմատ
Քառակուսի արմատ

Սահմանում

X թվի n-րդ արմատը x թիվ է, որի համար հավասարությունը ճիշտ է. xn =X.

Արմատով արտահայտության արժեքը գտնելը նշանակում է գտնել x տրված X-ը և n-ը:

Քառակուսի արմատը կամ, որը նույնն է, X-ի երկրորդ արմատը - x թիվը, որի համար հավասարությունը բավարարված է. x2 =X.

Նշանակում՝ ∛Х. Այստեղ 3-ը արմատի աստիճանն է, X-ը՝ արմատային արտահայտությունը։ «√» նշանը հաճախ կոչվում է ռադիկալ:

Եթե արմատից վերևի թիվը ցույց չի տալիս աստիճանը, ապա կանխադրվածը 2 աստիճանն է։

Դպրոցական դասընթացում նույնիսկ աստիճանների համար բացասական արմատները և արմատական արտահայտությունները սովորաբար հաշվի չեն առնվում: Օրինակ՝ չկա√-2, իսկ √4 արտահայտության համար ճիշտ պատասխանը 2 է, չնայած այն հանգամանքին, որ (-2)2 նույնպես հավասար է 4:

Արմատների ռացիոնալությունն ու իռացիոնալությունը

Արմատի հետ կապված ամենապարզ առաջադրանքը արտահայտության արժեքը գտնելն է կամ դրա ռացիոնալության ստուգումը:

Օրինակ, հաշվարկեք արժեքները √25; ∛8; ∛-125:

  • √25=5, քանի որ 52 =25;
  • ∛8=2, քանի որ 23 =8;
  • ∛ - 125=-5 քանի որ (-5)3 =-125.

Տրված օրինակներում տրված պատասխանները ռացիոնալ թվեր են։

Բառացի հաստատուններ և փոփոխականներ չպարունակող արտահայտությունների հետ աշխատելիս խորհուրդ է տրվում միշտ նման ստուգում կատարել՝ օգտագործելով բնական հզորության բարձրացման հակադարձ գործողությունը: X թիվը n-րդ աստիճանին համարժեք է x-ի n գործակիցների արտադրյալի հաշվարկին։

Կան արմատով բազմաթիվ արտահայտություններ, որոնց արժեքը իռացիոնալ է, այսինքն՝ գրված է որպես անսահման ոչ պարբերական կոտորակ։

Ըստ սահմանման, ռացիոնալները նրանք են, որոնք կարող են արտահայտվել որպես ընդհանուր կոտորակ, իսկ իռացիոնալները բոլոր մյուս իրական թվերն են:

Դրանք ներառում են √24, √0, 1, √101:

Եթե խնդրի գրքում ասվում է. գտե՛ք 2, 3, 5, 6, 7 և այլն արմատ ունեցող արտահայտության արժեքը, այսինքն՝ այն բնական թվերից, որոնք չեն պարունակվում քառակուսիների աղյուսակում։, ապա ճիշտ պատասխանն է՝ √ կարող է լինել 2 (եթե այլ բան նշված չէ):

մաթեմատիկական նշաններ
մաթեմատիկական նշաններ

Գնահատում

Խնդիրների մեջբաց պատասխան, եթե անհնար է գտնել արմատով արտահայտության արժեքը և այն գրել որպես ռացիոնալ թիվ, արդյունքը պետք է թողնել որպես ռադիկալ։

Որոշ առաջադրանքներ կարող են պահանջել գնահատում: Օրինակ, համեմատեք 6-ը և √37-ը: Լուծումը պահանջում է երկու թվերի քառակուսում և արդյունքների համեմատություն: Երկու թվերից ավելի մեծ է այն, ում քառակուսին ավելի մեծ է: Այս կանոնը գործում է բոլոր դրական թվերի համար՝

  • 62 =36;
  • 372 =37;
  • 37 >36;
  • միջոցներ √37 > 6.

Նույն ձևով լուծվում են խնդիրներ, որոնցում մի քանի թվեր պետք է դասավորվեն աճման կամ նվազման կարգով:

Օրինակ՝ դասավորել 5, √6, √48, √√64 աճման կարգով։

Քառակուսուցումից հետո ունենք՝ 25, 6, 48, √64: Կարելի է բոլոր թվերը նորից քառակուսի դնել √64-ի հետ համեմատելու համար, բայց դա հավասար է 8-ի ռացիոնալ թվին:

երեխա կավիճով
երեխա կավիճով

Արտահայտության պարզեցում

Պատահում է, որ անհնար է գտնել արմատ ունեցող արտահայտության արժեքը, ուստի այն պետք է պարզեցնել։ Հետևյալ բանաձևը օգնում է դրան.

√ab=√a√b.

Երկու թվերի արտադրյալի արմատը հավասար է նրանց արմատների արտադրյալին։ Այս գործողությունը կպահանջի նաև թվերի ֆակտորիզացիայի հնարավորություն:

Սկզբնական փուլում աշխատանքը արագացնելու համար խորհուրդ է տրվում ձեռքի տակ ունենալ պարզ թվերի և քառակուսիների աղյուսակ։ Այս սեղանները հաճախակիապագայում օգտագործելը կհիշվի:

Օրինակ, √242-ը իռացիոնալ թիվ է, կարող եք այն փոխարկել այսպես.

  • 242=2 × 121;
  • √242=√(2 × 121);
  • √2 × √121=√2 × 11.

Սովորաբար արդյունքը գրվում է որպես 11√2 (կարդացեք՝ տասնմեկ արմատ երկուսից):

Եթե դժվար է անմիջապես տեսնել, թե որ երկու գործոնի մեջ է անհրաժեշտ տարրալուծվել թիվը, որպեսզի դրանցից մեկից բնական արմատ հանվի, կարող եք օգտագործել ամբողջական տարրալուծումը պարզ գործոնների: Եթե ընդլայնման ժամանակ նույն պարզ թիվը կրկնվում է, այն հանվում է արմատային նշանից։ Երբ կան բազմաթիվ գործոններ, դուք կարող եք արմատը հանել մի քանի քայլով:

Օրինակ՝ √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5): Թիվ 2-ն առաջանում է ընդլայնման մեջ 2 անգամ (իրականում, ավելի քան երկու անգամ, բայց մեզ դեռ հետաքրքրում են ընդլայնման առաջին երկու դեպքերը):

Հանում ենք այն արմատի նշանի տակից՝

√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 √ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).

Կրկնեք նույն գործողությունը՝

2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).

Մնացած արմատական արտահայտության մեջ 2-ը և 3-ը տեղի են ունենում մեկ անգամ, ուստի մնում է հանել 5 գործակիցը:

2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);

և կատարել թվաբանական գործողություններ՝

5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք √2400=20√6:

Եթե առաջադրանքում հստակ նշված չէ. «գտեք արտահայտության արժեքը քառակուսի արմատով», ապա ընտրությունը,թե ինչ ձևով թողնել պատասխանը (արդյո՞ք արմատը հանել արմատականի տակից) մնում է ուսանողին և կարող է կախված լինել լուծվող խնդրից։

Սկզբում բարձր պահանջներ են դրվում առաջադրանքների նախագծման, հաշվարկի, ներառյալ բանավոր կամ գրավոր, առանց տեխնիկական միջոցների օգտագործման:

Միայն իռացիոնալ թվային արտահայտությունների հետ աշխատելու կանոններին լավ տիրապետելուց հետո իմաստ ունի անցնել ավելի բարդ բառացի արտահայտությունների և իռացիոնալ հավասարումների լուծմանը և արտահայտության հնարավոր արժեքների տիրույթը հաշվարկելուն: արմատական.

Ուսանողները բախվում են այս տիպի խնդրի մաթեմատիկայի միասնական պետական քննության ժամանակ, ինչպես նաև մասնագիտացված բուհերի առաջին կուրսում՝ մաթեմատիկական վերլուծություն և հարակից առարկաներ ուսումնասիրելիս:

Խորհուրդ ենք տալիս: