Ստերեոմետրիայի տարածված խնդիրներից են ուղիղ գծերն ու հարթությունները հատելու և նրանց միջև անկյունները հաշվելու առաջադրանքները: Եկեք այս հոդվածում ավելի մանրամասն քննարկենք, այսպես կոչված, կոորդինատային մեթոդը և գծի և հարթության միջև ընկած անկյունները:
Գիծ և հարթություն երկրաչափության մեջ
Նախքան կոորդինատների մեթոդը և ուղիղի և հարթության անկյունը դիտարկելը, դուք պետք է ծանոթանաք նշված երկրաչափական օբյեկտներին։
Ուղիղը տարածության կամ հարթության վրա գտնվող կետերի այնպիսի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ՝ նախորդը գծային կերպով փոխանցելով որոշակի վեկտոր: Հետևյալում մենք այս վեկտորը նշում ենք u¯ խորհրդանիշով: Եթե այս վեկտորը բազմապատկվում է որևէ թվով, որը հավասար չէ զրոյի, ապա մենք ստանում ենք u¯-ին զուգահեռ վեկտոր: Տողը գծային անսահման օբյեկտ է։
Հարթությունը նաև կետերի հավաքածու է, որոնք տեղակայված են այնպես, որ եթե դրանցից կամայական վեկտորներ կազմեք, ապա դրանք բոլորը ուղղահայաց կլինեն որոշ n¯ վեկտորի վրա: Վերջինս կոչվում է նորմալ կամ պարզապես նորմալ։Հարթությունը, ի տարբերություն ուղիղ գծի, երկչափ անսահման օբյեկտ է։
Երկրաչափության խնդիրների լուծման կոորդինատային մեթոդ
Ելնելով հենց մեթոդի անվանումից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ խոսքը խնդիրների լուծման մեթոդի մասին է, որը հիմնված է վերլուծական հաջորդական հաշվարկների կատարման վրա։ Այլ կերպ ասած, կոորդինատային մեթոդը թույլ է տալիս լուծել երկրաչափական խնդիրներ՝ օգտագործելով համընդհանուր հանրահաշվի գործիքներ, որոնցից հիմնականը հավասարումներ են։
Հարկ է նշել, որ դիտարկվող մեթոդը ի հայտ է եկել ժամանակակից երկրաչափության և հանրահաշվի արշալույսին։ Նրա զարգացման գործում մեծ ներդրում են ունեցել Ռենե Դեկարտը, Պիեռ դե Ֆերմատը, Իսահակ Նյուտոնը և Լայբնիցը 17-18-րդ դարերում։
Մեթոդի էությունը հայտնի կետերի կոորդինատների հիման վրա երկրաչափական տարրերի հեռավորությունները, անկյունները, մակերեսները և ծավալները հաշվարկելն է։ Նշենք, որ ստացված վերջնական հավասարումների ձևը կախված է կոորդինատային համակարգից: Ամենից հաճախ ուղղանկյուն դեկարտյան համակարգը օգտագործվում է խնդիրների դեպքում, քանի որ դրա հետ աշխատելն առավել հարմար է։
Գծային հավասարում
Հաշվի առնելով կոորդինատային մեթոդը և ուղիղի և հարթության միջև ընկած անկյունները, սկսենք ուղիղի հավասարումը սահմանելուց: Տողերը հանրահաշվական ձևով ներկայացնելու մի քանի եղանակ կա: Այստեղ մենք դիտարկում ենք միայն վեկտորային հավասարումը, քանի որ այն կարելի է հեշտությամբ ստանալ դրանից ցանկացած այլ ձևով և հեշտ է աշխատել:
Ենթադրենք, որ կա երկու կետ՝ P և Q: Հայտնի է, որ դրանց միջով կարելի է գիծ անցկացնել, և դամիակը կլինի։ Տարրի համապատասխան մաթեմատիկական ներկայացումն ունի հետևյալ տեսքը՝
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Որտեղ PQ¯ վեկտոր է, որի կոորդինատները ստացվում են հետևյալ կերպ.
PQ¯=Q - P.
Լ նշանը նշանակում է պարամետր, որը կարող է ընդունել բացարձակապես ցանկացած թիվ:
Գրավոր արտահայտության մեջ դուք կարող եք փոխել վեկտորի ուղղությունը, ինչպես նաև փոխարինել Q կոորդինատները P կետի փոխարեն: Այս բոլոր փոխակերպումները չեն հանգեցնի գծի երկրաչափական դիրքի փոփոխության:
Նշեք, որ խնդիրներ լուծելիս երբեմն պահանջվում է գրավոր վեկտորային հավասարումը ներկայացնել բացահայտ (պարամետրիկ) ձևով:
Տիեզերքում ինքնաթիռի տեղադրում
Ինչպես ուղիղ գծի համար, կան նաև հարթության մաթեմատիկական հավասարումների մի քանի ձևեր: Դրանցից մենք նշում ենք վեկտորը, հատվածներով հավասարումը և ընդհանուր ձևը: Այս հոդվածում մենք հատուկ ուշադրություն կդարձնենք վերջին ձևին։
Կամայական հարթության ընդհանուր հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ կերպ.
Ax + By + Cz + D=0.
Լատինական մեծատառերը որոշակի թվեր են, որոնք սահմանում են հարթությունը:
Այս նշումի հարմարությունն այն է, որ այն բացահայտորեն պարունակում է հարթության համար նորմալ վեկտոր: Այն հավասար է՝
n¯=(A, B, C).
Այս վեկտորի իմացությունը հնարավորություն է տալիս, հակիրճ նայելով հարթության հավասարմանը, պատկերացնել վերջինիս գտնվելու վայրը կոորդինատային համակարգում:
Փոխադարձ պայմանավորվածություն ներսգծի և հարթության տարածություն
Հոդվածի հաջորդ պարբերությունում մենք կանցնենք կոորդինատային մեթոդի և ուղիղի և հարթության միջև անկյան քննարկմանը: Այստեղ մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես կարող են դիտարկված երկրաչափական տարրերը տեղակայվել տարածության մեջ։ Գոյություն ունի երեք եղանակ՝
- Ուղիղ գիծը հատում է հարթությունը: Օգտագործելով կոորդինատների մեթոդը՝ կարող եք հաշվարկել, թե որ կետում են հատվում ուղիղն ու հարթությունը։
- Ուղիղ գծի հարթությունը զուգահեռ է: Այս դեպքում երկրաչափական տարրերի հավասարումների համակարգը լուծում չունի։ Զուգահեռությունն ապացուցելու համար սովորաբար օգտագործվում է ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի և հարթության նորմալի սկալյար արտադրյալի հատկությունը։
- Ինքնաթիռը պարունակում է գիծ: Այս դեպքում լուծելով հավասարումների համակարգը՝ կգանք այն եզրակացության, որ λ պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում ստացվում է ճիշտ հավասարություն։
Երկրորդ և երրորդ դեպքերում նշված երկրաչափական առարկաների միջև անկյունը հավասար է զրոյի։ Առաջին դեպքում այն գտնվում է 0-ից մինչև 90o:
Գծերի և հարթությունների միջև անկյունների հաշվարկ
Այժմ եկեք անմիջապես անցնենք հոդվածի թեմային: Գծի և հարթության ցանկացած հատում տեղի է ունենում ինչ-որ անկյան տակ: Այս անկյունը ձևավորվում է հենց ուղիղ գծով և դրա պրոյեկցիայի միջոցով հարթության վրա: Պրոյեկցիա կարելի է ստանալ, եթե ուղիղ գծի ցանկացած կետից ուղղահայաց իջեցվի հարթության վրա, այնուհետև հարթության և հարթության և սկզբնական գծի ուղղահայաց և հատման կետի միջով գծեք. ուղիղ գիծ, որը կլինի պրոյեկցիա։
Գծերի և հարթությունների միջև անկյունների հաշվարկը դժվար գործ չէ: Այն լուծելու համար բավական է իմանալ համապատասխան երկրաչափական առարկաների հավասարումները։ Ենթադրենք, այս հավասարումները ունեն հետևյալ տեսքը՝
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Ցանկալի անկյունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ օգտագործելով u¯ և n¯ սկալյար վեկտորների արտադրյալի հատկությունը: Վերջնական բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Այս բանաձևն ասում է, որ ուղիղի և հարթության միջև անկյան սինուսը հավասար է նշված վեկտորների սկալյար արտադրյալի մոդուլի և դրանց երկարությունների արտադրյալի հարաբերությանը։ Հասկանալու համար, թե ինչու է սինուսը հայտնվել կոսինուսի փոխարեն, դիմենք ստորև ներկայացված նկարին։
Կարելի է տեսնել, որ եթե կիրառենք կոսինուս ֆունկցիան, կստանանք u¯ և n¯ վեկտորների միջև ընկած անկյունը: Ցանկալի θ անկյունը (α նկարում) ստացվում է հետևյալ կերպ՝
θ=90o- β.
Սինուսը հայտնվում է կրճատման բանաձևերի կիրառման արդյունքում:
Օրինակ խնդիր
Անցնենք ձեռք բերած գիտելիքների գործնական կիրառմանը։ Եկեք լուծենք տիպիկ խնդիր ուղիղ գծի և հարթության միջև անկյան վերաբերյալ: Տրված են չորս կետերի հետևյալ կոորդինատները՝
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Հայտնի է, որ PQM կետերի միջոցովդրա միջով հարթություն է անցնում, իսկ MN-ով ուղիղ գիծ։ Օգտագործելով կոորդինատային մեթոդը, պետք է հաշվարկվի հարթության և գծի միջև ընկած անկյունը։
Նախ, եկեք գրենք ուղիղ գծի և հարթության հավասարումները: Ուղիղ գծի համար հեշտ է այն կազմել՝
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Ինքնաթիռի հավասարումը կազմելու համար նախ գտնում ենք նրա նորմալը: Նրա կոորդինատները հավասար են տվյալ հարթությունում ընկած երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալին։ Մենք ունենք՝
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Այժմ եկեք դրանում ընկած ցանկացած կետի կոորդինատները փոխարինենք ընդհանուր հարթության հավասարման մեջ՝ ստանալով D ազատ անդամի արժեքը:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Հավասարության հավասարումն է.
11x + 4y + 5z - 7=0.
Խնդիրի պատասխանը ստանալու համար մնում է կիրառել ուղիղ գծի և հարթության խաչմերուկում ձևավորված անկյան բանաձևը։ Մենք ունենք՝
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Օգտագործելով այս խնդիրը որպես օրինակ՝ մենք ցույց տվեցինք, թե ինչպես օգտագործել կոորդինատների մեթոդը երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար:
