Հաշվե՛ք ուղիղի և հարթության անկյունը: Խնդիրների լուծման կոորդինացիոն մեթոդ

Բովանդակություն:

Հաշվե՛ք ուղիղի և հարթության անկյունը: Խնդիրների լուծման կոորդինացիոն մեթոդ
Հաշվե՛ք ուղիղի և հարթության անկյունը: Խնդիրների լուծման կոորդինացիոն մեթոդ
Anonim

Ստերեոմետրիայի տարածված խնդիրներից են ուղիղ գծերն ու հարթությունները հատելու և նրանց միջև անկյունները հաշվելու առաջադրանքները: Եկեք այս հոդվածում ավելի մանրամասն քննարկենք, այսպես կոչված, կոորդինատային մեթոդը և գծի և հարթության միջև ընկած անկյունները:

Գիծ և հարթություն երկրաչափության մեջ

Նախքան կոորդինատների մեթոդը և ուղիղի և հարթության անկյունը դիտարկելը, դուք պետք է ծանոթանաք նշված երկրաչափական օբյեկտներին։

Ուղիղը տարածության կամ հարթության վրա գտնվող կետերի այնպիսի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ՝ նախորդը գծային կերպով փոխանցելով որոշակի վեկտոր: Հետևյալում մենք այս վեկտորը նշում ենք u¯ խորհրդանիշով: Եթե այս վեկտորը բազմապատկվում է որևէ թվով, որը հավասար չէ զրոյի, ապա մենք ստանում ենք u¯-ին զուգահեռ վեկտոր: Տողը գծային անսահման օբյեկտ է։

Հարթությունը նաև կետերի հավաքածու է, որոնք տեղակայված են այնպես, որ եթե դրանցից կամայական վեկտորներ կազմեք, ապա դրանք բոլորը ուղղահայաց կլինեն որոշ n¯ վեկտորի վրա: Վերջինս կոչվում է նորմալ կամ պարզապես նորմալ։Հարթությունը, ի տարբերություն ուղիղ գծի, երկչափ անսահման օբյեկտ է։

Երկրաչափության խնդիրների լուծման կոորդինատային մեթոդ

Խնդիրների լուծման կոորդինացիոն մեթոդ
Խնդիրների լուծման կոորդինացիոն մեթոդ

Ելնելով հենց մեթոդի անվանումից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ խոսքը խնդիրների լուծման մեթոդի մասին է, որը հիմնված է վերլուծական հաջորդական հաշվարկների կատարման վրա։ Այլ կերպ ասած, կոորդինատային մեթոդը թույլ է տալիս լուծել երկրաչափական խնդիրներ՝ օգտագործելով համընդհանուր հանրահաշվի գործիքներ, որոնցից հիմնականը հավասարումներ են։

Հարկ է նշել, որ դիտարկվող մեթոդը ի հայտ է եկել ժամանակակից երկրաչափության և հանրահաշվի արշալույսին։ Նրա զարգացման գործում մեծ ներդրում են ունեցել Ռենե Դեկարտը, Պիեռ դե Ֆերմատը, Իսահակ Նյուտոնը և Լայբնիցը 17-18-րդ դարերում։

Մեթոդի էությունը հայտնի կետերի կոորդինատների հիման վրա երկրաչափական տարրերի հեռավորությունները, անկյունները, մակերեսները և ծավալները հաշվարկելն է։ Նշենք, որ ստացված վերջնական հավասարումների ձևը կախված է կոորդինատային համակարգից: Ամենից հաճախ ուղղանկյուն դեկարտյան համակարգը օգտագործվում է խնդիրների դեպքում, քանի որ դրա հետ աշխատելն առավել հարմար է։

Գծային հավասարում

Հաշվի առնելով կոորդինատային մեթոդը և ուղիղի և հարթության միջև ընկած անկյունները, սկսենք ուղիղի հավասարումը սահմանելուց: Տողերը հանրահաշվական ձևով ներկայացնելու մի քանի եղանակ կա: Այստեղ մենք դիտարկում ենք միայն վեկտորային հավասարումը, քանի որ այն կարելի է հեշտությամբ ստանալ դրանից ցանկացած այլ ձևով և հեշտ է աշխատել:

Ուղիղ գիծ տարածության մեջ
Ուղիղ գիծ տարածության մեջ

Ենթադրենք, որ կա երկու կետ՝ P և Q: Հայտնի է, որ դրանց միջով կարելի է գիծ անցկացնել, և դամիակը կլինի։ Տարրի համապատասխան մաթեմատիկական ներկայացումն ունի հետևյալ տեսքը՝

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Որտեղ PQ¯ վեկտոր է, որի կոորդինատները ստացվում են հետևյալ կերպ.

PQ¯=Q - P.

Լ նշանը նշանակում է պարամետր, որը կարող է ընդունել բացարձակապես ցանկացած թիվ:

Գրավոր արտահայտության մեջ դուք կարող եք փոխել վեկտորի ուղղությունը, ինչպես նաև փոխարինել Q կոորդինատները P կետի փոխարեն: Այս բոլոր փոխակերպումները չեն հանգեցնի գծի երկրաչափական դիրքի փոփոխության:

Նշեք, որ խնդիրներ լուծելիս երբեմն պահանջվում է գրավոր վեկտորային հավասարումը ներկայացնել բացահայտ (պարամետրիկ) ձևով:

Տիեզերքում ինքնաթիռի տեղադրում

Ինքնաթիռ և նորմալ
Ինքնաթիռ և նորմալ

Ինչպես ուղիղ գծի համար, կան նաև հարթության մաթեմատիկական հավասարումների մի քանի ձևեր: Դրանցից մենք նշում ենք վեկտորը, հատվածներով հավասարումը և ընդհանուր ձևը: Այս հոդվածում մենք հատուկ ուշադրություն կդարձնենք վերջին ձևին։

Կամայական հարթության ընդհանուր հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

Ax + By + Cz + D=0.

Լատինական մեծատառերը որոշակի թվեր են, որոնք սահմանում են հարթությունը:

Այս նշումի հարմարությունն այն է, որ այն բացահայտորեն պարունակում է հարթության համար նորմալ վեկտոր: Այն հավասար է՝

n¯=(A, B, C).

Այս վեկտորի իմացությունը հնարավորություն է տալիս, հակիրճ նայելով հարթության հավասարմանը, պատկերացնել վերջինիս գտնվելու վայրը կոորդինատային համակարգում:

Փոխադարձ պայմանավորվածություն ներսգծի և հարթության տարածություն

Հոդվածի հաջորդ պարբերությունում մենք կանցնենք կոորդինատային մեթոդի և ուղիղի և հարթության միջև անկյան քննարկմանը: Այստեղ մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես կարող են դիտարկված երկրաչափական տարրերը տեղակայվել տարածության մեջ։ Գոյություն ունի երեք եղանակ՝

  1. Ուղիղ գիծը հատում է հարթությունը: Օգտագործելով կոորդինատների մեթոդը՝ կարող եք հաշվարկել, թե որ կետում են հատվում ուղիղն ու հարթությունը։
  2. Ուղիղ գծի հարթությունը զուգահեռ է: Այս դեպքում երկրաչափական տարրերի հավասարումների համակարգը լուծում չունի։ Զուգահեռությունն ապացուցելու համար սովորաբար օգտագործվում է ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի և հարթության նորմալի սկալյար արտադրյալի հատկությունը։
  3. Ինքնաթիռը պարունակում է գիծ: Այս դեպքում լուծելով հավասարումների համակարգը՝ կգանք այն եզրակացության, որ λ պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում ստացվում է ճիշտ հավասարություն։

Երկրորդ և երրորդ դեպքերում նշված երկրաչափական առարկաների միջև անկյունը հավասար է զրոյի։ Առաջին դեպքում այն գտնվում է 0-ից մինչև 90o:

Գծերի և հարթությունների միջև անկյունների հաշվարկ

Այժմ եկեք անմիջապես անցնենք հոդվածի թեմային: Գծի և հարթության ցանկացած հատում տեղի է ունենում ինչ-որ անկյան տակ: Այս անկյունը ձևավորվում է հենց ուղիղ գծով և դրա պրոյեկցիայի միջոցով հարթության վրա: Պրոյեկցիա կարելի է ստանալ, եթե ուղիղ գծի ցանկացած կետից ուղղահայաց իջեցվի հարթության վրա, այնուհետև հարթության և հարթության և սկզբնական գծի ուղղահայաց և հատման կետի միջով գծեք. ուղիղ գիծ, որը կլինի պրոյեկցիա։

Հարթության և գծի հատում
Հարթության և գծի հատում

Գծերի և հարթությունների միջև անկյունների հաշվարկը դժվար գործ չէ: Այն լուծելու համար բավական է իմանալ համապատասխան երկրաչափական առարկաների հավասարումները։ Ենթադրենք, այս հավասարումները ունեն հետևյալ տեսքը՝

(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);

Ax + By + Cz + D=0.

Ցանկալի անկյունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ օգտագործելով u¯ և n¯ սկալյար վեկտորների արտադրյալի հատկությունը: Վերջնական բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Այս բանաձևն ասում է, որ ուղիղի և հարթության միջև անկյան սինուսը հավասար է նշված վեկտորների սկալյար արտադրյալի մոդուլի և դրանց երկարությունների արտադրյալի հարաբերությանը։ Հասկանալու համար, թե ինչու է սինուսը հայտնվել կոսինուսի փոխարեն, դիմենք ստորև ներկայացված նկարին։

Անկյուններ գծի, հարթության միջև
Անկյուններ գծի, հարթության միջև

Կարելի է տեսնել, որ եթե կիրառենք կոսինուս ֆունկցիան, կստանանք u¯ և n¯ վեկտորների միջև ընկած անկյունը: Ցանկալի θ անկյունը (α նկարում) ստացվում է հետևյալ կերպ՝

θ=90o- β.

Սինուսը հայտնվում է կրճատման բանաձևերի կիրառման արդյունքում:

Օրինակ խնդիր

Հարթություն կետերի միջով
Հարթություն կետերի միջով

Անցնենք ձեռք բերած գիտելիքների գործնական կիրառմանը։ Եկեք լուծենք տիպիկ խնդիր ուղիղ գծի և հարթության միջև անկյան վերաբերյալ: Տրված են չորս կետերի հետևյալ կոորդինատները՝

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Հայտնի է, որ PQM կետերի միջոցովդրա միջով հարթություն է անցնում, իսկ MN-ով ուղիղ գիծ։ Օգտագործելով կոորդինատային մեթոդը, պետք է հաշվարկվի հարթության և գծի միջև ընկած անկյունը։

Նախ, եկեք գրենք ուղիղ գծի և հարթության հավասարումները: Ուղիղ գծի համար հեշտ է այն կազմել՝

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

Ինքնաթիռի հավասարումը կազմելու համար նախ գտնում ենք նրա նորմալը: Նրա կոորդինատները հավասար են տվյալ հարթությունում ընկած երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալին։ Մենք ունենք՝

PQ¯=(-2, 3, 2);

QM¯=(1, 1, -3)=>

n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).

Այժմ եկեք դրանում ընկած ցանկացած կետի կոորդինատները փոխարինենք ընդհանուր հարթության հավասարման մեջ՝ ստանալով D ազատ անդամի արժեքը:

P=(1, -1, 0);

- (Ax + By + Cz)=D=>

D=- (-11 + 4 + 0)=7.

Հավասարության հավասարումն է.

11x + 4y + 5z - 7=0.

Խնդիրի պատասխանը ստանալու համար մնում է կիրառել ուղիղ գծի և հարթության խաչմերուկում ձևավորված անկյան բանաձևը։ Մենք ունենք՝

(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;

|u¯|=√24; |n¯|=√162;

θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.

Օգտագործելով այս խնդիրը որպես օրինակ՝ մենք ցույց տվեցինք, թե ինչպես օգտագործել կոորդինատների մեթոդը երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար:

Խորհուրդ ենք տալիս: