Հարթությունների զուգահեռությունն ու ուղղահայացությունը որոշելու, ինչպես նաև այդ երկրաչափական առարկաների միջև հեռավորությունները հաշվարկելու համար հարմար է օգտագործել թվային ֆունկցիաների այս կամ այն տեսակը։ Ո՞ր խնդիրների դեպքում է հարմար հարթության հավասարումը հատվածներում օգտագործել: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է դա և ինչպես օգտագործել այն գործնական առաջադրանքներում:
Ի՞նչ է հավասարումը տողերի հատվածներում:
Ինքնաթիռը կարող է սահմանվել 3D տարածության մեջ մի քանի ձևով: Այս հոդվածում դրանցից մի քանիսը կտրամադրվեն տարբեր տեսակի խնդիրներ լուծելիս: Այստեղ մենք մանրամասն նկարագրում ենք հավասարումը հարթության հատվածներում: Այն սովորաբար ունի հետևյալ ձևը՝
x/p + y/q + z/r=1.
Այնտեղ, որտեղ p, q, r նշանները նշանակում են որոշակի թվեր: Այս հավասարումը կարելի է հեշտությամբ թարգմանել ընդհանուր արտահայտության և հարթության համար թվային ֆունկցիաների այլ ձևերի:
Հավասարումը հատվածներով գրելու հարմարությունը կայանում է նրանում, որ այն պարունակում է ուղղահայաց կոորդինատային առանցքներով հարթության հատման հստակ կոորդինատները: x առանցքի վրասկզբի համեմատ հարթությունը կտրում է p երկարությամբ հատված, y առանցքի վրա՝ q-ին հավասար, z-ի վրա՝ r երկարությամբ։
Եթե երեք փոփոխականներից որևէ մեկը չի պարունակվում հավասարման մեջ, ապա դա նշանակում է, որ հարթությունը չի անցնում համապատասխան առանցքով (մաթեմատիկոսներն ասում են, որ այն հատվում է անսահմանության վրա):
Հաջորդը, ահա որոշ խնդիրներ, որոնցում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես աշխատել այս հավասարման հետ:
Հասարակությունների ընդհանուր և հատվածների հաղորդակցում
Հայտնի է, որ ինքնաթիռը տրվում է հետևյալ հավասարությամբ.
2x - 3y + z - 6=0.
Հարկավոր է գրել հարթության այս ընդհանուր հավասարումը հատվածներով։
Երբ նմանատիպ խնդիր է առաջանում, դուք պետք է հետևեք այս տեխնիկային. մենք ազատ տերմինը փոխանցում ենք հավասարության աջ կողմ: Այնուհետև մենք ամբողջ հավասարումը բաժանում ենք այս տերմինի վրա՝ փորձելով այն արտահայտել նախորդ պարբերությունում տրված ձևով։ Մենք ունենք՝
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Հատվածներում ստացել ենք հարթության հավասարումը, որը սկզբում տրված է ընդհանուր ձևով: Նկատելի է, որ հարթությունը կտրում է 3, 2 և 6 երկարությամբ հատվածներ համապատասխանաբար x, y և z առանցքների համար։ y առանցքը հատում է հարթությունը բացասական կոորդինատային տարածքում։
Հատվածներով հավասարումներ կազմելիս կարևոր է, որ բոլոր փոփոխականներին նախորդի «+» նշանը: Միայն այս դեպքում թիվը, որով բաժանվում է այս փոփոխականը, ցույց կտա առանցքի վրա կտրված կոորդինատը:
Նորմալ վեկտոր և կետ հարթության վրա
Հայտնի է, որ որոշ հարթություններ ունի ուղղության վեկտոր (3; 0; -1): Հայտնի է նաև, որ այն անցնում է (1; 1; 1) կետով։ Այս հարթության համար գրեք հավասարում հատվածներով։
Այս խնդիրը լուծելու համար նախ պետք է օգտագործել այս երկչափ երկրաչափական օբյեկտի ընդհանուր ձևը: Ընդհանուր ձևը գրված է այսպես՝
Ax + By + Cz + D=0.
Առաջին երեք գործակիցներն այստեղ ուղեցույցի վեկտորի կոորդինատներն են, որը նշված է խնդրի հայտարարության մեջ, այսինքն՝
A=3;
B=0;
C=-1.
Մնում է գտնել D-ի ազատ տերմինը: Այն կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով.
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Որտեղ 1 ինդեքսով կոորդինատային արժեքները համապատասխանում են հարթությանը պատկանող կետի կոորդինատներին: Մենք փոխարինում ենք դրանց արժեքները խնդրի վիճակից, ստանում ենք՝
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Այժմ կարող եք գրել ամբողջական հավասարումը.
3x - z - 2=0.
Այս արտահայտությունը հարթության հատվածներում հավասարման վերածելու տեխնիկան արդեն ցուցադրվել է վերևում: Կիրառեք այն՝
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Խնդրի պատասխանը ստացվել է. Նկատի ունեցեք, որ այս հարթությունը հատում է միայն x և z առանցքները: y-ի համար այն զուգահեռ է։
Երկու ուղիղ գծեր, որոնք սահմանում են հարթությունը
Տարածական երկրաչափության դասընթացից յուրաքանչյուր ուսանող գիտի, որ երկու կամայական ուղիղները եզակիորեն սահմանում են հարթությունըեռաչափ տարածություն. Եկեք լուծենք նմանատիպ խնդիր։
Հայտնի է ուղիղների երկու հավասարում.
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Պետք է գրել հարթության հավասարումը այս տողերով անցնող հատվածներով։
Քանի որ երկու ուղիղները պետք է ընկած լինեն հարթության մեջ, դա նշանակում է, որ դրանց վեկտորները (ուղեցույցները) պետք է ուղղահայաց լինեն հարթության վեկտորին (ուղեցույցին): Միևնույն ժամանակ, հայտնի է, որ կամայական երկու ուղղորդված հատվածների վեկտորային արտադրյալը արդյունք է տալիս երրորդի կոորդինատների տեսքով՝ երկու սկզբնականներին ուղղահայաց։ Հաշվի առնելով այս հատկությունը՝ մենք ստանում ենք ցանկալի հարթությանը նորմալ վեկտորի կոորդինատները՝
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Քանի որ այն կարելի է բազմապատկել կամայական թվով, սա կազմում է սկզբնականին զուգահեռ նոր ուղղորդված հատված, ստացված կոորդինատների նշանը կարող ենք փոխարինել հակառակով (բազմապատկել -1-ով), ստանում ենք՝:
(1; 2; 1).
Մենք գիտենք ուղղության վեկտորը: Մնում է վերցնել ուղիղ գծերից մեկի կամայական կետը և կազմել հարթության ընդհանուր հավասարումը`
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Այս հավասարությունը հատվածների արտահայտության մեջ թարգմանելով՝ մենք ստանում ենք՝
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Այսպիսով, հարթությունը հատում է բոլոր երեք առանցքները կոորդինատային համակարգի դրական հատվածում:
Երեք միավոր և հարթություն
Ինչպես երկու ուղիղ գծեր, երեք կետերը եզակիորեն սահմանում են հարթությունը եռաչափ տարածության մեջ: Համապատասխան հավասարումը գրում ենք հատվածներով, եթե հայտնի են հարթության վրա գտնվող կետերի հետևյալ կոորդինատները՝
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Եկեք անենք հետևյալը. հաշվենք այս կետերը միացնող երկու կամայական վեկտորների կոորդինատները, այնուհետև գտենք հարթությանը n¯ նորմալ վեկտորը՝ հաշվելով գտնված ուղղորդված հատվածների արտադրյալը: Մենք ստանում ենք՝
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Օրինակ վերցրեք P կետը, կազմեք հարթության հավասարումը.
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 կամ z=0.
Ստացանք պարզ արտահայտություն, որը համապատասխանում է տվյալ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում xy հարթությանը: Այն չի կարող գրվել հատվածներով, քանի որ x և y առանցքները պատկանում են հարթությանը, իսկ z առանցքի վրա կտրված հատվածի երկարությունը զրո է (կետը (0; 0; 0) պատկանում է հարթությանը):
