Մաթեմատիկայի ուսուցիչներն իրենց աշակերտներին ծանոթացնում են «կոմբինատորային խնդիր» հասկացությանը դեռ հինգերորդ դասարանից: Դա անհրաժեշտ է, որպեսզի նրանք հետագայում կարողանան աշխատել ավելի բարդ խնդիրների հետ։ Խնդրի կոմբինատոր բնույթը կարելի է հասկանալ որպես վերջավոր բազմության տարրերի թվարկումով այն լուծելու հնարավորություն։
Այս կարգի առաջադրանքների հիմնական նշանը նրանց ուղղված հարցն է, որը հնչում է որպես «Քանի՞ տարբերակ»: կամ «Քանի՞ ձևով»: Համակցված խնդիրների լուծումն ուղղակիորեն կախված է նրանից, թե արդյոք լուծողը հասկացել է իմաստը, արդյոք նա կարողացել է ճիշտ ներկայացնել առաջադրանքում նկարագրված գործողությունը կամ գործընթացը:
Ինչպե՞ս լուծել կոմբինատորային խնդիր:
Կարևոր է ճիշտ որոշել բոլոր կապերի տեսակը քննարկվող խնդրի մեջ, սակայն անհրաժեշտ է ստուգել՝ արդյոք կան տարրերի կրկնություններ դրանում, արդյո՞ք տարրերն իրենք են փոխվում, արդյոք դրանց հերթականությունը մեծ դեր է խաղում։, և նաև որոշ ուրիշների նկատմամբգործոններ.
Կոմբինատոր խնդիրը կարող է ունենալ մի շարք սահմանափակումներ, որոնք կարող են դրվել միացումների վրա: Այս դեպքում դուք պետք է ամբողջությամբ հաշվարկեք դրա լուծումը և ստուգեք, թե արդյոք այդ սահմանափակումները որևէ ազդեցություն ունեն բոլոր տարրերի միացման վրա: Եթե իսկապես կա ազդեցություն, ապա պետք է ստուգել, թե որն է։
Որտեղից սկսել?
Նախ պետք է սովորել, թե ինչպես լուծել ամենապարզ կոմբինատոր խնդիրները: Պարզ նյութի տիրապետումը թույլ կտա սովորել հասկանալ ավելի բարդ առաջադրանքներ: Խորհուրդ է տրվում, որ նախ սկսեք խնդիրները լուծել սահմանափակումներով, որոնք հաշվի չեն առնվում ավելի պարզ տարբերակ դիտարկելիս:
Խորհուրդ է տրվում նաև նախ փորձել լուծել այն խնդիրները, որոնց դեպքում պետք է դիտարկել ընդհանուր տարրերի ավելի փոքր քանակություն: Այսպիսով, դուք կկարողանաք հասկանալ նմուշների ստեղծման սկզբունքը և սովորել, թե ինչպես դրանք ինքներդ ստեղծել ապագայում: Եթե խնդիրը, որի համար անհրաժեշտ է օգտագործել կոմբինատորիկա, բաղկացած է մի քանի պարզ խնդիրների համակցությունից, խորհուրդ է տրվում այն լուծել մասերով։
Կոմբինատոր խնդիրների լուծում
Նման խնդիրները կարող են թվալ հեշտ լուծելի, բայց կոմբինատորիկան բավականին դժվար է տիրապետել, դրանցից մի քանիսը չեն լուծվել վերջին հարյուրավոր տարիների ընթացքում: Ամենահայտնի խնդիրներից մեկը հատուկ կարգի կախարդական քառակուսիների թիվը որոշելն է, երբ n թիվը 4-ից մեծ է։
Կոմբինատորական խնդիրը սերտորեն կապված է հավանականության տեսության հետ, որն առաջացել է միջնադարում։ ՀավանականությունԻրադարձության ծագումը կարելի է հաշվարկել միայն կոմբինատորիկայի միջոցով, այս դեպքում անհրաժեշտ կլինի տեղ-տեղ փոխել բոլոր գործոնները՝ օպտիմալ լուծում ստանալու համար։
Խնդիրի լուծում
Կոմբինատոր խնդիրներ լուծումներով օգտագործվում են աշակերտներին և ուսանողներին սովորեցնելու, թե ինչպես աշխատել այս նյութի հետ: Ընդհանուր առմամբ, դրանք պետք է մարդու մոտ առաջացնեն ընդհանուր լուծում գտնելու հետաքրքրություն և ցանկություն։ Բացի մաթեմատիկական հաշվարկներից, անհրաժեշտ է կիրառել մտավոր սթրես և օգտագործել գուշակություններ։
Առաջադրանքները լուծելու ընթացքում երեխան կկարողանա զարգացնել իր մաթեմատիկական երևակայությունը և կոմբինատոր կարողությունները, դա նրան կարող է լրջորեն օգտակար լինել ապագայում։ Աստիճանաբար պետք է բարձրացնել լուծվող առաջադրանքների բարդության մակարդակը, որպեսզի չմոռանանք առկա գիտելիքները և դրանցում ավելացվեն նորերը։
Մեթոդ 1. Կրծքավանդակ
Կոմբինատոր խնդիրների լուծման մեթոդները շատ են տարբերվում միմյանցից, սակայն դրանք բոլորը կարող են օգտագործել ուսանողը պատասխան ստանալու համար: Ամենապարզ, բայց միևնույն ժամանակ ամենաերկար ճանապարհներից մեկը դաժան ուժն է։ Դրա միջոցով դուք պարզապես պետք է անցնեք բոլոր հնարավոր լուծումները՝ առանց որևէ սխեմա և աղյուսակ կազմելու:
Որպես կանոն, նման խնդրի հարցը կապված է իրադարձության ծագման հնարավոր տարբերակների հետ, օրինակ՝ ի՞նչ թվեր կարելի է կազմել՝ օգտագործելով 2, 4, 8, 9 թվերը։ Փնտրելով բոլոր տարբերակները՝ կազմվում է պատասխան՝ բաղկացած հնարավոր համակցություններից։ Այս մեթոդը մեծ է, եթե հնարավոր տարբերակների քանակըհամեմատաբար փոքր:
Մեթոդ 2. Ընտրանքների ծառ
Որոշ կոմբինատոր խնդիրներ կարող են լուծվել միայն յուրաքանչյուր տարրի մասին տեղեկություններ պարունակող գծապատկերներ կազմելով: Հնարավոր տարբերակների ծառը կազմելը պատասխան գտնելու ևս մեկ միջոց է: Հարմար է ոչ այնքան բարդ խնդիրներ լուծելու համար, որոնցում կա լրացուցիչ պայման։
Նման առաջադրանքի օրինակ՝
Ի՞նչ հնգանիշ թվեր կարելի է կազմել 0, 1, 7, 8 թվերից: Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է բոլոր հնարավոր համակցություններից ծառ կառուցել, և կա լրացուցիչ պայման՝ թիվը չի կարող սկսվել զրոյից։ Այսպիսով, պատասխանը բաղկացած կլինի բոլոր թվերից, որոնք կսկսվեն 1-ով, 7-ով կամ 8-ով:
Մեթոդ 3. Աղյուսակների ձևավորում
Կոմբինատոր խնդիրներ կարելի է լուծել նաև աղյուսակների միջոցով: Նրանք նման են հնարավոր տարբերակների ծառին, քանի որ առաջարկում են իրավիճակի տեսողական լուծում։ Ճիշտ պատասխանը գտնելու համար հարկավոր է կազմել աղյուսակ, և այն արտացոլված կլինի՝ հորիզոնական և ուղղահայաց պայմանները նույնն են լինելու։
Հնարավոր պատասխանները կստացվեն սյունակների և տողերի խաչմերուկում: Այս դեպքում սյունակի և տողի խաչմերուկում պատասխաններ չեն ստացվի նույն տվյալներով, այդ խաչմերուկները պետք է հատուկ նշվեն, որպեսզի վերջնական պատասխանը կազմելիս չշփոթվեն։ Այս մեթոդը հաճախ չի ընտրվում ուսանողների կողմից, շատերը նախընտրում են տարբերակներով ծառ:
Մեթոդ 4. Բազմապատկում
Կա կոմբինատոր խնդիրների լուծման մեկ այլ միջոց՝ բազմապատկման կանոնը: Նա լավ էհարմար է այն դեպքում, երբ, ըստ պայմանի, անհրաժեշտ չէ թվարկել բոլոր հնարավոր լուծումները, պարզապես անհրաժեշտ է գտնել դրանց առավելագույն թիվը։ Այս մեթոդը իր տեսակի մեջ եզակի է, այն շատ հաճախ օգտագործվում է կոմբինատորական խնդիրներ լուծելիս:
Նման առաջադրանքի օրինակը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
6 հոգի միջանցքում սպասում են քննությանը։ Քանի՞ եղանակ կարող եք օգտագործել դրանք ընդհանուր ցանկում դասավորելու համար: Պատասխան ստանալու համար պետք է հստակեցնել, թե դրանցից քանիսը կարող են լինել առաջին տեղում, քանիսը երկրորդում, երրորդում և այլն։ Պատասխանը կլինի 720 թիվը։
Կոմբինատորիկա և դրա տեսակները
Կոմբինատոր առաջադրանքը միայն դպրոցական նյութը չէ, այն ուսումնասիրում են նաև համալսարանականները։ Գիտության մեջ կան կոմբինատորիկայի մի քանի տեսակներ, և դրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր առաքելությունը։ Թվային կոմբինատորիկան պետք է հաշվի առնի հնարավոր կոնֆիգուրացիաների թվարկումը և թվարկումը լրացուցիչ պայմաններով:
Կառուցվածքային կոմբինատորիկան համալսարանական ծրագրի բաղադրիչն է, այն ուսումնասիրում է մատրոիդների և գրաֆիկների տեսությունը։ Ծայրահեղ կոմբինատորիկան նույնպես կապված է համալսարանական նյութի հետ, և այստեղ կան անհատական սահմանափակումներ։ Մեկ այլ բաժին Ռեմսիի տեսությունն է, որը վերաբերում է տարրերի պատահական տատանումների կառուցվածքների ուսումնասիրությանը: Գոյություն ունի նաև լեզվական կոմբինատորիկա, որը վերաբերում է որոշ տարրերի միմյանց հետ համատեղելիության հարցին։
Կոմբինատորական խնդիրների ուսուցման մեթոդ
Ըստ ձեռնարկիպլաններ, սովորողների տարիքը, որը նախատեսված է այս նյութին առաջնային ծանոթության և կոմբինատոր խնդիրներ լուծելու համար, 5-րդ դասարանն է։ Հենց այնտեղ է, որ առաջին անգամ այս թեման առաջարկվում է ուսանողներին քննարկման, նրանք ծանոթանում են կոմբինատորության ֆենոմենի հետ և փորձում լուծել իրենց առաջադրված խնդիրները։ Միևնույն ժամանակ, շատ կարևոր է, որ կոմբինատոր խնդիր դնելիս կիրառվի մեթոդ, երբ երեխաներն իրենք են փնտրում հարցերի պատասխանները։
Ի թիվս այլ բաների, այս թեման ուսումնասիրելուց հետո շատ ավելի հեշտ կլինի ներմուծել գործոն հասկացությունը և օգտագործել այն հավասարումներ, խնդիրներ և այլն լուծելիս: Այսպիսով, կոմբինատորությունը կարևոր դեր է խաղում հետագա կրթության մեջ:
Կոմբինատոր խնդիրներ. ինչո՞ւ են դրանք անհրաժեշտ:
Եթե գիտեք, թե ինչ են կոմբինատոր խնդիրները, ապա դրանց լուծման հետ կապված դժվարություններ չեք ունենա: Դրանց լուծման տեխնիկան կարող է օգտակար լինել, երբ անհրաժեշտ է ստեղծել գրաֆիկներ, աշխատանքային գրաֆիկներ, ինչպես նաև բարդ մաթեմատիկական հաշվարկներ, որոնք հարմար չեն էլեկտրոնային սարքերի համար:
Մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի խորացված ուսումնասիրություն ունեցող դպրոցներում լրացուցիչ ուսումնասիրվում են կոմբինատորական խնդիրները, դրա համար կազմվում են հատուկ դասընթացներ, ուսումնական նյութեր և առաջադրանքներ։ Որպես կանոն, այս տիպի մի քանի խնդիրներ կարող են ներառվել մաթեմատիկայի միասնական պետական քննության մեջ, սովորաբար դրանք «թաքնված» են Գ մասում։
Ինչպե՞ս արագ լուծել կոմբինատորային խնդիրը:
Շատ կարևոր է կոմբինատորային խնդիրը տեսնելըարագ, քանի որ այն կարող է ունենալ քողարկված ձևակերպում, սա հատկապես կարևոր է քննությունը հանձնելիս, որտեղ յուրաքանչյուր րոպեն կարևոր է: Առանձին-առանձին գրեք այն տեղեկատվությունը, որը տեսնում եք խնդրի տեքստում թղթի վրա, այնուհետև փորձեք վերլուծել այն ձեր իմացած չորս եղանակներով:
Եթե կարող եք տեղեկատվություն տեղադրել աղյուսակի կամ այլ ձևավորման մեջ, փորձեք լուծել այն: Եթե չեք կարողանում դասակարգել այն, այս դեպքում ավելի լավ է մի որոշ ժամանակ թողնել ու անցնել մեկ այլ գործի՝ թանկարժեք ժամանակ չկորցնելու համար: Այս իրավիճակից կարելի է խուսափել՝ նախապես լուծելով այս տեսակի որոշակի թվով առաջադրանքներ։
Որտե՞ղ կարող եմ գտնել օրինակներ:
Միակ բանը, որը կօգնի ձեզ սովորել, թե ինչպես լուծել կոմբինատոր խնդիրներ, օրինակներն են: Դրանք կարող եք գտնել հատուկ մաթեմատիկական հավաքածուներում, որոնք վաճառվում են ուսումնական գրականության խանութներում։ Այնուամենայնիվ, այնտեղ կարող եք տեղեկատվություն գտնել միայն համալսարանի ուսանողների համար, դպրոցականները ստիպված կլինեն լրացուցիչ առաջադրանքներ փնտրել, որպես կանոն, նրանց համար առաջադրանքները հորինում են այլ ուսուցիչներ:
Բարձրագույն կրթության ուսուցիչները կարծում են, որ ուսանողները պետք է վերապատրաստվեն և մշտապես առաջարկեն նրանց լրացուցիչ ուսումնական գրականություն։ Լավագույն ժողովածուներից է «Դիսկրետ վերլուծության մեթոդները կոմբինատորային խնդիրների լուծման ժամանակ», որը գրվել է 1977 թվականին և բազմիցս հրատարակվել է երկրի առաջատար հրատարակչությունների կողմից։ Հենց այնտեղ կարող եք գտնել առաջադրանքներ, որոնք տեղին էին այն ժամանակ և մնում են ակտուալ այսօր:
Իսկ եթե ձեզ անհրաժեշտ է կոմբինատոր խնդիր ստեղծել:
Ամենից հաճախ կոմբինատորական խնդիրները պետք է կազմվենուսուցիչներ, ովքեր պարտավոր են սովորեցնել ուսանողներին մտածել արկղից դուրս: Այստեղ ամեն ինչ կախված կլինի կոմպիլյատորի ստեղծագործական ներուժից։ Խորհուրդ է տրվում ուշադրություն դարձնել առկա ժողովածուներին և փորձել այնպիսի խնդիր շարադրել, որ այն համատեղի դրա լուծման մի քանի եղանակներ և ունենա գրքից տարբեր տվյալներ։
Համալսարանի ուսուցիչներն այս հարցում շատ ավելի ազատ են, քան դպրոցի ուսուցիչները, նրանք հաճախ իրենց աշակերտներին հանձնարարություն են տալիս ինքնուրույն լուծել կոմբինատոր խնդիրներ՝ մանրամասն լուծման մեթոդներով և բացատրություններով: Եթե դուք ոչ մեկն եք, ոչ մյուսը, կարող եք օգնություն խնդրել նրանցից, ովքեր իսկապես հասկանում են խնդիրը, ինչպես նաև վարձել մասնավոր դաստիարակ։ Մեկ ակադեմիական ժամը բավական է մի քանի նմանատիպ խնդիրներ առաջացնելու համար։
Կոմբինատորիկա - ապագայի գիտություն?
Մաթեմատիկական և ֆիզիկայի բնագավառի շատ մասնագետներ կարծում են, որ հենց կոմբինատոր խնդիրն է, որ կարող է խթան դառնալ բոլոր տեխնիկական գիտությունների զարգացման համար։ Բավական է որոշակի խնդիրների լուծմանը ոչ ստանդարտ մոտեցում ցուցաբերել, այնուհետև հնարավոր կլինի պատասխանել այն հարցերին, որոնք մի քանի դար շարունակ հետապնդում են գիտնականներին։ Նրանցից ոմանք լրջորեն պնդում են, որ կոմբինատորիկան օգնություն է բոլոր ժամանակակից գիտություններին, հատկապես տիեզերագնացությանը։ Շատ ավելի հեշտ կլինի հաշվարկել նավերի թռիչքի ուղիները՝ օգտագործելով կոմբինատոր խնդիրներ, և դրանք նաև թույլ կտան որոշել որոշ երկնային մարմինների ճշգրիտ գտնվելու վայրը։
Ոչ ստանդարտ մոտեցման իրականացումը վաղուց է սկսվել ասիական երկրներում, որտեղ ուսանողները նույնիսկԲազմապատկումը, հանումը, գումարումը և բաժանումը լուծվում են կոմբինատոր մեթոդներով: Ի զարմանս եվրոպացի շատ գիտնականների, տեխնիկան իսկապես աշխատում է: Եվրոպայի դպրոցներն առայժմ միայն սկսել են սովորել իրենց գործընկերների փորձից: Թե կոնկրետ երբ կոմբինատորիկան կդառնա մաթեմատիկայի հիմնական ճյուղերից մեկը, դժվար է կռահել։ Այժմ գիտությունն ուսումնասիրվում է աշխարհի առաջատար գիտնականների կողմից, ովքեր ձգտում են այն հանրահռչակել։
