Ձեր ուշադրությանը ներկայացված հոդվածում առաջարկում ենք մաթեմատիկական մոդելների օրինակներ։ Բացի այդ, մենք ուշադրություն կդարձնենք մոդելների ստեղծման փուլերին և կվերլուծենք մաթեմատիկական մոդելավորման հետ կապված որոշ առաջադրանքներ։
Մեր հարցերից ևս մեկը վերաբերում է տնտեսության մաթեմատիկական մոդելներին, օրինակներ, որոնց սահմանումը կանդրադառնանք մի փոքր ուշ։ Մենք առաջարկում ենք մեր զրույցը սկսել հենց «մոդել» հասկացությունից, համառոտ դիտարկել դրանց դասակարգումը և անցնել մեր հիմնական հարցերին։
«մոդելի» հասկացությունը
Մենք հաճախ ենք լսում «մոդել» բառը։ Ի՞նչ է դա։ Այս տերմինն ունի բազմաթիվ սահմանումներ, ահա դրանցից միայն երեքը.
- հատուկ օբյեկտ, որը ստեղծվել է տեղեկատվություն ստանալու և պահելու համար՝ արտացոլելով այս օբյեկտի բնօրինակի որոշ հատկություններ կամ բնութագրեր և այլն (այս կոնկրետ առարկան կարող է արտահայտվել տարբեր ձևերով՝ մտավոր, նկարագրություն՝ օգտագործելով նշաններ, և այլն);
- մոդելը նշանակում է նաև ցանկացած կոնկրետ իրավիճակի, կյանքի կամկառավարիչ;
- մոդելը կարող է ծառայել որպես ցանկացած օբյեկտի կրճատված պատճեն (դրանք ստեղծվել են ավելի մանրամասն ուսումնասիրության և վերլուծության համար, քանի որ մոդելն արտացոլում է կառուցվածքը և հարաբերությունները):
Ելնելով այն ամենից, ինչ ասվել է ավելի վաղ, մենք կարող ենք մի փոքր եզրակացություն անել. մոդելը թույլ է տալիս մանրամասն ուսումնասիրել բարդ համակարգը կամ օբյեկտը:
Բոլոր մոդելները կարելի է դասակարգել ըստ մի շարք չափանիշների՝
- ըստ օգտագործման տարածքի (կրթական, փորձարարական, գիտական և տեխնիկական, խաղային, սիմուլյացիա);
- ըստ դինամիկայի (ստատիկ և դինամիկ);
- ըստ գիտելիքների ճյուղի (ֆիզիկական, քիմիական, աշխարհագրական, պատմական, սոցիոլոգիական, տնտեսական, մաթեմատիկական);
- ըստ ներկայացման (նյութական և տեղեկատվական).
Տեղեկատվական մոդելներն իրենց հերթին բաժանվում են նշանային և բանավոր: Եվ խորհրդանշական - համակարգչով և ոչ համակարգչով: Այժմ եկեք անցնենք մաթեմատիկական մոդելի օրինակների մանրամասն քննարկմանը:
Մաթեմատիկական մոդել
Ինչպես կարող եք կռահել, մաթեմատիկական մոդելն արտացոլում է առարկայի կամ երևույթի որոշ առանձնահատկություններ՝ օգտագործելով հատուկ մաթեմատիկական նշաններ: Մաթեմատիկան անհրաժեշտ է շրջապատող աշխարհի օրինաչափությունները իր հատուկ լեզվով մոդելավորելու համար:
Մաթեմատիկական մոդելավորման մեթոդը ծագել է բավականին վաղուց՝ հազարավոր տարիներ առաջ, այս գիտության ի հայտ գալուն զուգընթաց: Այնուամենայնիվ, մոդելավորման այս մեթոդի զարգացման խթանը տվել է համակարգիչների (էլեկտրոնային համակարգիչների) տեսքը։
Այժմ անցնենք դասակարգմանը։ Այն կարող է իրականացվել նաև ըստ որոշ նշանների. Նրանք եններկայացված են ստորև բերված աղյուսակում։
| Դասակարգում ըստ գիտության ճյուղի | Մաթեմատիկական մոդելների կիրառում ֆիզիկայում, սոցիոլոգիայում, քիմիայում և այլն |
| Ըստ մոդելավորման գործընթացում օգտագործվող մաթեմատիկական ապարատի | Մոդելներ՝ հիմնված դիֆերենցիալ հավասարումների, դիսկրետ հանրահաշվական փոխակերպումների և նմանատիպերի վրա |
| Նպատակները մոդելավորելով | Այս սկզբունքի համաձայն կան նկարագրական, օպտիմալացման, բազմաչափ, խաղային և սիմուլյացիոն մոդելներ |
Մենք առաջարկում ենք կանգ առնել և ավելի մոտիկից նայել վերջին դասակարգմանը, քանի որ այն արտացոլում է մոդելավորման ընդհանուր օրինաչափությունները և ստեղծվող մոդելների նպատակները:
Նկարագրական մոդելներ
Այս գլխում մենք առաջարկում ենք ավելի մանրամասն անդրադառնալ նկարագրական մաթեմատիկական մոդելներին: Որպեսզի ամեն ինչ շատ պարզ լինի, կբերվի օրինակ։
Սկզբից այս տեսակետը կարելի է անվանել նկարագրական: Դա պայմանավորված է նրանով, որ մենք պարզապես հաշվարկներ և կանխատեսումներ ենք անում, բայց ոչ մի կերպ չենք կարող ազդել իրադարձության ելքի վրա։
Նկարագրական մաթեմատիկական մոդելի վառ օրինակ է թռիչքի ուղու, արագության, Երկրից հեռավորության հաշվարկը մի գիսաստղի, որը ներխուժել է մեր արեգակնային համակարգի հսկայականությունը: Այս մոդելը նկարագրական է, քանի որ ստացված բոլոր արդյունքները կարող են միայն զգուշացնել մեզ ինչ-որ վտանգի մասին: Ազդեցեք միջոցառման արդյունքի վրա, ավաղ, մենք չունենքԿարող է. Այնուամենայնիվ, ստացված հաշվարկների հիման վրա հնարավոր է ցանկացած միջոց ձեռնարկել Երկրի վրա կյանքը փրկելու համար։
Օպտիմալացման մոդելներ
Այժմ մի փոքր կխոսենք տնտեսական և մաթեմատիկական մոդելների մասին, որոնց օրինակները կարող են լինել տարբեր իրավիճակներ։ Այս դեպքում խոսքը մոդելների մասին է, որոնք օգնում են որոշակի պայմաններում գտնել ճիշտ պատասխանը։ Նրանք պետք է ունենան որոշ պարամետրեր: Շատ պարզ դարձնելու համար դիտարկենք գյուղատնտեսական մասի օրինակ։
Ունենք հացահատիկ, բայց հացահատիկը շատ արագ փչանում է։ Այս դեպքում մենք պետք է ընտրենք ճիշտ ջերմաստիճանային ռեժիմ և օպտիմալացնենք պահպանման գործընթացը։
Այսպիսով, մենք կարող ենք սահմանել «օպտիմալացման մոդել» հասկացությունը: Մաթեմատիկական իմաստով սա հավասարումների համակարգ է (և՛ գծային, և՛ ոչ), որի լուծումն օգնում է գտնել որոշակի տնտեսական իրավիճակում օպտիմալ լուծում: Մենք դիտարկել ենք մաթեմատիկական մոդելի օրինակ (օպտիմալացում), բայց ես կցանկանայի ավելացնել. այս տեսակը պատկանում է ծայրահեղ խնդիրների դասին, դրանք օգնում են նկարագրել տնտեսական համակարգի գործունեությունը։
Նշեք ևս մեկ նրբություն. մոդելները կարող են լինել տարբեր բնույթի (տե՛ս ստորև բերված աղյուսակը):
| դետերմինիստական | Այս դեպքում արդյունքը կախված է մուտքային տվյալներից |
| ստոխաստիկ | Պատահական գործընթացների նկարագրություն: Այս դեպքում արդյունքը մնում է չսահմանված |
Բազմաչափ մոդելներ
Այժմ հրավիրում ենք ձեզ մի փոքր խոսելու մասինԲազմօբյեկտիվ օպտիմալացման մաթեմատիկական մոդել։ Մինչ այդ մենք բերեցինք մաթեմատիկական մոդելի օրինակ՝ գործընթացի օպտիմալացման համար՝ ըստ որևէ մեկ չափանիշի, իսկ եթե դրանք շատ լինեն:
Բազմաչափ առաջադրանքի վառ օրինակ է մարդկանց մեծ խմբերի համար ճիշտ, առողջ և միևնույն ժամանակ խնայող սնվելու կազմակերպումը: Նման առաջադրանքներ հաճախ հանդիպում են բանակում, դպրոցական ճաշարաններում, ամառային ճամբարներում, հիվանդանոցներում և այլն։
Ի՞նչ չափանիշներ են մեզ տրված այս խնդրի մեջ:
- Սնունդը պետք է լինի առողջարար.
- Սննդի վրա ծախսելը պետք է նվազագույնի հասցվի։
Ինչպես տեսնում եք, այս նպատակները բացարձակապես չեն համընկնում։ Սա նշանակում է, որ խնդիր լուծելիս պետք է փնտրել օպտիմալ լուծում՝ հավասարակշռություն երկու չափանիշների միջև։
Խաղի մոդելներ
Խոսելով խաղերի մոդելների մասին՝ անհրաժեշտ է հասկանալ «խաղի տեսություն» հասկացությունը։ Պարզ ասած, այս մոդելներն արտացոլում են իրական կոնֆլիկտների մաթեմատիկական մոդելները: Պարզապես տեղյակ եղեք, որ, ի տարբերություն իրական կոնֆլիկտի, խաղի մաթեմատիկական մոդելն ունի իր հատուկ կանոնները:
Այժմ կգտնվի խաղերի տեսության նվազագույն տեղեկատվություն, որը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչ է խաղի մոդելը: Եվ այսպես, մոդելում անպայման կան խնջույքներ (երկու կամ ավելի), որոնք սովորաբար կոչվում են խաղացողներ։
Բոլոր մոդելներն ունեն որոշ բնութագրեր:
| Առարկաներ | Խաղացողների թիվը |
| Ռազմավարություն | Հնարավոր գործողությունների տարբերակներ |
| Վճարում | Հակամարտության արդյունքը (հաղթել կամ պարտվել). |
Խաղի մոդելը կարող է լինել զուգակցված կամ բազմակի: Եթե ունենք երկու սուբյեկտ, ապա հակամարտությունը զուգակցված է, եթե ավելի շատ՝ բազմակի։ Կարելի է առանձնացնել նաև անտագոնիստական խաղ, այն կոչվում է նաև զրոյական խաղ։ Սա մոդել է, որտեղ մասնակիցներից մեկի շահույթը հավասար է մյուսի կորստի:
Սիմուլյացիոն մոդելներ
Այս բաժնում մենք ուշադրություն կդարձնենք մոդելավորման մաթեմատիկական մոդելներին: Առաջադրանքների օրինակներն են՝
- միկրոօրգանիզմների քանակի դինամիկայի մոդել;
- մոլեկուլների շարժման մոդել և այլն:
Այս դեպքում խոսքը իրական գործընթացներին հնարավորինս մոտ մոդելների մասին է։ Նրանք մեծ հաշվով ընդօրինակում են բնության ցանկացած դրսեւորում։ Առաջին դեպքում, օրինակ, մենք կարող ենք մոդելավորել մեկ գաղութում մրջյունների քանակի դինամիկան։ Այս դեպքում դուք կարող եք դիտարկել յուրաքանչյուր անհատի ճակատագիրը: Այս դեպքում մաթեմատիկական նկարագրությունը հազվադեպ է օգտագործվում, ավելի հաճախ կան գրավոր պայմաններ՝
- հինգ օր հետո էգը ձու է ածում;
- 20 օր անց մրջյունը սատկում է և այլն:
Այսպիսով, մոդելավորման մոդելներն օգտագործվում են մեծ համակարգը նկարագրելու համար: Մաթեմատիկական եզրակացությունը ստացված վիճակագրական տվյալների մշակումն է։
պահանջներ
Շատ կարևորտեղյակ եղեք, որ այս տեսակի մոդելի համար կան որոշ պահանջներ, որոնց թվում են ստորև բերված աղյուսակում տրվածները:
| Բազմակողմանիություն | Այս հատկությունը թույլ է տալիս օգտագործել նույն մոդելը նույն տեսակի օբյեկտների խմբերը նկարագրելիս: Կարևոր է նշել, որ ունիվերսալ մաթեմատիկական մոդելները լիովին անկախ են ուսումնասիրվող օբյեկտի ֆիզիկական բնույթից |
| Ադեկվատություն | Այստեղ կարևոր է հասկանալ, որ այս հատկությունը թույլ է տալիս հնարավորինս ճշգրիտ վերարտադրել իրական գործընթացները: Գործողության խնդիրներում մաթեմատիկական մոդելավորման այս հատկությունը շատ կարևոր է։ Մոդելի օրինակ է գազի համակարգի օգտագործման օպտիմալացման գործընթացը: Այս դեպքում համեմատվում են հաշվարկված և փաստացի ցուցանիշները, արդյունքում ստուգվում է կազմված մոդելի ճիշտությունը |
| Ճշգրտություն | Այս պահանջը ենթադրում է արժեքների համընկնում, որոնք մենք ստանում ենք մաթեմատիկական մոդելը և մեր իրական օբյեկտի մուտքային պարամետրերը հաշվարկելիս |
| Տնտեսություն | Ցանկացած մաթեմատիկական մոդելի ծախսարդյունավետության պահանջը բնութագրվում է իրականացման ծախսերով: Եթե մոդելի հետ աշխատանքն իրականացվում է ձեռքով, ապա անհրաժեշտ է հաշվել, թե որքան ժամանակ կպահանջվի այս մաթեմատիկական մոդելի միջոցով մեկ խնդիր լուծելու համար։ Եթե խոսքը համակարգչային նախագծման մասին է, ապա հաշվարկված են ժամանակի արժեքի և համակարգչային հիշողության ցուցանիշները |
Փուլերմոդելավորում
Ընդհանուր առմամբ մաթեմատիկական մոդելավորման մեջ ընդունված է առանձնացնել չորս փուլ։
- Ձևակերպեք այն օրենքները, որոնք կապում են մոդելի մասերը:
- Մաթեմատիկական խնդիրների հետազոտություն.
- Պրակտիկ և տեսական արդյունքների համընկնման պարզաբանում.
- Մոդելի վերլուծություն և արդիականացում.
Տնտեսական և մաթեմատիկական մոդել
Այս բաժնում հակիրճ կառանձնացնենք տնտեսական և մաթեմատիկական մոդելների խնդիրը: Առաջադրանքների օրինակներն են՝
- մսամթերքի արտադրության արտադրական ծրագրի ձևավորում՝ ապահովելով արտադրության առավելագույն շահույթ;
- առավելագույնի հասցնել կազմակերպության շահույթը՝ հաշվարկելով կահույքի գործարանում արտադրվող սեղանների և աթոռների օպտիմալ քանակը և այլն:
Տնտեսական-մաթեմատիկական մոդելը ցուցադրում է տնտեսական աբստրակցիա, որն արտահայտվում է մաթեմատիկական տերմինների և նշանների միջոցով:
Համակարգչային մաթեմատիկական մոդել
Համակարգչային մաթեմատիկական մոդելի օրինակներ են՝
- հիդրավլիկական խնդիրներ՝ օգտագործելով սխեմաները, դիագրամները, աղյուսակները և այլն;
- խնդիրներ պինդ մեխանիկայի վերաբերյալ և այլն:
Համակարգչային մոդելը օբյեկտի կամ համակարգի պատկեր է, որը ներկայացված է հետևյալ կերպ՝
- սեղան;
- հոսքերի գծապատկեր;
- դիագրամներ;
- գրաֆիկա և այլն:
Միևնույն ժամանակ այս մոդելն արտացոլում է համակարգի կառուցվածքը և փոխկապակցվածությունը:
Տնտեսամաթեմատիկական մոդելի կառուցում
Արդեն խոսեցինք, թե ինչ տնտեսականմաթեմատիկական մոդել. Խնդրի լուծման օրինակ կդիտարկվի հենց հիմա։ Մենք պետք է վերլուծենք արտադրական ծրագիրը՝ տեսականու տեղաշարժով շահույթի ավելացման պահուստը բացահայտելու համար:
Խնդիրն ամբողջությամբ չենք դիտարկելու, այլ միայն տնտեսական և մաթեմատիկական մոդել ենք կառուցելու։ Մեր առաջադրանքի չափանիշը շահույթի մաքսիմալացումն է: Այնուհետև ֆունկցիան ունի ձև՝ Л=р1х1+р2х2… ձգվող առավելագույնին: Այս մոդելում p-ն միավորի շահույթն է, x-ը՝ արտադրված միավորների քանակը: Այնուհետև, կառուցված մոդելի հիման վրա անհրաժեշտ է կատարել հաշվարկներ և ամփոփել։
Պարզ մաթեմատիկական մոդել կառուցելու օրինակ
Առաջադրանք. Ձկնորսը վերադարձավ հետևյալ որսով.
- 8 ձուկ - հյուսիսային ծովերի բնակիչներ;
- որսի 20%-ը՝ հարավային ծովերի բնակիչներ;
- տեղական գետից ոչ մի ձուկ չի հայտնաբերվել։
Քանի՞ ձուկ է նա գնել խանութից:
Այսպիսով, այս խնդրի մաթեմատիկական մոդելի կառուցման օրինակը հետևյալն է. Ձկների ընդհանուր թիվը նշում ենք x-ով: Հետևելով պայմանին՝ 0,2x-ը հարավային լայնություններում ապրող ձկների թիվն է: Այժմ մենք միավորում ենք առկա ողջ ինֆորմացիան և ստանում խնդրի մաթեմատիկական մոդելը՝ x=0, 2x+8։ Լուծում ենք հավասարումը և ստանում հիմնական հարցի պատասխանը՝ նա խանութից գնել է 10 ձուկ։
