Օժեգովի բացատրական բառարանում ասվում է, որ հնգանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը սահմանափակված է հինգ հատվող ուղիղներով, որոնք կազմում են հինգ ներքին անկյուններ, ինչպես նաև նմանատիպ ձևի ցանկացած առարկա: Եթե տրված բազմանկյունն ունի նույն կողմերն ու անկյունները, ապա այն կոչվում է կանոնավոր (հնգանկյուն):
Ի՞նչն է հետաքրքիր սովորական հնգանկյունում:
Հենց այս տեսքով է կառուցվել Միացյալ Նահանգների պաշտպանության նախարարության հայտնի շենքը։ Ծավալուն կանոնավոր բազմանիստից միայն տասներկուանիստն ունի հնգանկյուն երեսներ։ Իսկ բնության մեջ իսպառ բացակայում են բյուրեղները, որոնց դեմքերը կնմանվեին սովորական հնգանկյունի։ Բացի այդ, այս ցուցանիշը նվազագույն թվով անկյուններով բազմանկյուն է, որը չի կարող օգտագործվել տարածքը սալիկապատելու համար: Միայն հնգանկյունն ունի նույնքան անկյունագծեր, որքան իր կողմերը: Համաձայն եմ, հետաքրքիր է։
Հիմնական հատկություններ և բանաձևեր
Օգտագործելով բանաձևերըկամայական կանոնավոր բազմանկյուն, դուք կարող եք որոշել բոլոր անհրաժեշտ պարամետրերը, որոնք ունի հնգանկյունը:
- Կենտրոնական անկյուն α=360 / n=360/5=72°։
- Ներքին անկյուն β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°: Համապատասխանաբար, ներքին անկյունների գումարը 540° է։
- Շեղանկյունի և կողմի հարաբերությունը (1+√5) /2 է, այսինքն՝ «ոսկե հատվածը» (մոտավորապես 1, 618):
- Կողմի երկարությունը, որն ունի սովորական հնգանկյունը, կարելի է հաշվարկել երեք բանաձևերից մեկի միջոցով՝ կախված նրանից, թե որ պարամետրն է արդեն հայտնի՝
- եթե շրջանագիծը շրջագծված է նրա շուրջը և նրա R շառավիղը հայտնի է, ապա a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- այն դեպքում, երբ r շառավղով շրջանագիծը գրված է կանոնավոր հնգանկյունում, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- պատահում է, որ շառավիղների փոխարեն հայտնի է D անկյունագծի արժեքը, ապա կողմը որոշվում է հետևյալ կերպ՝ a ≈ D/1, 618.
- Կանոնավոր հնգանկյունի մակերեսը որոշվում է նորից՝ կախված նրանից, թե որ պարամետրից մենք գիտենք.
- եթե կա ներգծված կամ շրջագծված շրջան, ապա օգտագործվում է երկու բանաձևերից մեկը՝
S=(nar)/2=2, 5ar կամ S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
տարածքը նույնպես կարելի է որոշել՝ իմանալով միայն կողմի երկարությունը a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Կանոնավոր հնգանկյուն. շինարարություն
Այս երկրաչափական պատկերը կարելի է կառուցել տարբեր ձևերով: Օրինակ՝ այն գծագրել տրված շառավղով շրջանագծի մեջ կամ կառուցել տրված կողային կողմի հիման վրա։ Գործողությունների հաջորդականությունը նկարագրվել է Էվկլիդեսի տարրերում մ.թ.ա. մոտ 300 թվականին։ Ամեն դեպքում, մեզ պետք է կողմնացույց և քանոն։ Դիտարկենք կառուցման մեթոդը՝ օգտագործելով տրված շրջանակը:
1. Ընտրեք կամայական շառավիղ և գծեք շրջան՝ նշելով դրա կենտրոնը O.
-ով
2. Շրջանակի գծի վրա ընտրեք մի կետ, որը կծառայի որպես մեր հնգանկյան գագաթներից մեկը: Թող սա լինի A կետը: O և A կետերը միացրեք ուղիղ գծով:
3. O կետի միջով ուղիղ գծե՛ք OA ուղղին ուղղահայաց: Նշեք այս ուղիղի հատումը շրջանագծի հետ որպես B կետ:
4. O և B կետերի միջև հեռավորության մեջտեղում կառուցեք C կետը։
5. Այժմ գծեք շրջան, որի կենտրոնը կլինի C կետում և կանցնի A կետով: OB ուղիղի հետ հատման վայրը (այն կլինի հենց առաջին շրջանագծի ներսում) կլինի D կետը:
6. Կառուցեք D-ով անցնող շրջան, որի կենտրոնը կլինի A-ում: Բնօրինակ շրջանագծի հետ հատման վայրերը պետք է նշվեն E և F կետերով:
7. Այժմ կառուցեք շրջան, որի կենտրոնը կլինի E-ում: Դուք պետք է դա անեք այնպես, որ այն անցնի A-ով: Բնօրինակ շրջանագծի նրա մյուս հատումը պետք է նշվի G կետով:
:
8. Վերջապես, A-ի միջով շրջան գծեք F կետի կենտրոնում: Նշեք սկզբնական շրջանագծի ևս մեկ հատում H կետով:
9. Հիմա մնացել էպարզապես միացրեք A, E, G, H, F գագաթները: Մեր կանոնավոր հնգանկյունը պատրաստ կլինի:
