Մաթեմատիկան ծագում է հնությունից։ Նրա շնորհիվ ճարտարապետությունը, շինարարությունը և ռազմագիտությունը զարգացման նոր փուլ տվեցին, մաթեմատիկայի միջոցով ձեռք բերված ձեռքբերումները հանգեցրին առաջընթացի շարժմանը։ Մինչ օրս մաթեմատիկան մնում է հիմնական գիտությունը, որը հանդիպում է մնացած բոլոր ճյուղերում:
Կրթվելու համար առաջին դասարանից երեխաները սկսում են աստիճանաբար ձուլվել այս միջավայրին։ Շատ կարևոր է հասկանալ մաթեմատիկան, քանի որ այն այս կամ այն չափով հանդիպում է յուրաքանչյուր մարդու իր ողջ կյանքի ընթացքում: Այս հոդվածը կվերլուծի հիմնական տարրերից մեկը՝ ածանցյալների գտնելն ու կիրառումը: Ոչ բոլոր մարդիկ կարող են պատկերացնել, թե որքան լայնորեն օգտագործվում է այս հասկացությունը: Դիտարկենք ածանցյալների 10-ից ավելի կիրառությունները որոշակի ոլորտներում կամ գիտություններում:
Ածանցյալի կիրառում ֆունկցիայի ուսումնասիրության մեջ
Ածանցյալը նման սահման էֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը նրա արգումենտի աճին, երբ փաստարկի ցուցիչը ձգտում է զրոյի: Ածանցյալն անփոխարինելի բան է ֆունկցիայի ուսումնասիրության մեջ։ Օրինակ՝ կարելի է որոշել վերջիններիս ավելացումն ու նվազումը, ծայրահեղությունը, ուռուցիկությունը և գոգավորությունը։ Դիֆերենցիալ հաշվարկը ներառված է մաթեմատիկական բուհերի 1-ին և 2-րդ կուրսերի ուսանողների պարտադիր ուսումնական ծրագրում։
Շրջանակ և գործառույթ զրո
Գրաֆիկի ցանկացած ուսումնասիրության առաջին փուլը սկսվում է սահմանման տիրույթի, ավելի հազվադեպ դեպքերում՝ արժեքի պարզմամբ։ Սահմանման տիրույթը սահմանվում է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, այլ կերպ ասած, դրանք թվային արժեքներ են OX առանցքի վրա: Հաճախ շրջանակն արդեն սահմանված է, բայց եթե այն չկա, ապա պետք է գնահատել x արգումենտի արժեքը: Ենթադրենք, եթե արգումենտի որոշ արժեքների համար ֆունկցիան իմաստ չունի, ապա այս արգումենտը բացառվում է շրջանակից:
Ֆունկցիայի զրոները գտնվում են պարզ եղանակով. f(x) ֆունկցիան պետք է հավասարվի զրոյի, իսկ արդյունքում ստացված հավասարումը լուծվի x մեկ փոփոխականի նկատմամբ: Հավասարման ստացված արմատները ֆունկցիայի զրոներն են, այսինքն՝ այս x-ում ֆունկցիան 0 է։
։
Ավելացում և նվազում
Ածանցյալի օգտագործումը ֆունկցիաներն ուսումնասիրելու համար միապաղաղության համար կարելի է դիտարկել երկու դիրքից. Միապաղաղ ֆունկցիան այն կատեգորիան է, որն ունի միայն ածանցյալի դրական արժեքներ, կամ միայն բացասական արժեքներ: Պարզ բառերով, ֆունկցիան միայն մեծանում կամ նվազում է ուսումնասիրվող ողջ միջակայքում՝
- Ավելացնել պարամետրը: Գործառույթf(x)-ը կաճի, եթե f`(x)-ի ածանցյալը զրոյից մեծ լինի:
- Նվազող պարամետր: F(x) ֆունկցիան կնվազի, եթե f`(x)-ի ածանցյալը զրոյից փոքր լինի։
Տանգենս և թեք
Ածանցյալի կիրառումը ֆունկցիայի ուսումնասիրության համար որոշվում է նաև տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողով (անկյան վրա ուղղված ուղիղ գիծ): Շոշափող կետում (x0) - ուղիղ, որն անցնում է կետով և պատկանում է այն ֆունկցիային, որի կոորդինատներն են (x0, f(x 0 )) և թեքություն f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0) (x - x0) - ֆունկցիայի գրաֆիկի տվյալ կետին շոշափողի հավասարումը։
Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը՝ f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ x կետում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին գոյացած շոշափողի թեքությանը։ Անկյունային գործակիցն իր հերթին հավասար է դրական ուղղությամբ OX առանցքին (աբսցիսայի) շոշափողի թեքության անկյան շոշափմանը։ Այս հետևանքը հիմնարար է ֆունկցիայի գրաֆիկում ածանցյալի կիրառման համար:
Էքստրեմում միավոր
Ածանցյալի կիրառումը ուսումնասիրության մեջ ներառում է բարձր և ցածր միավորներ գտնելը:
Նվազագույն և առավելագույն միավորները գտնելու և որոշելու համար պետք է.
- Գտեք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը
- Ստացված հավասարումը դրեք զրո:
- Գտեք հավասարման արմատները։
- Գտեք բարձր և ցածր միավորներ։
Ծայրահեղությունները գտնելու համարառանձնահատկություններ:
- Գտեք նվազագույն և առավելագույն միավորները՝ օգտագործելով վերը նշված մեթոդը:
- Փոխարինիր այս կետերը սկզբնական հավասարման մեջ և հաշվարկիր ymax և yրոպե
Ֆունկցիայի առավելագույն կետը f(x) ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքն է միջակայքում, այլ կերպ ասած xmax.
Ֆունկցիայի նվազագույն կետը f(x) ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքն է միջակայքում, այլ կերպ ասած xանուն
Ծայրահեղ միավորները նույնն են, ինչ առավելագույն և նվազագույն միավորները, և ֆունկցիայի ծայրահեղությունը (yառավելագույնը և yնվազագույն) - ֆունկցիայի արժեքներ, որոնք համապատասխանում են ծայրահեղ կետերին:
ուռուցիկություն և գոգավորություն
Դուք կարող եք որոշել ուռուցիկությունը և գոգավորությունը՝ օգտագործելով ածանցյալը գծագրման համար.
- F(x) ֆունկցիան, որը հետազոտվել է (a, b) միջակայքում, գոգավոր է, եթե ֆունկցիան գտնվում է այս միջակայքում իր բոլոր շոշափողներից ներքև:
- F(x) ֆունկցիան, որն ուսումնասիրվել է (a, b) միջակայքում, ուռուցիկ է, եթե ֆունկցիան գտնվում է այս միջակայքի ներսում իր բոլոր շոշափողներից վեր:
Կետը, որը բաժանում է ուռուցիկությունն ու գոգավորությունը, կոչվում է ֆունկցիայի թեքության կետ։
Թեքման կետերը գտնելու համար՝
- Գտեք երկրորդ տեսակի կրիտիկական կետերը (երկրորդ ածանցյալ):
- Թեքման կետերն այն կրիտիկական կետերն են, որոնք բաժանում են երկու հակադիր նշաններ:
- Հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքները ֆունկցիայի անկման կետերում:
Մասնակի ածանցյալներ
Դիմումկան այս տեսակի ածանցյալներ խնդիրներում, որտեղ օգտագործվում են մեկից ավելի անհայտ փոփոխականներ: Ամենից հաճախ նման ածանցյալներ հանդիպում են ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելիս, ավելի ճիշտ՝ մակերեսներ տարածության մեջ, որտեղ երկու առանցքների փոխարեն կա երեք, հետևաբար՝ երեք մեծություն (երկու փոփոխական և մեկ հաստատուն):
Մասնակի ածանցյալները հաշվարկելիս հիմնական կանոնն է՝ ընտրել մեկ փոփոխական, իսկ մնացածը վերաբերվել որպես հաստատունների: Հետևաբար, մասնակի ածանցյալը հաշվարկելիս հաստատունը դառնում է թվային արժեք (ածանցյալների շատ աղյուսակներում դրանք նշվում են որպես C=const): Նման ածանցյալի իմաստը OX և OY առանցքների երկայնքով z=f(x, y) ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է, այսինքն՝ այն բնութագրում է կառուցված մակերեսի իջվածքների և ուռուցիկության կտրուկությունը։
։
Ածանցյալ ֆիզիկայում
Ածանցյալի օգտագործումը ֆիզիկայում տարածված է և կարևոր։ Ֆիզիկական նշանակություն. ժամանակի նկատմամբ ուղու ածանցյալը արագությունն է, իսկ արագացումը՝ ժամանակի նկատմամբ արագության ածանցյալը։ Ֆիզիկական իմաստից շատ ճյուղեր կարելի է բերել ֆիզիկայի տարբեր ճյուղերի՝ ամբողջությամբ պահպանելով ածանցյալի իմաստը։
Ածանցյալի օգնությամբ հայտնաբերվում են հետևյալ արժեքները՝
- Արագությունը կինեմատիկայում, որտեղ հաշվարկվում է անցած ճանապարհի ածանցյալը: Եթե գտնվել է ուղու երկրորդ ածանցյալը կամ արագության առաջին ածանցյալը, ապա հայտնաբերվել է մարմնի արագացումը։ Բացի այդ, հնարավոր է գտնել նյութական կետի ակնթարթային արագությունը, սակայն դրա համար անհրաժեշտ է իմանալ ∆t և ∆r աճը։
- Էլեկտրադինամիկայի մեջ.փոփոխական հոսանքի ակնթարթային ուժի, ինչպես նաև էլեկտրամագնիսական ինդուկցիայի EMF-ի հաշվարկ։ Հաշվարկելով ածանցյալը, կարող եք գտնել առավելագույն հզորությունը: Էլեկտրական լիցքի քանակի ածանցյալը հոսանքի ուժն է հաղորդիչում։
։
Ածանցյալ քիմիայի և կենսաբանության մեջ
Քիմիա. ածանցյալն օգտագործվում է քիմիական ռեակցիայի արագությունը որոշելու համար: Ածանցյալի քիմիական նշանակությունը՝ ֆունկցիա p=p(t), այս դեպքում p-ն այն նյութի քանակն է, որը քիմիական ռեակցիայի մեջ մտնում է t ժամանակում։ ∆t - ժամանակի աճ, ∆p - նյութի քանակի աճ: ∆p-ի և ∆t-ի հարաբերակցության սահմանը, որի դեպքում ∆t-ը ձգտում է զրոյի, կոչվում է քիմիական ռեակցիայի արագություն: Քիմիական ռեակցիայի միջին արժեքը Δp/∆t հարաբերակցությունն է: Արագությունը որոշելիս անհրաժեշտ է ճշգրիտ իմանալ բոլոր անհրաժեշտ պարամետրերը, պայմանները, իմանալ նյութի և հոսող միջավայրի ագրեգատային վիճակը։ Սա բավականին մեծ ասպեկտ է քիմիայում, որը լայնորեն կիրառվում է տարբեր ոլորտներում և մարդկային գործունեության մեջ:
Կենսաբանություն. ածանցյալ հասկացությունը օգտագործվում է միջին վերարտադրության արագությունը հաշվարկելու համար: Կենսաբանական նշանակություն՝ ունենք y=x(t) ֆունկցիա։ ∆t - ժամանակի ավելացում: Այնուհետեւ որոշ փոխակերպումների օգնությամբ ստանում ենք y`=P(t)=x`(t) ֆունկցիան` t ժամանակի բնակչության կենսագործունեությունը (վերարտադրության միջին արագություն): Ածանցյալի այս օգտագործումը թույլ է տալիս պահպանել վիճակագրություն, հետևել վերարտադրության արագությանը և այլն:
Ածանցյալ աշխարհագրության և տնտեսագիտության մեջ
Ածանցյալը թույլ է տալիս աշխարհագրագետներին որոշելառաջադրանքներ, ինչպիսիք են բնակչության հայտնաբերումը, սեյսմոգրաֆիայում արժեքների հաշվարկը, միջուկային երկրաֆիզիկական ցուցիչների ռադիոակտիվության հաշվարկը, ինտերպոլացիայի հաշվարկը:
Տնտեսագիտության մեջ հաշվարկների կարևոր մասը դիֆերենցիալ հաշվարկն է և ածանցյալի հաշվարկը։ Սա առաջին հերթին թույլ է տալիս որոշել անհրաժեշտ տնտեսական արժեքների սահմանները։ Օրինակ՝ աշխատանքի ամենաբարձր և ամենացածր արտադրողականությունը, ծախսերը, շահույթը։ Հիմնականում այս արժեքները հաշվարկվում են ֆունկցիայի գրաֆիկներից, որտեղ նրանք գտնում են ծայրահեղություններ, որոշում են ֆունկցիայի միապաղաղությունը ցանկալի տարածքում:
Եզրակացություն
Այս դիֆերենցիալ հաշվարկի դերը ներգրավված է, ինչպես նշված է հոդվածում, տարբեր գիտական կառույցներում: Ածանցյալ ֆունկցիաների օգտագործումը կարևոր տարր է գիտության և արտադրության գործնական մասում։ Իզուր չէ, որ ավագ դպրոցում և համալսարանում մեզ սովորեցրել են կառուցել բարդ գրաֆիկներ, ուսումնասիրել և աշխատել ֆունկցիաների վրա: Ինչպես տեսնում եք, առանց ածանցյալների և դիֆերենցիալ հաշվարկների, անհնար կլիներ հաշվարկել կենսական ցուցիչներն ու քանակները։ Մարդկությունը սովորել է մոդելավորել տարբեր գործընթացներ և ուսումնասիրել դրանք, լուծել բարդ մաթեմատիկական խնդիրներ։ Իրոք, մաթեմատիկան բոլոր գիտությունների թագուհին է, քանի որ այս գիտությունը ընկած է բոլոր մյուս բնական և տեխնիկական առարկաների հիմքում:
