Մաթեմատիկական խնդիրներն օգտագործվում են բազմաթիվ գիտություններում: Դրանք ներառում են ոչ միայն ֆիզիկա, քիմիա, ճարտարագիտություն և տնտեսագիտություն, այլ նաև բժշկություն, էկոլոգիա և այլ առարկաներ: Կարևոր հայեցակարգից մեկը, որը պետք է տիրապետել կարևոր երկընտրանքների լուծումներ գտնելու համար, ֆունկցիայի ածանցյալն է: Դրա ֆիզիկական իմաստն ամենևին էլ այնքան էլ դժվար չէ բացատրել, որքան հարցի էության մեջ կարող է թվալ անգիտակներին։ Բավական է պարզապես գտնել դրա համապատասխան օրինակներ իրական կյանքում և սովորական առօրյա իրավիճակներում։ Իրականում, ցանկացած ավտոմոբիլիստ ամեն օր հաղթահարում է նմանատիպ առաջադրանքը, երբ նա նայում է արագաչափին՝ որոշելով իր մեքենայի արագությունը ֆիքսված ժամանակի որոշակի պահին: Ի վերջո, հենց այս պարամետրում է ածանցյալի ֆիզիկական իմաստի էությունը:
Ինչպես գտնել արագություն
Որոշեք ճանապարհին գտնվող մարդու արագությունը՝ իմանալով անցած ճանապարհը և ճանապարհի ժամանակը, ցանկացած հինգերորդ դասարանցի հեշտությամբ կարող է: Դա անելու համար տրված արժեքներից առաջինը բաժանվում է երկրորդի: Բայցոչ ամեն երիտասարդ մաթեմատիկոս գիտի, որ ներկայումս գտնում է ֆունկցիայի և փաստարկի ավելացումների հարաբերակցությունը: Իսկապես, եթե պատկերացնենք շարժումը գրաֆիկի տեսքով, ուրվագծելով ուղին y առանցքի երկայնքով և ժամանակը աբսցիսայի երկայնքով, դա կլինի հենց այսպիսին։
Սակայն հետիոտնի կամ ցանկացած այլ առարկայի արագությունը, որը մենք որոշում ենք ճանապարհի մեծ հատվածում, շարժումը համարելով միատեսակ, կարող է փոխվել: Ֆիզիկայի մեջ կան շարժման բազմաթիվ ձևեր։ Այն կարող է իրականացվել ոչ միայն մշտական արագացմամբ, այլ դանդաղեցնել և կամայականորեն մեծացնել։ Հարկ է նշել, որ այս դեպքում շարժումը նկարագրող գիծն այլեւս ուղիղ չի լինի։ Գրաֆիկորեն այն կարող է ընդունել ամենաբարդ կոնֆիգուրացիաները: Բայց գրաֆիկի ցանկացած կետի համար մենք միշտ կարող ենք գծել գծային ֆունկցիայով ներկայացված շոշափող:
Ժամանակից կախված տեղաշարժի փոփոխության պարամետրը պարզաբանելու համար անհրաժեշտ է կրճատել չափված հատվածները։ Երբ դրանք դառնում են անսահման փոքր, հաշվարկված արագությունը կլինի ակնթարթային: Այս փորձը մեզ օգնում է սահմանել ածանցյալը: Դրա ֆիզիկական իմաստը նույնպես տրամաբանորեն բխում է նման պատճառաբանությունից:
Երկրաչափության առումով
Հայտնի է, որ որքան մեծ է մարմնի արագությունը, այնքան ավելի կտրուկ է տեղաշարժի կախվածության գրաֆիկը ժամանակից, հետևաբար՝ որոշակի կետում գրաֆիկին շոշափողի թեքության անկյունը։ Նման փոփոխությունների ցուցիչ կարող է լինել x-առանցքի և շոշափող գծի միջև ընկած անկյան շոշափումը: Այն պարզապես որոշում է ածանցյալի արժեքը և հաշվարկվում է երկարությունների հարաբերակցությամբհարակից ոտքին հակառակ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ, որը ձևավորվում է ինչ-որ կետից դեպի x առանցքի վրա ընկած ուղղահայացով:
Սա առաջին ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունն է։ Ֆիզիկականը բացահայտվում է նրանով, որ հակառակ ոտքի արժեքը մեր դեպքում անցած ճանապարհն է, իսկ հարակիցը՝ ժամանակը։ Նրանց հարաբերակցությունը արագությունն է: Եվ նորից գալիս ենք այն եզրակացության, որ ակնթարթային արագությունը, որը որոշվում է, երբ երկու բացերն էլ հակված են անսահման փոքրի, ածանցյալ հասկացության էությունն է՝ ցույց տալով դրա ֆիզիկական նշանակությունը: Այս օրինակի երկրորդ ածանցյալը կլինի մարմնի արագացումը, որն իր հերթին ցույց է տալիս արագության փոփոխության արագությունը:
Ածանցյալներ գտնելու օրինակներ ֆիզիկայում
Ածանցյալը ցանկացած ֆունկցիայի փոփոխության արագության ցուցիչ է, նույնիսկ երբ խոսքը բառի բուն իմաստով շարժման մասին չէ։ Սա հստակ ցույց տալու համար բերենք մի քանի կոնկրետ օրինակ։ Ենթադրենք, ընթացիկ ուժգնությունը, կախված ժամանակից, փոխվում է հետևյալ օրենքի համաձայն՝ I=0, 4t2: Պահանջվում է գտնել այն արագության արժեքը, որով այս պարամետրը փոխվում է գործընթացի 8-րդ վայրկյանի վերջում: Նկատի ունեցեք, որ ցանկալի արժեքը ինքնին, ինչպես կարելի է դատել հավասարումից, անընդհատ աճում է:
Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել առաջին ածանցյալը, որի ֆիզիկական իմաստը ավելի վաղ դիտարկվել է։ Այստեղ dI / dt=0.8t: Հաջորդը, մենք այն գտնում ենք t \u003d 8-ում, ստանում ենք, որ ընթացիկ ուժի փոփոխման արագությունը 6,4 Ա / գ է: Այստեղ համարվում է, որհոսանքը չափվում է ամպերով, իսկ ժամանակը համապատասխանաբար վայրկյաններով։
Ամեն ինչ փոխվում է
Տեսանելի շրջապատող աշխարհը, որը բաղկացած է նյութից, մշտապես ենթարկվում է փոփոխությունների՝ շարժման մեջ լինելով նրանում տեղի ունեցող տարբեր գործընթացների։ Դրանք նկարագրելու համար կարող են օգտագործվել մի շարք պարամետրեր: Եթե դրանք միավորված են կախվածությամբ, ապա մաթեմատիկորեն գրվում են որպես ֆունկցիա, որը հստակ ցույց է տալիս դրանց փոփոխությունները։ Եվ որտեղ կա շարժում (ինչ ձևով էլ այն արտահայտվի), կա նաև ածանցյալ, որի ֆիզիկական իմաստը մենք այս պահին դիտարկում ենք։
Այս առիթով հետևյալ օրինակը. Ենթադրենք, մարմնի ջերմաստիճանը փոխվում է T=0, 2 տ 2 օրենքի համաձայն: Դուք պետք է գտնեք դրա տաքացման արագությունը 10-րդ վայրկյանի վերջում։ Խնդիրը լուծվում է նախորդ դեպքում նկարագրված ձևով: Այսինքն, մենք գտնում ենք ածանցյալը և դրա մեջ փոխարինում ենք t \u003d 10-ի արժեքը, ստանում ենք T \u003d 0, 4 t \u003d 4: Սա նշանակում է, որ վերջնական պատասխանը վայրկյանում 4 աստիճան է, այսինքն, ջեռուցման գործընթացը իսկ ջերմաստիճանի փոփոխությունը՝ չափված աստիճաններով, տեղի է ունենում հենց այդպիսի արագությամբ։
Գործնական խնդիրների լուծում
Իհարկե, իրական կյանքում ամեն ինչ շատ ավելի բարդ է, քան տեսական խնդիրներում։ Գործնականում մեծությունների արժեքը սովորաբար որոշվում է փորձի ժամանակ։ Այս դեպքում օգտագործվում են գործիքներ, որոնք որոշակի սխալով չափումների ժամանակ ցուցումներ են տալիս։ Հետևաբար, հաշվարկներում պետք է գործ ունենալ պարամետրերի մոտավոր արժեքների հետ և դիմել անհարմար թվերի կլորացման,ինչպես նաև այլ պարզեցումներ: Հաշվի առնելով դա՝ մենք կրկին կանցնենք ածանցյալի ֆիզիկական իմաստի վերաբերյալ խնդիրներին՝ հաշվի առնելով, որ դրանք բնության մեջ տեղի ունեցող ամենաբարդ գործընթացների մաթեմատիկական մոդելն են:
Հրաբխի ժայթքում
Պատկերացնենք, որ հրաբուխ է ժայթքում։ Որքանո՞վ կարող է նա վտանգավոր լինել: Այս հարցին պատասխանելու համար անհրաժեշտ է հաշվի առնել բազմաթիվ գործոններ. Մենք կփորձենք տեղավորել դրանցից մեկին։
«Կրեղեն հրեշի» բերանից քարեր են նետվում ուղղահայաց դեպի վեր՝ սկզբնական արագությամբ դուրս գալու պահից սկսած 120 մ/վրկ։ Պետք է հաշվել, թե ինչի կարող են հասնել առավելագույն բարձրության։
Ցանկալի արժեքը գտնելու համար մենք կկազմենք H բարձրության կախվածության հավասարումը, որը չափվում է մետրերով, այլ արժեքներից: Դրանք ներառում են սկզբնական արագությունը և ժամանակը: Արագացման արժեքը համարվում է հայտնի և մոտավորապես հավասար է 10 մ/վրկ.2.
Մասնակի ածանցյալ
Այժմ եկեք դիտարկենք ֆունկցիայի ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը մի փոքր այլ տեսանկյունից, քանի որ հավասարումը ինքնին կարող է պարունակել ոչ թե մեկ, այլ մի քանի փոփոխական։ Օրինակ, նախորդ խնդիրում հրաբխի օդանցքից արտանետվող քարերի բարձրության կախվածությունը որոշվում էր ոչ միայն ժամանակային բնութագրերի փոփոխությամբ, այլև սկզբնական արագության արժեքով։ Վերջինս համարվում էր հաստատուն, հաստատուն արժեք։ Բայց բոլորովին այլ պայմաններով այլ առաջադրանքներում ամեն ինչ կարող էր այլ կերպ լինել։ Եթե այն քանակությունները, որոնց վրա համալիրըֆունկցիա, մի քանի, հաշվարկները կատարվում են ստորև բերված բանաձևերի համաձայն։
Հաճախակի ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը պետք է որոշվի ինչպես սովորական դեպքում: Սա այն արագությունն է, որով ֆունկցիան փոխվում է որոշակի կետում, քանի որ փոփոխականի պարամետրը մեծանում է: Այն հաշվարկվում է այնպես, որ մնացած բոլոր բաղադրիչները ընդունվեն որպես հաստատուններ, միայն մեկը համարվում է փոփոխական։ Հետո ամեն ինչ տեղի է ունենում սովորական կանոններով։
Անփոխարինելի խորհրդատու շատ հարցերի շուրջ
Հասկանալով ածանցյալի ֆիզիկական իմաստը՝ դժվար չէ բարդ ու բարդ խնդիրների լուծման օրինակներ բերել, որոնց պատասխանը կարելի է գտնել նման գիտելիքներով։ Եթե ունենք ֆունկցիա, որը նկարագրում է վառելիքի ծախսը՝ կախված մեքենայի արագությունից, կարող ենք հաշվել, թե վերջինիս որ պարամետրերով կլինի բենզինի ծախսը նվազագույնը։
Բժշկության մեջ դուք կարող եք կանխատեսել, թե ինչպես է մարդու օրգանիզմը արձագանքելու բժշկի նշանակած դեղամիջոցին: Դեղամիջոցի ընդունումը ազդում է մի շարք ֆիզիոլոգիական պարամետրերի վրա: Դրանք ներառում են արյան ճնշման, սրտի հաճախության, մարմնի ջերմաստիճանի փոփոխություններ և այլն: Դրանք բոլորը կախված են ընդունված դեղամիջոցի չափաբաժնից։ Այս հաշվարկները օգնում են կանխատեսել բուժման ընթացքը, ինչպես բարենպաստ դրսևորումների, այնպես էլ անցանկալի պատահարների դեպքում, որոնք կարող են մահացու ելք ազդել հիվանդի մարմնի փոփոխությունների վրա:
Անկասկած, կարևոր է հասկանալ ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը տեխնիկականխնդիրներ, մասնավորապես էլեկտրատեխնիկայի, էլեկտրոնիկայի, նախագծման և շինարարության ոլորտներում:
Արգելակման հեռավորություն
Եկեք դիտարկենք հաջորդ խնդիրը. Մշտական արագությամբ շարժվելով՝ մեքենան, մոտենալով կամրջին, մուտքից 10 վայրկյան առաջ ստիպված է եղել դանդաղեցնել արագությունը, քանի որ վարորդը նկատել է 36 կմ/ժ-ից ավելի արագությամբ շարժվելն արգելող ճանապարհային նշան։ Վարորդը խախտե՞լ է կանոնները, եթե արգելակման հեռավորությունը կարելի է նկարագրել S=26t - t2?
բանաձևով:
Հաշվելով առաջին ածանցյալը, մենք գտնում ենք արագության բանաձևը, ստանում ենք v=28 – 2t: Հաջորդը, փոխարինեք t=10 արժեքը նշված արտահայտության մեջ:
Քանի որ այս արժեքն արտահայտվել է վայրկյաններով, արագությունը 8 մ/վ է, ինչը նշանակում է 28,8 կմ/ժ։ Սա թույլ է տալիս հասկանալ, որ վարորդը ժամանակին սկսել է դանդաղեցնել արագությունը և չի խախտել երթևեկության կանոնները, հետևաբար արագության նշանի վրա նշված սահմանաչափը։
Սա ապացուցում է ածանցյալի ֆիզիկական իմաստի կարևորությունը: Այս խնդրի լուծման օրինակը ցույց է տալիս կյանքի տարբեր ոլորտներում այս հայեցակարգի կիրառման լայնությունը։ Այդ թվում՝ առօրյա իրավիճակներում։
Ածանցյալ տնտեսագիտության մեջ
Մինչև 19-րդ դարը տնտեսագետները հիմնականում աշխատում էին միջինի վրա՝ լինի դա աշխատանքի արտադրողականությունը, թե արտադրանքի գինը։ Բայց ինչ-որ պահից սահմանափակող արժեքներն ավելի անհրաժեշտ դարձան այս ոլորտում արդյունավետ կանխատեսումներ անելու համար։ Դրանք ներառում են սահմանային օգտակարությունը, եկամուտը կամ արժեքը: Սա հասկանալը խթան հաղորդեց տնտեսական հետազոտություններում բոլորովին նոր գործիքի ստեղծմանը,որը գոյություն ունի և զարգացել է ավելի քան հարյուր տարի։
Այնպիսի հաշվարկներ կատարելու համար, որտեղ գերակշռում են նվազագույն և առավելագույն հասկացությունները, պարզապես անհրաժեշտ է հասկանալ ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը: Այս գիտակարգերի տեսական հիմքերը ստեղծողների թվում կարելի է անվանել այնպիսի ականավոր անգլիացի և ավստրիացի տնտեսագետների, ինչպիսիք են ԱՄՆ Ջևոնսը, Կ. Մենգերը և այլք։ Իհարկե, տնտեսական հաշվարկներում սահմանափակող արժեքները միշտ չէ, որ հարմար են օգտագործել: Եվ, օրինակ, եռամսյակային հաշվետվությունները պարտադիր չէ, որ տեղավորվեն գործող սխեմայի մեջ, սակայն, այնուամենայնիվ, նման տեսության կիրառումը շատ դեպքերում օգտակար և արդյունավետ է։
