Անհնար է պնդել, որ դուք գիտեք մաթեմատիկա, եթե չգիտեք, թե ինչպես գծել գրաֆիկներ, գծել անհավասարություններ կոորդինատային գծի վրա և աշխատել կոորդինատային առանցքներով: Գիտության մեջ տեսողական բաղադրիչը կենսական նշանակություն ունի, քանի որ առանց բանաձևերի և հաշվարկների տեսողական օրինակների, երբեմն կարող ես շատ շփոթվել: Այս հոդվածում մենք կտեսնենք, թե ինչպես աշխատել կոորդինատային առանցքների հետ և կսովորենք, թե ինչպես կառուցել ֆունկցիաների պարզ գրաֆիկներ:
Դիմում
Կորդինատային գիծը հիմք է հանդիսանում գծապատկերների ամենապարզ տեսակների, որոնց հանդիպում է ուսանողը իր ուսումնական ճանապարհին: Այն օգտագործվում է գրեթե բոլոր մաթեմատիկական թեմայում` արագությունը և ժամանակը հաշվարկելիս, առարկաների չափերը և դրանց մակերեսը հաշվարկելիս, եռանկյունաչափությունում՝ սինուսների և կոսինուսների հետ աշխատելիս:
Նման ուղիղ գծի հիմնական արժեքը տեսանելիությունն է: Քանի որ մաթեմատիկան գիտություն է, որը պահանջում է վերացական մտածողության բարձր մակարդակ, գրաֆիկներն օգնում են իրական աշխարհում օբյեկտը ներկայացնելու հարցում: Ինչպե՞ս է նա իրեն պահում։ Տիեզերքի որ կետում կհայտնվիմի քանի վայրկյան, րոպե, ժամ? Ի՞նչ կարելի է ասել դրա մասին՝ համեմատած այլ օբյեկտների հետ։ Որքա՞ն է դրա արագությունը պատահականորեն ընտրված ժամանակում: Ինչպե՞ս բնութագրել նրա շարժումը:
Եվ մենք խոսում ենք արագության մասին մի պատճառով. այն հաճախ ցուցադրվում է ֆունկցիայի գրաֆիկներով: Եվ նրանք կարող են նաև ցուցադրել օբյեկտի ներսում ջերմաստիճանի կամ ճնշման փոփոխություններ, դրա չափերը, հորիզոնի նկատմամբ կողմնորոշումը: Այսպիսով, կոորդինատային գիծ կառուցելը հաճախ պահանջվում է նաև ֆիզիկայում:
Միաչափ գրաֆիկ
Գոյություն ունի բազմաչափության հասկացություն: Միաչափ տարածության մեջ միայն մեկ թիվը բավական է կետի գտնվելու վայրը որոշելու համար: Սա հենց այդպես է կոորդինատային գծի օգտագործման դեպքում։ Եթե տարածությունը երկչափ է, ապա երկու թիվ է պահանջվում։ Այս տեսակի գծապատկերները շատ ավելի հաճախ են օգտագործվում, և մենք դրանք անպայման կքննարկենք հոդվածում մի փոքր ուշ:
Ի՞նչ կարելի է տեսնել առանցքի վրա գտնվող կետերի օգնությամբ, եթե կա միայն մեկ առանցք: Դուք կարող եք տեսնել օբյեկտի չափը, նրա դիրքը տարածության մեջ ինչ-որ «զրոյի» նկատմամբ, այսինքն՝ որպես հղման կետ ընտրված կետը:
Ժամանակի ընթացքում պարամետրերի փոփոխությունը տեսանելի չի լինի, քանի որ բոլոր ընթերցումները կցուցադրվեն մեկ կոնկրետ պահի համար: Այնուամենայնիվ, դուք պետք է ինչ-որ տեղից սկսել: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Ինչպես կառուցել կոորդինատային առանցք
Նախ, դուք պետք է գծեք հորիզոնական գիծ. սա կլինի մեր առանցքը: Աջ կողմում «սրել» այնպես, որ սլաքի տեսք ունենա։ Այսպիսով, մենք կնշենք, թե որ ուղղությամբ կլինեն թվերըաճ. Ներքևի ուղղությամբ սլաքը սովորաբար չի տեղադրվում: Ավանդաբար, առանցքը ուղղված է դեպի աջ, ուստի մենք պարզապես կհետևենք այս կանոնին:
Եկեք սահմանենք զրո նշան, որը կցուցադրի կոորդինատների ծագումը: Սա հենց այն վայրն է, որտեղից վերցվում է հետհաշվարկը՝ լինի դա չափը, քաշը, արագությունը կամ որևէ այլ բան: Բացի զրոյից, մենք պետք է անպայման նշանակենք, այսպես կոչված, բաժանման գին, այսինքն՝ ներմուծենք միավոր ստանդարտ, որի համաձայն մենք գծագրենք որոշակի քանակություններ առանցքի վրա: Դա պետք է արվի, որպեսզի կարողանանք գտնել հատվածի երկարությունը կոորդինատային գծի վրա։
Իրարից հավասար հեռավորության վրա տողի վրա դրեք կետեր կամ «խորշեր», իսկ տակը գրեք համապատասխանաբար 1, 2, 3 և այլն։ Եվ հիմա, ամեն ինչ պատրաստ է։ Բայց արդյունքում ստացված ժամանակացույցով դուք դեռ պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել:
Կետերի տեսակները կոորդինատային գծի վրա
Դասագրքերում առաջարկվող գծագրերի առաջին հայացքից պարզ է դառնում՝ առանցքի կետերը կարելի է լրացնել կամ չլրացնել։ Ի՞նչ եք կարծում, դա պատահականությո՞ւն է: Ընդհանրապես! «Պինդ» կետն օգտագործվում է ոչ խիստ անհավասարության համար, որը կարդացվում է որպես «մեծ կամ հավասար»: Եթե մեզ անհրաժեշտ է խստորեն սահմանափակել միջակայքը (օրինակ, «x»-ը կարող է արժեքներ վերցնել զրոյից մինչև մեկ, բայց չի ներառում այն), մենք կօգտագործենք «խոռոչ» կետ, այսինքն, իրականում, փոքր շրջան առանցքի վրա։ Հարկ է նշել, որ ուսանողներին այնքան էլ դուր չեն գալիս խիստ անհավասարությունները, քանի որ նրանց հետ ավելի դժվար է աշխատել։
Կախված նրանից, թե որ միավոր եք դուքօգտագործել գծապատկերում, կկոչվեն նաև կառուցված միջակայքերը: Եթե երկու կողմերի անհավասարությունը խիստ չէ, ապա մենք ստանում ենք հատված։ Եթե մի կողմից պարզվի, որ «բաց» է, ապա այն կկոչվի կիսատ-ինտերվալ։ Ի վերջո, եթե գծի մի մասը երկու կողմից սահմանափակված է խոռոչ կետերով, այն կկոչվի միջակայք։
Ինքնաթիռ
Երբ կոորդինատային հարթության վրա երկու ուղիղ գծում ենք, արդեն կարող ենք դիտարկել ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Ենթադրենք, հորիզոնական գիծը ժամանակի առանցքն է, իսկ ուղղահայացը՝ հեռավորությունը։ Եվ հիմա մենք կարող ենք որոշել, թե ինչ հեռավորություն կհաղթահարի օբյեկտը մեկ րոպեի կամ մեկ ժամվա ընթացքում: Այսպիսով, ինքնաթիռի հետ աշխատելը հնարավորություն է տալիս վերահսկել օբյեկտի վիճակի փոփոխությունը։ Սա շատ ավելի հետաքրքիր է, քան ստատիկ վիճակի ուսումնասիրությունը:
Նման հարթության ամենապարզ գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, այն արտացոլում է Y(X)=aX + b ֆունկցիան։ Գիծը թեքվու՞մ է: Սա նշանակում է, որ ուսումնասիրության ընթացքում օբյեկտը փոխում է իր բնութագրերը։
Պատկերացրե՛ք, որ կանգնած եք շենքի տանիքում՝ մեկնած ձեռքում քար բռնած: Երբ այն բաց թողնեք, այն կթռչի ցած՝ սկսելով իր շարժումը զրոյական արագությունից։ Բայց մեկ վայրկյանում նա կհաղթահարի ժամում 36 կիլոմետր արագությունը։ Քարը կշարունակի ավելի արագանալ, և գծապատկերում իր շարժումը գծելու համար հարկավոր է չափել դրա արագությունը ժամանակի մի քանի կետերում՝ առանցքի վրա համապատասխան վայրերում կետեր դնելով:
Հորիզոնական կոորդինատային գծի վրա լռելյայնորեն նշում են X1, X2, X3, իսկ ուղղահայաց վրա՝ Y1, Y2, Y3, համապատասխանաբար: նախագծումդրանք դեպի հարթություն և խաչմերուկներ գտնելով՝ մենք գտնում ենք ստացված օրինաչափության բեկորները: Կապելով դրանք մեկ տողով՝ ստանում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Ընկնող քարի դեպքում քառակուսի ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝ Y(X)=aXX + bX + c.
Սանդղակ
Իհարկե, պարտադիր չէ ուղիղ գծով բաժանումների կողքին ամբողջ թվեր դնել։ Եթե հաշվի եք առնում խխունջի շարժումը, որը սողում է րոպեում 0,03 մետր արագությամբ, սահմանեք արժեքներ կոորդինատային մասի վրա: Այս դեպքում սանդղակի միջակայքը սահմանեք 0,01 մետր:
Հատկապես հարմար է նման գծագրեր կատարել նոթատետրում վանդակում - այստեղ դուք անմիջապես կարող եք տեսնել, թե արդյոք թերթի վրա բավարար տեղ կա ձեր գծապատկերի համար, եթե դուրս եք գալիս լուսանցքներից: Դժվար չէ հաշվարկել ձեր ուժը, քանի որ նման նոթատետրում բջիջի լայնությունը 0,5 սանտիմետր է։ Դա տարավ - կրճատեց նկարը: Գծապատկերի մասշտաբի փոփոխությունները չեն հանգեցնի նրան, որ այն կորցնի կամ փոխի իր հատկությունները:
Կետի և հատվածի կոորդինատներ
Երբ դասին տրվում է մաթեմատիկայի խնդիր, այն կարող է պարունակել տարբեր երկրաչափական ձևերի պարամետրեր՝ ինչպես կողմերի երկարությունների, այնպես էլ պարագծի, մակերեսի և կոորդինատների տեսքով: Այս դեպքում ձեզ կարող է անհրաժեշտ լինել ինչպես ձևավորել, այնպես էլ դրա հետ կապված որոշ տվյալներ ստանալ: Հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս գտնել անհրաժեշտ տեղեկատվությունը կոորդինատային գծում։ Իսկ ինչպե՞ս ձևավորել:
Օրինակ, մենք խոսում ենք մի կետի մասին. Այնուհետեւ խնդրի վիճակում կհայտնվի մեծատառ, իսկ փակագծերում կհայտնվեն մի քանի թվեր, ամենից հաճախ՝ երկու (սա նշանակում է, որ մենք կհաշվենք երկչափ տարածության մեջ):Եթե փակագծերում կան երեք թվեր, որոնք բաժանված են ստորակետով կամ ստորակետով, ապա սա եռաչափ տարածություն է: Արժեքներից յուրաքանչյուրը կոորդինատ է համապատասխան առանցքի վրա՝ սկզբում հորիզոնական (X), այնուհետև ուղղահայաց (Y):
Հիշո՞ւմ եք, թե ինչպես նկարել հատված: Դուք փոխանցեցիք այն երկրաչափության վրա: Եթե կա երկու կետ, ապա նրանց միջև կարելի է գիծ քաշել։ Նրանց կոորդինատները նշվում են փակագծերում, եթե խնդրի մեջ հայտնվում է հատված: Օրինակ՝ A(15, 13) - B(1, 4): Նման գիծ կառուցելու համար անհրաժեշտ է կոորդինատային հարթության վրա գտնել և նշել կետեր, այնուհետև միացնել դրանք: Վերջ!
Եվ ցանկացած բազմանկյուն, ինչպես գիտեք, կարելի է նկարել հատվածների միջոցով: Խնդիրը լուծված է։
Հաշվարկներ
Ենթադրենք, կա ինչ-որ առարկա, որի դիրքը X առանցքի երկայնքով բնութագրվում է երկու թվով. այն սկսվում է (-3) կոորդինատով կետից և ավարտվում (+2): Եթե մենք ուզում ենք իմանալ այս օբյեկտի երկարությունը, ապա պետք է հանենք փոքր թիվը մեծ թվից։ Նկատի ունեցեք, որ բացասական թիվը կլանում է հանման նշանը, քանի որ «մինուսը բազմապատկած մինուսը հավասար է գումարածի»: Այսպիսով, մենք ավելացնում ենք (2+3) և ստանում ենք 5: Սա անհրաժեշտ արդյունքն է:
Եվս մեկ օրինակ. մեզ տրվում է օբյեկտի վերջնակետը և երկարությունը, բայց ոչ սկզբնական կետը (և մենք պետք է գտնենք այն): Թող հայտնի կետի դիրքը լինի (6), իսկ ուսումնասիրվող օբյեկտի չափը՝ (4): Վերջնական կոորդինատից հանելով երկարությունը՝ ստանում ենք պատասխանը. Ընդհանուր՝ (6 - 4)=2.
Բացասական թվեր
Գործնականում հաճախ պահանջվում է աշխատել բացասական արժեքների հետ: Այս դեպքում մենք կանենքշարժվել դեպի ձախ կոորդինատային առանցքի երկայնքով: Օրինակ՝ 3 սանտիմետր բարձրությամբ առարկան լողում է ջրի մեջ։ Դրա մեկ երրորդը ընկղմված է հեղուկի մեջ, երկու երրորդը՝ օդում։ Այնուհետև, որպես առանցք ընտրելով ջրի մակերեսը, ամենապարզ թվաբանական հաշվարկներով ստանում ենք երկու թիվ՝ օբյեկտի վերին կետն ունի կոորդինատը (+2), իսկ ներքևում՝ (-1) սանտիմետրը։
։
Հեշտ է տեսնել, որ ինքնաթիռի դեպքում մենք ունենք կոորդինատային գծի չորս քառորդ: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը: Առաջին (վերին աջ) մասում կլինեն երկու դրական կոորդինատներ ունեցող կետեր, երկրորդում՝ վերևի ձախ կողմում, X առանցքի արժեքները կլինեն բացասական, իսկ Y առանցքի երկայնքով՝ դրական: Երրորդը և չորրորդը հաշվվում են ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:
Կարևոր սեփականություն
Դուք գիտեք, որ ուղիղը կարող է ներկայացվել որպես անսահման թվով կետեր: Մենք կարող ենք դիտել այնքան ուշադիր, որքան մեզ դուր է գալիս ցանկացած քանակի արժեք առանցքի յուրաքանչյուր ուղղությամբ, բայց մենք չենք հանդիպի կրկնվողների: Թվում է միամիտ և հասկանալի, բայց այդ պնդումը բխում է մի կարևոր փաստից. յուրաքանչյուր թիվ համապատասխանում է կոորդինատային գծի մեկ և միայն մեկ կետին:
Եզրակացություն
Հիշեք, որ ցանկացած առանցք, թվեր և, հնարավորության դեպքում, գրաֆիկա պետք է կառուցված լինեն քանոնի վրա: Չափման միավորները մարդը պատահական չի հորինել. եթե նկարելիս սխալ ես թույլ տալիս, վտանգի ես ենթարկում տեսնել այլ պատկեր, քան պետք է լիներ:
Զգույշ և ճշգրիտ եղեք գծագրման և հաշվարկների մեջ: Ինչպես դպրոցում սովորած ցանկացած գիտություն, մաթեմատիկան էլ է սիրում ճշգրտություն: Մի փոքր ջանք գործադրեք և լավգնահատականները երկար չեն սպասի։
