Մենք բոլորս դպրոցում սովորել ենք թվաբանական քառակուսի արմատներ հանրահաշվի դասարանում: Պատահում է, որ եթե գիտելիքը չի թարմացվում, ուրեմն արագ մոռացվում է, նույնը` արմատները։ Այս հոդվածը օգտակար կլինի ութերորդ դասարանցիներին, ովքեր ցանկանում են թարմացնել իրենց գիտելիքներն այս ոլորտում, և այլ դպրոցականների, քանի որ մենք աշխատում ենք արմատներով 9-րդ, 10-րդ և 11-րդ դասարաններում:
Արմատի և աստիճանի պատմություն
Նույնիսկ հին ժամանակներում, և հատկապես Հին Եգիպտոսում, մարդկանց թվերի վրա գործողություններ կատարելու համար անհրաժեշտ էին աստիճաններ: Երբ նման հասկացություն չկար, եգիպտացիները քսան անգամ գրեցին նույն թվի արտադրյալը։ Բայց շուտով խնդրի լուծումը հայտնագործվեց. քանի անգամ, որ թիվը պետք է բազմապատկվի ինքն իրեն, սկսեց գրվել դրա վերևի աջ անկյունում, և ձայնագրության այս ձևը պահպանվել է մինչ օրս:
Իսկ քառակուսի արմատի պատմությունը սկսվել է մոտ 500 տարի առաջ: Այն նշանակվել է տարբեր ձևերով, և միայն տասնյոթերորդ դարում Ռենե Դեկարտը ներկայացրեց նման նշան, որը մենք օգտագործում ենք մինչ օրս:
Ինչ է քառակուսի արմատը
Եկեք սկսենք բացատրելով, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Որոշ c թվի քառակուսի արմատը ոչ բացասական թիվ է, որը քառակուսու դեպքում հավասար կլինի c-ի: Այս դեպքում c-ն մեծ է կամ հավասար է զրոյի:
Արմատի տակ թիվ բերելու համար այն քառակուսի ենք դնում և վրան դնում արմատի նշանը՝
32=9, 3=√9
Նաև մենք չենք կարող ստանալ բացասական թվի քառակուսի արմատի արժեքը, քանի որ քառակուսու ցանկացած թիվ դրական է, այսինքն՝
c2 ≧ 0, եթե √c-ն բացասական թիվ է, ապա c2 < 0 - հակառակ կանոնին:
Քառակուսի արմատները արագ հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ թվերի քառակուսիների աղյուսակը:
Հատկություններ
Դիտարկենք քառակուսի արմատի հանրահաշվական հատկությունները։
1) Արտադրանքի քառակուսի արմատը հանելու համար անհրաժեշտ է վերցնել յուրաքանչյուր գործոնի արմատը: Այսինքն, այն կարելի է գրել որպես գործոնների արմատների արտադրյալ՝
√ac=√a × √c, օրինակ՝
√36=√4 × √9
2) Կոտորակից արմատ հանելիս անհրաժեշտ է արմատը հանել համարիչից և հայտարարից առանձին, այսինքն՝ գրել որպես դրանց արմատների քանորդ։։
3) Թվի քառակուսի արմատը վերցնելով ստացված արժեքը միշտ հավասար է այս թվի մոդուլին, քանի որ մոդուլը կարող է լինել միայն դրական:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Ցանկացած ուժի վրա արմատ բարձրացնելու համար մենք բարձրացնում ենք դրա վրաարմատական արտահայտություն:
(√с)4=√с4, օրինակ՝
(√2)6 =√26=√64=8
5) c-ի թվաբանական արմատի քառակուսին հավասար է հենց այս թվին.
(√s)2=s.
Իռացիոնալ թվերի արմատները
Ենթադրենք տասնվեցի արմատը հեշտ է, բայց ինչպե՞ս վերցնել այնպիսի թվերի արմատը, ինչպիսին է 7, 10, 11:
Այն թիվը, որի արմատը անվերջ ոչ պարբերական կոտորակ է, կոչվում է իռացիոնալ: Մենք չենք կարող ինքնուրույն արմատ հանել դրանից։ Մենք կարող ենք այն համեմատել միայն այլ թվերի հետ։ Օրինակ, վերցրեք 5-ի արմատը և համեմատեք այն √4-ի և √9-ի հետ: Հասկանալի է, որ √4 < √5 < √9, ապա 2 < √5 < 3. Սա նշանակում է, որ հինգի արմատի արժեքը գտնվում է երկուսի և երեքի միջև, բայց նրանց միջև կան շատ տասնորդական կոտորակներ, և Յուրաքանչյուրը ընտրելը արմատը գտնելու կասկածելի միջոց է:
Այս գործողությունը կարող եք կատարել հաշվիչի վրա. սա ամենահեշտ և ամենաարագ ճանապարհն է, սակայն 8-րդ դասարանում ձեզանից երբեք չի պահանջվի իռացիոնալ թվեր հանել թվաբանական քառակուսի արմատից: Հարկավոր է միայն հիշել երկուսի և երեքի արմատի մոտավոր արժեքները՝
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Օրինակներ
Այժմ, հիմնվելով քառակուսի արմատի հատկությունների վրա, մենք կլուծենք մի քանի օրինակ՝
1) √172 - 82
Հիշեք քառակուսիների տարբերության բանաձևը՝
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Մենք գիտենք քառակուսի թվաբանական արմատի հատկությունը՝ արտադրյալից արմատ հանելու համար անհրաժեշտ է այն հանել յուրաքանչյուր գործակից:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Կիրառել արմատի մեկ այլ հատկություն. թվի թվաբանական արմատի քառակուսին հավասար է հենց այս թվին.
2 × 3 + 6=12
Կարևոր! Հաճախ, երբ սկսում են թվաբանական քառակուսի արմատներով օրինակներ լուծել, սովորողները թույլ են տալիս հետևյալ սխալը՝.
√12 + 3=√12 + √3 - դուք չեք կարող դա անել:
Մենք չենք կարող յուրաքանչյուր տերմինի արմատը վերցնել: Նման կանոն չկա, բայց այն շփոթված է յուրաքանչյուր գործոնի արմատը վերցնելու հետ: Եթե մենք ունենայինք այս գրառումը՝
√12 × 3, ապա ճիշտ կլինի գրել √12 × 3=√12 × √3:
Եվ այսպես, մենք կարող ենք գրել միայն.
√12 + 3=√15
