Թվաբանական առաջընթաց» թեման ուսումնասիրվում է 9-րդ դասարանի դպրոցներում հանրահաշվի ընդհանուր դասընթացում։ Այս թեման կարևոր է թվերի շարքերի մաթեմատիկայի հետագա խորը ուսումնասիրության համար։ Այս հոդվածում մենք կծանոթանանք թվաբանական առաջընթացին, դրա տարբերությանը, ինչպես նաև տիպիկ առաջադրանքներին, որոնց կարող են հանդիպել դպրոցականները։
Հանրահաշվական առաջընթացի հայեցակարգ
Թվային առաջընթացը թվերի հաջորդականություն է, որում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր կարելի է ստանալ նախորդից, եթե կիրառվում է մաթեմատիկական ինչ-որ օրենք։ Գոյություն ունի պրոգրեսիայի երկու պարզ տեսակ՝ երկրաչափական և թվաբանական, որը կոչվում է նաև հանրահաշվական։ Անդրադառնանք դրան ավելի մանրամասն։
Պատկերացնենք ինչ-որ ռացիոնալ թիվ, այն նշանակենք a1 խորհրդանիշով, որտեղ ցուցիչը ցույց է տալիս նրա հերթական թիվը դիտարկվող շարքում: Ավելացնենք մի ուրիշ թիվ a1 -ին, նշանակենք այն դ. Հետո երկրորդըշարքի տարրը կարող է արտացոլվել հետևյալ կերպ. a2=a1+d. Հիմա նորից ավելացրե՛ք d, մենք ստանում ենք՝ a3=a2+d: Շարունակելով այս մաթեմատիկական գործողությունը՝ դուք կարող եք ստանալ թվերի մի ամբողջ շարք, որը կկոչվի թվաբանական առաջընթաց։
Ինչպես կարելի է հասկանալ վերը նշվածից, այս հաջորդականության n-րդ տարրը գտնելու համար դուք պետք է օգտագործեք բանաձևը՝ a =a1+ (n -1)d. Իսկապես, n=1-ը փոխարինելով արտահայտության մեջ՝ մենք ստանում ենք a1=a1, եթե n=2, ապա բանաձևը ենթադրում է. a.2=a1 + 1d, և այլն:
Օրինակ, եթե թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը 5 է, և a1=1, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ տեսակի թվային շարքն ունի հետևյալ տեսքը՝ 1, 6, 11, 16, 21, … Ինչպես տեսնում եք, նրա յուրաքանչյուր անդամ մեծ է նախորդից 5-ով:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերության բանաձևեր
Դիտարկվող թվերի շարքի վերը նշված սահմանումից հետևում է, որ այն որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ երկու թիվ՝ a1 և d: Վերջինս կոչվում է այս առաջընթացի տարբերություն։ Այն եզակիորեն որոշում է ամբողջ շարքի վարքագիծը: Իսկապես, եթե d-ն դրական է, ապա թվերի շարքը անընդհատ կաճի, ընդհակառակը, բացասական d-ի դեպքում շարքի թվերը կավելանան միայն մոդուլով, մինչդեռ դրանց բացարձակ արժեքը կնվազի n թվի աճով։
Ո՞րն է թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը: Դիտարկենք երկու հիմնական բանաձևերը, որոնք օգտագործվում են այս արժեքը հաշվարկելու համար՝
- d=an+1-a , այս բանաձևը ուղղակիորեն բխում է տվյալ թվային շարքի սահմանումից:
- d=(-a1+a)/(n-1), այս արտահայտությունը ստացվում է տրված բանաձևից d արտահայտելով. հոդվածի նախորդ պարբերությունում։ Նշենք, որ այս արտահայտությունը դառնում է անորոշ (0/0), եթե n=1: Դա պայմանավորված է նրանով, որ անհրաժեշտ է իմանալ շարքի առնվազն 2 տարր՝ դրա տարբերությունը որոշելու համար։
Այս երկու հիմնական բանաձևերը օգտագործվում են առաջընթացի տարբերությունը գտնելու ցանկացած խնդիր լուծելու համար: Այնուամենայնիվ, կա ևս մեկ բանաձև, որի մասին դուք նույնպես պետք է իմանաք:
Առաջին տարրերի գումարը
Բանաձևը, որը կարող է օգտագործվել հանրահաշվական պրոգրեսիայի ցանկացած թվի անդամների գումարը որոշելու համար, ըստ պատմական ապացույցների, առաջին անգամ ստացել է 18-րդ դարի մաթեմատիկայի «արքայազն» Կարլ Գաուսը։ Գերմանացի գիտնականը, երբ դեռ գյուղի դպրոցի տարրական դասարանների տղա էր, նկատեց, որ 1-ից 100-ը շարքում բնական թվեր ավելացնելու համար նախ պետք է գումարել առաջին տարրը և վերջինը (ստացված արժեքը հավասար կլինի. նախավերջին և երկրորդ, նախավերջին և երրորդ տարրերի գումարին և այլն), և այնուհետև այս թիվը պետք է բազմապատկել այս գումարների թվով, այսինքն՝ 50-ով։
Բանաձևը, որն արտացոլում է նշված արդյունքը կոնկրետ օրինակի վրա, կարող է ընդհանրացվել կամայական դեպքի: Այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ S =n/2(a +a1): Նկատի ունեցեք, որ նշված արժեքը գտնելու համար d տարբերության իմացությունը պարտադիր չէ,եթե հայտնի են առաջընթացի երկու անդամ (a և a1):
Օրինակ 1. Որոշե՛ք տարբերությունը՝ իմանալով a1 և an
շարքի երկու անդամները
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կիրառել հոդվածում վերը նշված բանաձևերը: Բերենք մի պարզ օրինակ՝ թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունն անհայտ է, անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչին այն հավասար կլինի, եթե a13=-5, 6 և a1. =-12, 1.
Քանի որ մենք գիտենք թվային հաջորդականության երկու տարրերի արժեքները, և դրանցից մեկը առաջին թիվն է, մենք կարող ենք օգտագործել թիվ 2 բանաձևը՝ պարզելու d տարբերությունը։ Մենք ունենք. հայտնի է։
Ստացված տարբերությունը ցույց է տալիս, որ առաջընթացն աճում է, չնայած այն հանգամանքին, որ խնդրի պայմանում տրված տարրերը բացասական արժեք ունեն։ Կարելի է տեսնել, որ a13>a1, չնայած |a13|<|a 1 |.
Օրինակ 2. Առաջընթացի դրական անդամները օրինակ 1
Նոր խնդիր լուծելու համար օգտագործենք նախորդ օրինակում ստացված արդյունքը։ Այն ձևակերպված է հետևյալ կերպ. ո՞ր հաջորդական թվից են թիվ 1 օրինակի առաջընթացի տարրերը սկսում դրական արժեքներ ստանալ։
Ինչպես ցույց է տրված, առաջընթացը, որի դեպքում a1=-12, 1 և d=0. 54167 աճում է, ուստի որոշ թվերից թվերը կսկսեն ընդունել միայն դրական: արժեքներ։ Այս n թիվը որոշելու համար պետք է լուծել պարզ անհավասարություն, որըմաթեմատիկորեն գրված է հետևյալ կերպ. a >0 կամ, օգտագործելով համապատասխան բանաձևը, վերագրում ենք անհավասարությունը՝ a1 + (n-1)d>0: Անհրաժեշտ է գտնել անհայտ n-ը, արտահայտենք այն՝ n>-1a1/d + 1: Այժմ մնում է փոխարինել տարբերության և առաջին անդամի հայտնի արժեքները: հաջորդականության։ Մենք ստանում ենք. 23-ից մեծ թիվ ունենալը դրական կլինի։
Ստուգեք ձեր պատասխանը՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևը՝ այս թվաբանական առաջընթացի 23-րդ և 24-րդ տարրերը հաշվարկելու համար: Մենք ունենք՝ a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (բացասական թիվ); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (դրական արժեք): Այսպիսով, ստացված արդյունքը ճիշտ է՝ սկսած n=24-ից՝ թվային շարքի բոլոր անդամները մեծ կլինեն զրոյից։
Օրինակ 3. Քանի՞ գերան կտեղավորվի:
Եկեք մի հետաքրքիր խնդիր տանք. անտառահատումների ժամանակ որոշվեց սղոցված գերանները դնել իրար վրա, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում: Քանի՞ տեղեկամատյան կարող է դրվել այս կերպ՝ իմանալով, որ ընդհանուր առմամբ կտեղավորվի 10 տող:
Գերանները շարելու այս եղանակով կարելի է նկատել մի հետաքրքիր բան՝ յուրաքանչյուր հաջորդ տողում նախորդից մեկ հատ պակաս է լինելու, այսինքն՝ կա հանրահաշվական պրոգրեսիա, որի տարբերությունը d=1 է։ Ենթադրելով, որ յուրաքանչյուր տողում գրանցամատյանների թիվը այս առաջընթացի անդամ է,և նաև հաշվի առնելով, որ a1=1 (միայն մեկ գերան կտեղավորվի հենց վերևում), մենք գտնում ենք a10 թիվը: Մենք ունենք՝ a10=1 + 1(10-1)=10։ Այսինքն՝ 10-րդ շարքում, որը ընկած է գետնին, կլինի 10 գերան։
Այս «բրգաձեւ» կառուցվածքի ընդհանուր գումարը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով Գաուսի բանաձեւը։ Մենք ստանում ենք՝ S10=10/2(10+1)=55 տեղեկամատյան:
