Տիեզերքում երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս առաջացող պատկերներից մեկը կոնն է: Այն, ի տարբերություն պոլիեդրների, պատկանում է պտտման գործիչների դասին։ Եկեք հոդվածում դիտարկենք, թե ինչ է դա նշանակում երկրաչափության մեջ և ուսումնասիրենք կոնի տարբեր հատվածների բնութագրերը:
Կոն երկրաչափության մեջ
Ենթադրենք, որ ինքնաթիռի վրա ինչ-որ կոր կա: Դա կարող է լինել պարաբոլա, շրջան, էլիպս և այլն։ Վերցրեք մի կետ, որը չի պատկանում նշված հարթությանը և միացրեք կորի բոլոր կետերը դրան: Ստացված մակերեսը կոչվում է կոն կամ պարզապես կոն։
Եթե սկզբնական կորը փակ է, ապա կոնաձև մակերեսը կարող է լցվել նյութով: Այս կերպ ստացված գործիչը եռաչափ մարմին է։ Այն նաև կոչվում է կոն։ Ստորև ներկայացված են մի քանի թղթե կոններ:
Կոնաձեւ մակերեսը հանդիպում է առօրյա կյանքում: Օրինակ՝ պաղպաղակի կոնը կամ գծավոր երթևեկության կոնն ունի այս ձևը, որը նախատեսված է վարորդների և վարորդների ուշադրությունը գրավելու համար։հետիոտներ.
Կոնների տեսակներ
Ինչպես կարող եք կռահել, դիտարկվող թվերը միմյանցից տարբերվում են կորի տեսակով, որի վրա դրանք կազմված են: Օրինակ, կա կլոր կոն կամ էլիպսաձեւ: Այս կորը կոչվում է նկարի հիմք: Այնուամենայնիվ, հիմքի ձևը միակ հատկանիշը չէ, որը թույլ է տալիս դասակարգել կոնները։
Երկրորդ կարևոր բնութագիրը բարձրության դիրքն է հիմքի նկատմամբ: Կոնի բարձրությունը ուղիղ գծի հատված է, որը նկարի վերևից իջեցված է հիմքի հարթության վրա և ուղղահայաց է այս հարթությանը։ Եթե բարձրությունը հատում է հիմքը երկրաչափական կենտրոնում (օրինակ՝ շրջանագծի կենտրոնում), ապա կոնը ուղիղ կլինի, եթե ուղղահայաց հատվածը ընկնի հիմքի որևէ այլ կետ կամ դրանից այն կողմ, ապա պատկերը կլինի. թեք.
Հոդվածում այնուհետև մենք կդիտարկենք միայն կլոր ուղիղ կոնը որպես թվերի դիտարկվող դասի վառ ներկայացուցիչ:
Կոնի տարրերի երկրաչափական անվանումներ
Վերևում ասվեց, որ կոնը հիմք ունի։ Այն սահմանափակված է շրջանով, որը կոչվում է կոնի ուղեցույց։ Ուղեցույցը մի կետին միացնող հատվածները, որոնք չեն գտնվում հիմքի հարթության վրա, կոչվում են գեներատորներ: Գեներատորների բոլոր կետերի բազմությունը կոչվում է պատկերի կոնաձև կամ կողային մակերես: Կլոր աջ կոնի համար բոլոր գեներատորներն ունեն նույն երկարությունը։
Գեներատորների հատման կետը կոչվում է նկարի վերին մասը: Ի տարբերություն պոլիեդրայի, կոնն ունի մեկ գագաթ և ոչեզր.
Նկարի վերևի և շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղիղ գիծը կոչվում է առանցք: Առանցքը պարունակում է ուղիղ կոնի բարձրություն, ուստի այն ուղիղ անկյուն է կազմում հիմքի հարթության հետ։ Այս տեղեկատվությունը կարևոր է կոնի առանցքային հատվածի տարածքը հաշվարկելիս:
Կլոր ուղիղ կոն - պտտման գործիչ
Դիտարկվող կոնը բավականին սիմետրիկ պատկեր է, որը կարելի է ստանալ եռանկյան պտույտի արդյունքում։ Ենթադրենք, մենք ունենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Կոն ստանալու համար բավական է պտտել այս եռանկյունը ոտքերից մեկի շուրջը, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում:
Երևում է, որ պտտման առանցքը կոնի առանցքն է։ Ոտքերից մեկը հավասար կլինի գործչի բարձրությանը, իսկ երկրորդ ոտքը կդառնա հիմքի շառավիղ։ Պտտման արդյունքում եռանկյան հիպոթենուսը կնկարագրի կոնաձև մակերես: Դա կլինի կոնի գեներատորը։
Կլոր ուղիղ կոն ստանալու այս մեթոդը հարմար է նկարի գծային պարամետրերի մաթեմատիկական հարաբերություններն ուսումնասիրելու համար՝ h բարձրությունը, r կլոր հիմքի շառավիղը և ուղեցույցը g։ Ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններից բխում է համապատասխան բանաձևը. Այն նշված է ստորև՝
g2=h2+ r2.
Քանի որ մենք ունենք մեկ հավասարում և երեք փոփոխական, սա նշանակում է, որ կլոր կոնի պարամետրերը եզակիորեն սահմանելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ցանկացած երկու մեծություն:
Կոնի հատվածներ հարթության վրա, որը չի պարունակում նկարի գագաթը
Գծի հատվածների կառուցման հարցը չէչնչին. Փաստն այն է, որ կոնի հատվածի ձևը մակերևույթի կողմից կախված է նկարի հարաբերական դիրքից և հատվածից:
Ենթադրենք, որ կոնը հատում ենք հարթության հետ: Ո՞րն է լինելու այս երկրաչափական գործողության արդյունքը: Բաժնի ձևի ընտրանքները ներկայացված են ստորև նկարում:
Վարդագույն հատվածը շրջանագիծ է: Այն ձևավորվում է պատկերի հատման արդյունքում, որը զուգահեռ է կոնի հիմքին։ Սրանք նկարի առանցքին ուղղահայաց հատվածներ են: Կտրող հարթության վերևում ձևավորված պատկերը սկզբնականին նմանվող կոն է, բայց հիմքում ավելի փոքր շրջան ունի:
Կանաչ հատվածը էլիպս է: Այն ստացվում է, եթե կտրող հարթությունը զուգահեռ չէ հիմքին, այլ այն հատում է միայն կոնի կողային մակերեսը։ Հարթությունից վեր կտրված պատկերը կոչվում է էլիպսաձեւ թեք կոն։
Կապույտ և նարնջագույն հատվածները համապատասխանաբար պարաբոլիկ և հիպերբոլիկ են: Ինչպես երևում է նկարից, դրանք ստացվում են, եթե կտրող հարթությունը միաժամանակ հատում է նկարի կողային մակերեսը և հիմքը։
Դիտարկված կոնի հատվածների մակերեսները որոշելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հարթության վրա համապատասխան պատկերի բանաձևերը: Օրինակ՝ շրջանագծի համար սա Pi թիվը բազմապատկված է շառավիղի քառակուսով, իսկ էլիպսի համար սա Pi-ի արտադրյալն է և փոքր և մեծ կիսաառանցքների երկարությունը՝
:
շրջանակ՝ S=pir2;
էլիպս՝ S=piab.
Կոնի վերին հատված պարունակող հատվածներ
Այժմ դիտարկեք այն հատվածների տարբերակները, որոնք առաջանում են, եթե կտրող հարթությունն էանցեք կոնի վերին մասով: Հնարավոր է երեք դեպք՝
- Բաժինը մեկ կետ է: Օրինակ՝ գագաթով անցնող և հիմքին զուգահեռ հարթությունը տալիս է հենց այդպիսի հատված։
- Հատվածը ուղիղ գիծ է: Այս իրավիճակը տեղի է ունենում, երբ ինքնաթիռը շոշափում է կոնաձև մակերեսին: Հատվածի ուղիղ գիծն այս դեպքում կլինի կոնի գեներատորը։
- Առնային հատված. Այն ձևավորվում է, երբ հարթությունը պարունակում է ոչ միայն պատկերի վերին մասը, այլև նրա ամբողջ առանցքը: Այս դեպքում հարթությունը ուղղահայաց կլինի կլոր հիմքին և կոնը կբաժանի երկու հավասար մասերի։
Ակնհայտ է, որ առաջին երկու տեսակի հատվածների մակերեսները հավասար են զրոյի։ Ինչ վերաբերում է 3-րդ տիպի կոնի խաչմերուկին, ապա այս հարցը ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ պարբերությունում:
Առնային հատված
Վերևում նշվեց, որ կոնի առանցքային հատվածը այն պատկերն է, որը ձևավորվում է, երբ կոնը հատվում է իր առանցքով անցնող հարթությամբ։ Հեշտ է կռահել, որ այս բաժինը կներկայացնի ստորև նկարում ներկայացված պատկերը:
Սա հավասարաչափ եռանկյուն է: Կոնի առանցքային հատվածի գագաթը այս եռանկյան գագաթն է, որը ձևավորվում է միանման կողմերի խաչմերուկից: Վերջիններս հավասար են կոնի գեներատորի երկարությանը։ Եռանկյան հիմքը կոնի հիմքի տրամագիծն է։
Կոնի առանցքային հատվածի մակերեսը հաշվարկելը կրճատվում է մինչև ստացված եռանկյունու մակերեսը գտնելու համար: Եթե ի սկզբանե հայտնի են r հիմքի շառավիղը և կոնի h բարձրությունը, ապա դիտարկվող հատվածի S մակերեսը կլինի՝
S=ժր.
Սաարտահայտությունը հետևանք է եռանկյան մակերեսի ստանդարտ բանաձևի կիրառման (բարձրության արտադրյալի կեսը բազմապատկած հիմքի վրա):
Նշենք, որ եթե կոնի գեներատրիսը հավասար է նրա կլոր հիմքի տրամագծին, ապա կոնի առանցքային հատվածը հավասարակողմ եռանկյուն է։
Եռանկյուն հատված ձևավորվում է, երբ կտրող հարթությունը ուղղահայաց է կոնի հիմքին և անցնում է նրա առանցքով: Նշվածին զուգահեռ ցանկացած այլ հարթություն կտրվածքում կտա հիպերբոլա: Այնուամենայնիվ, եթե հարթությունը պարունակում է կոնի գագաթը և հատում է դրա հիմքը ոչ տրամագծով, ապա ստացված հատվածը նույնպես կլինի հավասարաչափ եռանկյուն:
Կոնի գծային պարամետրերի որոշման խնդիրը
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես օգտագործել առանցքային հատվածի տարածքի համար գրված բանաձևը երկրաչափական խնդիր լուծելու համար:
Հայտնի է, որ կոնի առանցքային հատվածի մակերեսը 100 սմ է2։ Ստացված եռանկյունը հավասարակողմ է: Որքա՞ն է կոնի բարձրությունը և նրա հիմքի շառավիղը:
Քանի որ եռանկյունը հավասարակողմ է, նրա h բարձրությունը կապված է a կողմի երկարության հետ հետևյալ կերպ.
h=√3/2a.
Հաշվի առնելով, որ եռանկյան կողմը երկու անգամ մեծ է կոնի հիմքի շառավղից, և այս արտահայտությունը փոխարինելով խաչմերուկի տարածքի բանաձևով, մենք ստանում ենք՝
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Այնուհետև կոնի բարձրությունը՝
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Մնում է փոխարինել տարածքի արժեքը խնդրի վիճակիցև ստացիր պատասխանը՝
r=√(100/√3) ≈ 7,60 սմ;
ժ=√(√3100) ≈ 13, 16 սմ.
Ո՞ր ոլորտներում է կարևոր իմանալ դիտարկվող հատվածների պարամետրերը:
Տարբեր տեսակի կոնների հատվածների ուսումնասիրությունը ոչ միայն տեսական հետաքրքրություն է ներկայացնում, այլև ունի գործնական կիրառություն։
Առաջին հերթին պետք է նշել աերոդինամիկայի ոլորտը, որտեղ կոնաձեւ հատվածների օգնությամբ հնարավոր է ստեղծել պինդ մարմինների իդեալական հարթ ձևեր։
Երկրորդ, կոնային հատվածները հետագծեր են, որոնց երկայնքով տիեզերական մարմինները շարժվում են գրավիտացիոն դաշտերում: Թե կոնկրետ ինչ տեսակի հատված է ներկայացնում համակարգի տիեզերական մարմինների շարժման հետագիծը, որոշվում է նրանց զանգվածների, բացարձակ արագությունների և նրանց միջև եղած հեռավորությունների հարաբերակցությամբ:
