Իմպսի և անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը. խնդրի լուծման օրինակ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Երբ դուք պետք է լուծեք ֆիզիկայի խնդիրներ առարկաների շարժման վերաբերյալ, հաճախ օգտակար է դառնում կիրառել իմպուլսի պահպանման օրենքը: Թե որն է մարմնի գծային և շրջանաձև շարժման իմպուլսը, և որն է այդ արժեքի պահպանման օրենքի էությունը, քննարկվում է հոդվածում։

Գծային իմպուլսի հայեցակարգ

Պատմական տվյալները ցույց են տալիս, որ այս արժեքը առաջին անգամ դիտարկվել է Գալիլեո Գալիլեյի գիտական աշխատություններում 17-րդ դարի սկզբին։ Հետագայում Իսահակ Նյուտոնը կարողացավ ներդաշնակորեն ինտեգրել իմպուլսի հասկացությունը (իմպուլսի ավելի ճիշտ անվանումը) տարածության մեջ առարկաների շարժման դասական տեսության մեջ։

Նշեք իմպուլսը p¯-ով, այնուհետև դրա հաշվարկման բանաձևը կգրվի հետևյալ կերպ՝

p¯=mv¯.

Այստեղ m-ը զանգվածն է, v¯-ը շարժման արագությունն է (վեկտորային արժեքը): Այս հավասարությունը ցույց է տալիս, որ շարժման մեծությունը մարմնին բնորոշ արագությունն է, որտեղ զանգվածը բազմապատկման գործոնի դեր է կատարում։ Շարժումների քանակըվեկտորային մեծություն է, որն ուղղված է արագության նույն ուղղությամբ։

Ինտուիտիվ, որքան մեծ է շարժման արագությունը և մարմնի զանգվածը, այնքան ավելի դժվար է այն կանգնեցնելը, այսինքն՝ այնքան մեծ է նրա կինետիկ էներգիան։

Շարժման ծավալը և դրա փոփոխությունը

Դուք կարող եք կռահել, որ մարմնի p¯ արժեքը փոխելու համար անհրաժեշտ է որոշակի ուժ կիրառել: Թող F¯ ուժը գործի Δt ժամանակի միջակայքում, ապա Նյուտոնի օրենքը թույլ է տալիս գրել հավասարությունը՝

F¯Δt=ma¯Δt; հետևաբար F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Դt ժամանակային միջակայքի և F¯ ուժի արտադրյալին հավասար արժեքը կոչվում է այս ուժի իմպուլս: Քանի որ պարզվում է, որ այն հավասար է իմպուլսի փոփոխությանը, վերջինս հաճախ կոչվում է պարզապես իմպուլս, ինչը ենթադրում է, որ ինչ-որ արտաքին ուժ F¯ ստեղծել է այն:

Այսպիսով, իմպուլսի փոփոխության պատճառը արտաքին ուժի իմպուլսն է։ Δp¯-ի արժեքը կարող է հանգեցնել և՛ p¯-ի արժեքի ավելացման, եթե F¯-ի և p¯-ի միջև անկյունը սուր է, և՛ p¯-ի մոդուլի նվազման, եթե այս անկյունը բութ է: Ամենապարզ դեպքերն են մարմնի արագացումը (F¯-ի և p¯-ի միջև անկյունը զրո է) և նրա դանդաղումը (F¯ և p¯ վեկտորների միջև անկյունը 180o է):

Երբ իմպուլսը պահպանվում է. օրենք

Եթե մարմնի համակարգը չէարտաքին ուժերը գործում են, և դրանում բոլոր գործընթացները սահմանափակվում են միայն դրա բաղադրիչների մեխանիկական փոխազդեցությամբ, այնուհետև իմպուլսի յուրաքանչյուր բաղադրիչ մնում է անփոփոխ կամայականորեն երկար ժամանակ: Սա մարմինների իմպուլսի պահպանման օրենքն է, որը մաթեմատիկորեն գրված է հետևյալ կերպ՝

p¯=∑_ip_{i¯=const or}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=Const.

i ենթագիրն ամբողջ թիվ է, որը թվարկում է համակարգի օբյեկտը, իսկ x, y, z ինդեքսները նկարագրում են իմպուլսի բաղադրիչները կոորդինատային առանցքներից յուրաքանչյուրի համար Դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգում:

Գործնականում հաճախ անհրաժեշտ է լինում մարմինների բախման համար լուծել միաչափ խնդիրներ, երբ հայտնի են նախնական պայմանները, և անհրաժեշտ է որոշել համակարգի վիճակը հարվածից հետո։ Այս դեպքում իմպուլսը միշտ պահպանվում է, ինչը չի կարելի ասել կինետիկ էներգիայի մասին։ Վերջինս ազդեցությունից առաջ և հետո անփոփոխ կլինի միայն մեկ դեպքում՝ բացարձակ առաձգական փոխազդեցության դեպքում: v₁ և v_{2 արագություններով շարժվող երկու մարմինների բախման այս դեպքումիմպուլսի պահպանման բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը՝.}

մ₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Այստեղ u₁ և u_{2 արագությունները բնութագրում են մարմինների շարժումը հարվածից հետո: Նկատի ունեցեք, որ պահպանման օրենքի այս ձևում անհրաժեշտ է հաշվի առնել արագությունների նշանը. եթե դրանք ուղղված են միմյանց, ապա պետք է վերցնել.դրական, իսկ մյուսը՝ բացասական։}

Կատարյալ ոչ առաձգական բախման դեպքում (հարվածից հետո երկու մարմին կպչում են իրար), իմպուլսի պահպանման օրենքը ունի ձև՝

մ₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Խնդիրի լուծում p¯-ի պահպանման օրենքի վերաբերյալ

Լուծենք հետևյալ խնդիրը՝ երկու գնդակ գլորվում են դեպի մեկը։ Գնդիկների զանգվածները նույնն են, իսկ արագությունները՝ 5 մ/վ և 3 մ/վ։ Ենթադրելով, որ տեղի է ունենում բացարձակ առաձգական բախում, անհրաժեշտ է գտնել դրանից հետո գնդակների արագությունները։

Օգտագործելով իմպուլսի պահպանման օրենքը միաչափ դեպքի համար և հաշվի առնելով, որ հարվածից հետո կինետիկ էներգիան պահպանվում է, գրում ենք.

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Այստեղ անմիջապես նվազեցրինք գնդակների զանգվածները նրանց հավասարության պատճառով, ինչպես նաև հաշվի առանք այն, որ մարմինները շարժվում են դեպի միմյանց։

Ավելի հեշտ է շարունակել համակարգի լուծումը, եթե փոխարինեք հայտնի տվյալները: Մենք ստանում ենք՝

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Փոխարինելով u_{1-ը երկրորդ հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք՝}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ ²=4 - 4u₂ + 2u₂²; հետևաբար,u₂²- 2u_{2 - 15=0.}

Մենք ստացանք դասական քառակուսի հավասարումը: Մենք դա լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով, ստանում ենք՝

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) մ/վ.}

Մենք ստացել ենք երկու լուծում. Եթե դրանք փոխարինենք առաջին արտահայտության մեջ և սահմանենք u₁, ապա կստանանք հետևյալ արժեքը՝ u₁=-3 մ/վ, u ₂=5 մ/վ; u₁=5 մ/վ, u_{2=-3 մ/վ: Թվերի երկրորդ զույգը տրված է խնդրի պայմանում, ուստի այն չի համապատասխանում հարվածից հետո արագությունների իրական բաշխմանը։}

Այսպիսով, մնում է միայն մեկ լուծում՝ u₁=-3 մ/վ, u_{2=5 մ/վ: Այս հետաքրքիր արդյունքը նշանակում է, որ կենտրոնական առաձգական բախման ժամանակ հավասար զանգվածի երկու գնդակներ պարզապես փոխանակում են իրենց արագությունները:}

Շարժման պահ

Այն ամենը, ինչ ասվեց վերևում, վերաբերում է շարժման գծային տեսակին: Սակայն պարզվում է, որ նմանատիպ մեծություններ կարելի է ներմուծել նաև որոշակի առանցքի շուրջ մարմինների շրջանաձև տեղաշարժի դեպքում։ Անկյունային իմպուլսը, որը նաև կոչվում է անկյունային իմպուլս, հաշվարկվում է որպես նյութական կետը պտտման առանցքի և այս կետի իմպուլսի հետ կապող վեկտորի արտադրյալ։ Այսինքն՝ բանաձևը տեղի է ունենում՝

L¯=r¯p¯, որտեղ p¯=mv¯.

Մոմենտը, ինչպես p¯, վեկտոր է, որն ուղղահայաց է r¯ և p¯ վեկտորների վրա կառուցված հարթությանը:

L¯-ի արժեքը պտտվող համակարգի կարևոր հատկանիշն է, քանի որ այն որոշում է դրա մեջ պահվող էներգիան:

Մոմենտ և պահպանման օրենք

Անկյունային իմպուլսը պահպանվում է, եթե համակարգի վրա արտաքին ուժեր չեն գործում (սովորաբար ասում են, որ ուժերի պահ չկա): Նախորդ պարբերության արտահայտությունը պարզ փոխակերպումների միջոցով կարելի է գրել գործնականում ավելի հարմար ձևով՝

L¯=Iω¯, որտեղ I=mr2 նյութական կետի իներցիայի պահն է, ω¯ անկյունային արագությունն է:

Իներցիայի I պահը, որը հայտնվել է արտահայտության մեջ, պտտման համար ունի ճիշտ նույն նշանակությունը, ինչ սովորական զանգվածը գծային շարժման համար:

Եթե կա համակարգի ներքին վերադասավորում, որում ես փոխվում եմ, ապա ω¯ նույնպես հաստատուն չի մնում: Ավելին, երկու ֆիզիկական մեծությունների փոփոխությունն էլ տեղի է ունենում այնպես, որ ստորև նշված հավասարությունը մնում է վավեր՝

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Սա L¯ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքն է: Դրա դրսևորումը նկատել է յուրաքանչյուր մարդ, ով գոնե մեկ անգամ հաճախել է բալետի կամ գեղասահքի, որտեղ մարզիկները ռոտացիոն պիրուետներ են կատարում։