Մեզ շրջապատող բոլոր մարմինները մշտական շարժման մեջ են: Տիեզերքում մարմինների շարժումը դիտվում է մասշտաբի բոլոր մակարդակներում՝ սկսած նյութի ատոմներում տարրական մասնիկների տեղաշարժից և վերջացրած Տիեզերքում գալակտիկաների արագացված շարժումով։ Ամեն դեպքում, շարժման գործընթացը տեղի է ունենում արագացումով: Այս հոդվածում մենք մանրամասնորեն կքննարկենք շոշափելի արագացման հայեցակարգը և կտանք բանաձև, որով այն կարելի է հաշվարկել:
Կինեմատիկական մեծություններ
Նախքան շոշափող արագացման մասին խոսելը, եկեք դիտարկենք, թե ինչ մեծություններ է ընդունված բնութագրել տարածության մեջ մարմինների կամայական մեխանիկական շարժումները։
Առաջին հերթին սա L ուղին է: Այն ցույց է տալիս հեռավորությունը մետրերով, սանտիմետրերով, կիլոմետրերով և այլն, մարմինն անցել է որոշակի ժամանակահատված:
Կինեմատիկայում երկրորդ կարևոր հատկանիշը մարմնի արագությունն է։ Ի տարբերություն ճանապարհի, այն վեկտորային մեծություն է և ուղղված է հետագծի երկայնքովմարմնի շարժումներ. Արագությունը որոշում է տարածական կոորդինատների փոփոխության արագությունը ժամանակի ընթացքում: Այն հաշվարկելու բանաձևն է՝
v¯=dL/dt
Արագությունը ուղու ժամանակի ածանցյալն է:
Վերջապես, մարմինների շարժման երրորդ կարևոր բնութագիրը արագացումն է: Ֆիզիկայի սահմանման համաձայն՝ արագացումը մեծություն է, որը որոշում է արագության փոփոխությունը ժամանակի հետ։ Բանաձևը կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝
a¯=dv¯/dt
Արագացումը, ինչպես արագությունը, նույնպես վեկտորային մեծություն է, բայց ի տարբերություն դրա, այն ուղղված է արագության փոփոխության ուղղությամբ։ Արագացման ուղղությունը նույնպես համընկնում է մարմնի վրա ազդող առաջացող ուժի վեկտորի հետ։
Հետագիծ և արագացում
Ֆիզիկայի շատ խնդիրներ դիտարկվում են ուղղագիծ շարժման շրջանակներում։ Այս դեպքում, որպես կանոն, խոսում են ոչ թե կետի շոշափելի արագացման մասին, այլ աշխատում են գծային արագացմամբ։ Այնուամենայնիվ, եթե մարմնի շարժումը գծային չէ, ապա դրա ամբողջական արագացումը կարող է քայքայվել երկու բաղադրիչի`
- տանգենտ;
- նորմալ.
Գծային շարժման դեպքում նորմալ բաղադրիչը զրո է, ուստի մենք չենք խոսում արագացման վեկտորային ընդլայնման մասին։
Այսպիսով, շարժման հետագիծը մեծապես որոշում է լրիվ արագացման բնույթն ու բաղադրիչները: Շարժման հետագիծը հասկացվում է որպես երևակայական գիծ տարածության մեջ, որով շարժվում է մարմինը։ Ցանկացածկորագիծ հետագիծը հանգեցնում է վերը նշված ոչ զրոյական արագացման բաղադրիչների տեսքին:
Տանգենցիալ արագացման որոշում
Շոշափող կամ, ինչպես նաև կոչվում է շոշափելի արագացում, լրիվ արագացման բաղադրիչն է, որն ուղղված է շարժման հետագծին շոշափելի։ Քանի որ արագությունը նույնպես ուղղված է հետագծի երկայնքով, շոշափող արագացման վեկտորը համընկնում է արագության վեկտորի հետ։
Արագացման հայեցակարգը որպես արագության փոփոխության չափիչ տրված է վերևում: Քանի որ արագությունը վեկտոր է, այն կարող է փոխվել կամ մոդուլային կամ ուղղորդված: Շոշափող արագացումը որոշում է միայն արագության մոդուլի փոփոխությունը:
Նշեք, որ ուղղագիծ շարժման դեպքում արագության վեկտորը չի փոխում իր ուղղությունը, հետևաբար, վերը նշված սահմանման համաձայն, շոշափող արագացումը և գծային արագացումը նույն արժեքն են։
Ստանալով շոշափելի արագացման հավասարումը
Ենթադրենք, որ մարմինը շարժվում է որոշակի կոր հետագծով: Այնուհետև նրա արագությունը v¯ ընտրված կետում կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ՝
v¯=vut¯
Այստեղ v-ն v¯ վեկտորի մոդուլն է, ut¯ միավոր արագության վեկտորն է, որն ուղղված է հետագծին շոշափող:
Օգտագործելով արագացման մաթեմատիկական սահմանումը, մենք ստանում ենք՝
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Ածանցյալը գտնելիս այստեղ օգտագործվել է երկու ֆունկցիայի արտադրյալի հատկությունը։ Մենք տեսնում ենք, որ a¯ ընդհանուր արագացումը դիտարկված կետում համապատասխանում է երկու անդամի գումարին: Դրանք համապատասխանաբար կետի շոշափող և նորմալ արագացումն են։
Ասենք մի քանի խոսք նորմալ արագացման մասին։ Այն պատասխանատու է արագության վեկտորի փոփոխության, այսինքն՝ կորի երկայնքով մարմնի շարժման ուղղությունը փոխելու համար։ Եթե հստակորեն հաշվարկենք երկրորդ անդամի արժեքը, ապա կստանանք նորմալ արագացման բանաձևը՝
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Նորմալ արագացումն ուղղված է կորի տվյալ կետին վերականգնված նորմալի երկայնքով: Շրջանաձև շարժման դեպքում նորմալ արագացումը կենտրոնաձև է։
Տանգենցիալ արագացման հավասարումը at¯ է:
at¯=dv/dtut¯
Այս արտահայտությունն ասում է, որ շոշափելի արագացումը համապատասխանում է ոչ թե ուղղության փոփոխությանը, այլ արագության մոդուլի փոփոխությանը v¯ ժամանակի ընթացքում: Քանի որ շոշափող արագացումը շոշափելիորեն ուղղված է հետագծի դիտարկված կետին, այն միշտ ուղղահայաց է նորմալ բաղադրիչին:
Տանգենցիալ արագացում և ընդհանուր արագացման մոդուլ
Ներկայացվեց վերը նշված ամբողջ տեղեկատվությունը, որը թույլ է տալիս հաշվարկել ընդհանուր արագացումը շոշափողի և նորմալի միջոցով: Իրոք, քանի որ երկու բաղադրիչները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, նրանց վեկտորները կազմում են ուղղանկյուն եռանկյունու ոտքերը,որի հիպոթենուզը ընդհանուր արագացման վեկտորն է: Այս փաստը թույլ է տալիս մեզ գրել ընդհանուր արագացման մոդուլի բանաձևը հետևյալ ձևով.
a=√(a2 + at2)
Լրիվ արագացման և շոշափելի արագացման միջև θ անկյունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.
θ=arccos(at/a)
Որքան մեծ է շոշափելի արագացումը, այնքան մոտ են շոշափողի և լրիվ արագացման ուղղությունները:
Կապը շոշափելի և անկյունային արագացման միջև
Տիպիկ կորագիծ հետագիծ, որով մարմինները շարժվում են տեխնիկայի և բնության մեջ, շրջանագիծ է: Իրոք, շարժակների, շեղբերների և մոլորակների շարժումը սեփական առանցքի կամ լուսատուների շուրջը տեղի է ունենում հենց շրջանագծի մեջ: Այս հետագծին համապատասխան շարժումը կոչվում է ռոտացիա։
Պտտման կինեմատիկան բնութագրվում է նույն արժեքներով, ինչ ուղիղ գծի երկայնքով շարժման կինեմատիկան, սակայն դրանք ունեն անկյունային բնույթ: Այսպիսով, պտույտը նկարագրելու համար օգտագործվում են պտտման θ կենտրոնական անկյունը, ω անկյունային արագությունը և α արագացումը։ Հետևյալ բանաձևերը վավեր են այս քանակների համար.
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Ենթադրենք, որ մարմինը t ժամանակում մեկ պտույտ է կատարել պտտման առանցքի շուրջ, ապա անկյունային արագության համար կարող ենք գրել.
ω=2pi/t
Գծային արագությունն այս դեպքում հավասար կլինի՝
v=2pir/t
Որտեղ r-ն հետագծի շառավիղն է: Վերջին երկու արտահայտությունները մեզ թույլ են տալիս գրելերկու արագությունների միացման բանաձևը՝
v=ωr
Այժմ մենք հաշվարկում ենք հավասարման ձախ և աջ կողմերի ժամանակի ածանցյալը, ստանում ենք՝
dv/dt=rdω/dt
Հավասարության աջ կողմը անկյունային արագացման և շրջանագծի շառավիղի արտադրյալն է: Հավասարման ձախ կողմը արագության մոդուլի փոփոխությունն է, այսինքն՝ շոշափող արագացումը։
Այսպիսով, շոշափելի արագացումը և նման անկյունային արժեքը կապված են հավասարությամբ.
at=αr
Եթե ենթադրենք, որ սկավառակը պտտվում է, ապա α-ի հաստատուն արժեքով կետի շոշափելի արագացումը գծային կերպով կմեծանա այս կետից մինչև պտտման առանցքի r հեռավորությունը մեծանալով:
Հաջորդաբար մենք կլուծենք երկու խնդիր՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը:
Հայտնի արագության ֆունկցիայից շոշափելի արագացման որոշում
Հայտնի է, որ մարմնի արագությունը, որը շարժվում է որոշակի կոր հետագծով, նկարագրվում է ժամանակի հետևյալ ֆունկցիայով.
v=2t2+ 3t + 5
Անհրաժեշտ է որոշել շոշափող արագացման բանաձևը և գտնել դրա արժեքը t=5 վայրկյանում:
Նախ, եկեք գրենք շոշափող արագացման մոդուլի բանաձևը՝
at=dv/dt
Այսինքն՝ at(t) ֆունկցիան հաշվարկելու համար պետք է որոշել արագության ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ։ Մենք ունենք՝
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Փոխարինելով ժամանակը t=5 վայրկյան արդյունք արտահայտության մեջ, մենք հասնում ենք պատասխանին. at=23 մ/վ2:
Նկատի ունեցեք, որ այս խնդրի մեջ արագության համեմատ ժամանակի գրաֆիկը պարաբոլա է, մինչդեռ շոշափող արագացման գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:
շոշափող արագացման առաջադրանք
Հայտնի է, որ նյութական կետը սկսել է հավասարաչափ արագացված պտույտ ժամանակի զրոյական պահից: Պտույտի մեկնարկից 10 վայրկյան անց նրա կենտրոնաձիգ արագացումը հավասարվեց 20 մ/վ2: Անհրաժեշտ է որոշել կետի շոշափելի արագացումը 10 վայրկյան հետո, եթե հայտնի է, որ պտույտի շառավիղը 1 մետր է։
Նախ, գրեք կենտրոնաձև կամ նորմալ արագացման բանաձևը ac:
ac=v2/r
Օգտագործելով գծային և անկյունային արագության փոխհարաբերության բանաձևը, մենք ստանում ենք՝
ac=ω2r
Հավասարաչափ արագացված շարժման դեպքում արագությունը և անկյունային արագացումը փոխկապակցված են բանաձևով.
ω=αt
Փոխարինելով ω-ն ac հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք՝
ac=α2t2r
Գծային արագացումը շոշափելի արագացման միջոցով արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
α=at/r
Վերջին հավասարությունը փոխարինենք նախավերջինով, ստանում ենք՝
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Վերջին բանաձևը, հաշվի առնելով խնդրի վիճակի տվյալները, տանում է դեպի պատասխան՝ at=0, 447.մ/վ2.
