Անլուծելի խնդիրները 7 ամենահետաքրքիր մաթեմատիկական խնդիրներն են։ Նրանցից յուրաքանչյուրը ժամանակին առաջարկվել է հայտնի գիտնականների կողմից, որպես կանոն, վարկածների տեսքով։ Տասնամյակներ շարունակ ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները գլուխ են հանում դրանց լուծումից: Նրանք, ովքեր հաջողության կհասնեն, կպարգևատրվեն մեկ միլիոն ԱՄՆ դոլարով, որն առաջարկում է Clay Institute-ը:
Պատմություն
1900 թվականին գերմանացի մեծ մաթեմատիկոս Դեյվիդ Հիլբերտը ներկայացրեց 23 խնդիրների ցանկը։
Դրանք լուծելու համար իրականացված հետազոտությունները հսկայական ազդեցություն ունեցան 20-րդ դարի գիտության վրա։ Այս պահին դրանց մեծ մասը դադարել է առեղծված լինելուց։ Չլուծված կամ մասամբ լուծվածներից էին.
- թվաբանական աքսիոմների հետևողականության խնդիր;
- փոխադարձության ընդհանուր օրենքը ցանկացած թվային դաշտի տարածության վերաբերյալ;
- ֆիզիկական աքսիոմների մաթեմատիկական ուսումնասիրություն;
- ուսումնասիրություն քառակուսի ձևերի կամայական հանրահաշվական թվերի համարհավանականություն;
- Ֆյոդոր Շուբերտի հաշվողական երկրաչափության խիստ հիմնավորման խնդիրը;
- և այլն:
Չուսումնասիրված են. Քրոնեկերի հայտնի թեորեմը ռացիոնալության ցանկացած հանրահաշվական շրջանի վրա տարածելու խնդիրը և Ռիմանի հիպոթեզը:
Կավի ինստիտուտ
Սա մասնավոր ոչ առևտրային կազմակերպության անունն է, որի կենտրոնակայանը գտնվում է Մասաչուսեթս նահանգի Քեմբրիջ քաղաքում: Այն հիմնադրվել է 1998 թվականին Հարվարդի մաթեմատիկոս Ա. Ջեֆիի և գործարար Լ. Քլեյի կողմից։ Ինստիտուտի նպատակն է հանրահռչակել և զարգացնել մաթեմատիկական գիտելիքները: Դրան հասնելու համար կազմակերպությունը մրցանակներ է շնորհում գիտնականներին և հովանավորում է խոստումնալից հետազոտություններ։
21-րդ դարասկզբին Քլայի մաթեմատիկայի ինստիտուտը մրցանակ առաջարկեց նրանց, ովքեր լուծում են այն, ինչը հայտնի է որպես ամենադժվար անլուծելի խնդիրներ՝ անվանելով նրանց ցուցակը Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ: Միայն Ռիմանի վարկածն է ներառվել Հիլբերտի ցուցակում:
Հազարամյակի մարտահրավերներ
The Clay Institute-ի ցանկն ի սկզբանե ներառված էր՝
- Հոջ ցիկլի վարկած;
- քվանտային Յանգ-Միլսի տեսության հավասարումներ;
- Պուանկարեի վարկած;
- P և NP դասերի հավասարության խնդիրը;
- Ռիմանի վարկած;
- Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ, դրա լուծումների գոյության և հարթության մասին;
- Birch-Swinnerton-Dyer խնդիր.
Այս բաց մաթեմատիկական խնդիրները մեծ հետաքրքրություն են ներկայացնում, քանի որ դրանք կարող են ունենալ բազմաթիվ գործնական իրականացումներ:
Ինչ ապացուցեց Գրիգորի Պերելմանը
1900 թվականին հայտնի փիլիսոփա Անրի Պուանկարեն առաջարկեց, որ ցանկացած ուղղակի միացված կոմպակտ 3-բազմազանություն, առանց սահմանի, հոմեոմորֆ է եռաչափ ոլորտի նկատմամբ: Դրա ապացույցը ընդհանուր գործում մեկ դար չգտնվեց։ Միայն 2002-2003 թվականներին Սանկտ Պետերբուրգի մաթեմատիկոս Գ. Պերելմանը հրապարակեց մի շարք հոդվածներ Պուանկարեի խնդրի լուծումով։ Նրանք պայթող ռումբի ազդեցություն են ունեցել։ 2010-ին Պուանկարեի վարկածը հանվեց Clay Institute-ի «Չլուծված խնդիրների» ցանկից, և անձամբ Պերելմանին առաջարկվեց ստանալ զգալի վարձատրություն նրա հաշվին, որից վերջինս հրաժարվեց՝ չբացատրելով իր որոշման պատճառները։։
Առավել հասկանալի բացատրությունը, թե ինչ է հաջողվել ապացուցել ռուս մաթեմատիկոսին, կարելի է տալ՝ պատկերացնելով, որ ռետինե սկավառակը քաշվում է բլիթ (տորուսի) վրա, այնուհետև փորձում են նրա շրջանագծի եզրերը քաշել մեկ կետի մեջ։ Ակնհայտորեն դա հնարավոր չէ։ Ուրիշ բան, եթե այս փորձն անես գնդակով։ Այս դեպքում եռաչափ թվացող գունդը, որը առաջանում է սկավառակից, որի շրջագիծը ձգվել է մի կետի հիպոթետիկ լարով, սովորական մարդու ընկալմամբ կլինի եռաչափ, իսկ մաթեմատիկայի առումով՝ երկչափ։
Պուանկերը առաջարկեց, որ եռաչափ գունդը միակ եռաչափ «օբյեկտն» է, որի մակերեսը կարող է կծկվել մինչև մեկ կետ, և Պերելմանը հաջողվեց ապացուցել դա: Այսպիսով, այսօր «Անլուծելի խնդիրների» ցանկը բաղկացած է 6 խնդրից։
Յանգ-Միլսի տեսություն
Այս մաթեմատիկական խնդիրն առաջադրվել է դրա հեղինակների կողմից 1954 թվականին։ Տեսության գիտական ձևակերպումը հետևյալն է. Ցանկացած պարզ կոմպակտ չափիչ խմբի համար գոյություն ունի Յանգի և Միլսի կողմից ստեղծված քվանտային տարածական տեսությունը և միևնույն ժամանակ ունի զրոյական զանգվածի թերություն:
Հասարակ մարդուն հասկանալի լեզվով խոսելիս բնական առարկաների (մասնիկներ, մարմիններ, ալիքներ և այլն) փոխազդեցությունները բաժանվում են 4 տեսակի՝ էլեկտրամագնիսական, գրավիտացիոն, թույլ և ուժեղ։ Երկար տարիներ ֆիզիկոսները փորձում են ստեղծել դաշտի ընդհանուր տեսություն։ Այն պետք է գործիք դառնա այս բոլոր փոխազդեցությունները բացատրելու համար։ Յանգ-Միլսի տեսությունը մաթեմատիկական լեզու է, որով հնարավոր է դարձել նկարագրել բնության 4 հիմնական ուժերից 3-ը։ Դա չի վերաբերում գրավիտացիային: Ուստի չի կարելի համարել, որ Յանգին և Միլսին հաջողվել է ստեղծել դաշտի տեսություն։
Բացի այդ, առաջարկվող հավասարումների ոչ գծային լինելը չափազանց դժվար է դարձնում դրանք լուծելը: Փոքր միացման հաստատունների համար դրանք կարող են մոտավորապես լուծվել մի շարք շեղումների տեսության տեսքով: Այնուամենայնիվ, դեռ պարզ չէ, թե ինչպես կարելի է լուծել այս հավասարումները ուժեղ զուգակցման միջոցով:
Navier-Stokes հավասարումներ
Այս արտահայտությունները նկարագրում են այնպիսի գործընթացներ, ինչպիսիք են օդային հոսանքները, հեղուկի հոսքը և տուրբուլենտությունը: Որոշ հատուկ դեպքերի համար արդեն գտնվել են Նավիեր-Սթոքսի հավասարման վերլուծական լուծումներ, բայց մինչ այժմ ոչ ոքի չի հաջողվել դա անել ընդհանուրի համար։ Միևնույն ժամանակ, արագության, խտության, ճնշման, ժամանակի և այլնի հատուկ արժեքների թվային սիմուլյացիաները կարող են հասնել գերազանց արդյունքների: Մնում է հուսալ, որ ինչ-որ մեկը կկարողանա հակառակ ուղղությամբ կիրառել Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներըուղղությունը, այսինքն՝ հաշվարկել պարամետրերը դրանց միջոցով կամ ապացուցել, որ լուծման մեթոդ չկա:
Birch-Swinnerton-Dyer խնդիր
«Չլուծված խնդիրներ» կատեգորիան ներառում է նաև Քեմբրիջի համալսարանի բրիտանացի գիտնականների առաջարկած վարկածը։ Նույնիսկ 2300 տարի առաջ հին հույն գիտնական Էվկլիդեսը տվել է x2 + y2=z2 հավասարման լուծումների ամբողջական նկարագրությունը։
Եթե յուրաքանչյուր պարզ թվի համար հաշվենք կորի մոդուլային կետերի քանակը, ապա կստանանք ամբողջ թվերի անսահման բազմություն: Եթե դուք հատուկ «սոսնձում» եք այն բարդ փոփոխականի 1 ֆունկցիայի մեջ, ապա դուք ստանում եք Hasse-Weil zeta ֆունկցիան երրորդ կարգի կորի համար, որը նշվում է L տառով: Այն պարունակում է տեղեկատվություն միաժամանակ բոլոր պարզ թվերի վարքագծի մոդուլի մասին:
Բրայան Բիրչը և Փիթեր Սվիներթոն-Դայերը ենթադրություններ արեցին էլիպսաձև կորերի մասին: Ըստ այդմ, նրա ռացիոնալ լուծումների բազմության կառուցվածքը և թիվը կապված է նույնականության L-ֆունկցիայի վարքագծի հետ։ Ներկայումս չապացուցված Birch-Swinnerton-Dyer ենթադրությունը կախված է 3-րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների նկարագրությունից և էլիպսային կորերի աստիճանը հաշվարկելու միակ համեմատաբար պարզ ընդհանուր միջոցն է:
Այս առաջադրանքի գործնական նշանակությունը հասկանալու համար բավական է ասել, որ ժամանակակից ծածկագրության մեջ ասիմետրիկ համակարգերի մի ամբողջ դասը հիմնված է էլիպսային կորերի վրա, իսկ ներքին թվային ստորագրության ստանդարտները հիմնված են դրանց կիրառման վրա։
P և np դասերի հավասարություն
Եթե Հազարամյակի մարտահրավերների մնացած մասը զուտ մաթեմատիկական է, ապա այս մեկն ունիկապը ալգորիթմների իրական տեսության հետ: p և np դասերի հավասարության հետ կապված խնդիրը, որը նաև հայտնի է որպես Կուկ-Լևին խնդիր, կարելի է հասկանալի լեզվով ձևակերպել հետևյալ կերպ. Ենթադրենք, որ որոշակի հարցի դրական պատասխանը կարող է բավական արագ ստուգվել, այսինքն՝ բազմանդամ ժամանակում (PT): Այդ դեպքում ճի՞շտ է այն պնդումը, որ դրա պատասխանը կարելի է բավականին արագ գտնել: Նույնիսկ ավելի պարզ այս խնդիրը հնչում է այսպես. իսկապե՞ս ավելի դժվար չէ ստուգել խնդրի լուծումը, քան այն գտնելը: Եթե երբևէ ապացուցվի p և np դասերի հավասարությունը, ապա PV-ի համար ընտրության բոլոր խնդիրները կարող են լուծվել: Այս պահին շատ փորձագետներ կասկածում են այս պնդման իսկությանը, թեև չեն կարող հակառակն ապացուցել։
Ռիմանի հիպոթեզ
Մինչև 1859 թվականը չի գտնվել որևէ օրինաչափություն, որը նկարագրեր, թե ինչպես են պարզ թվերը բաշխվում բնական թվերի միջև։ Թերեւս դա պայմանավորված էր նրանով, որ գիտությունը զբաղվում էր այլ հարցերով։ Այնուամենայնիվ, 19-րդ դարի կեսերին իրավիճակը փոխվեց, և դրանք դարձան ամենաարդիականներից մեկը, որով սկսեց զբաղվել մաթեմատիկան։
Ռիմանի հիպոթեզը, որն ի հայտ եկավ այս ժամանակաշրջանում, այն ենթադրությունն է, որ պարզ թվերի բաշխման որոշակի օրինաչափություն կա:
Այսօր շատ ժամանակակից գիտնականներ կարծում են, որ եթե դա ապացուցվի, ապա անհրաժեշտ կլինի վերանայել ժամանակակից ծածկագրության հիմնարար սկզբունքներից շատերը, որոնք կազմում են էլեկտրոնային առևտրի մեխանիզմների զգալի մասի հիմքը։
Ըստ Ռիմանի վարկածի, կերպարըպարզերի բաշխումը կարող է զգալիորեն տարբերվել ներկայումս ենթադրվողից: Փաստն այն է, որ մինչ այժմ պարզ թվերի բաշխման համակարգ չի հայտնաբերվել։ Օրինակ՝ կա «երկվորյակների» խնդիրը, որոնց միջև տարբերությունը 2 է։ Այս թվերն են՝ 11 և 13, 29։ Մնացած պարզ թվերը կազմում են կլաստերներ։ Սրանք 101, 103, 107 և այլն են: Գիտնականները վաղուց էին կասկածում, որ նման կլաստերներ գոյություն ունեն շատ մեծ պարզ թվերի մեջ: Եթե դրանք գտնվեն, ապա ժամանակակից կրիպտո բանալիների ուժը հարցականի տակ կդնի:
Հոջ ցիկլի հիպոթեզ
Այս դեռ չլուծված խնդիրը ձևակերպվել է 1941թ. Հոջի վարկածը ենթադրում է ցանկացած առարկայի ձևը մոտավորելու հնարավորություն՝ «կպցնելով» ավելի բարձր չափսերի պարզ մարմիններ։ Այս մեթոդը հայտնի է և հաջողությամբ կիրառվում է վաղուց։ Այնուամենայնիվ, հայտնի չէ, թե որքանով կարելի է պարզեցնել։
Այժմ դուք գիտեք, թե ինչ անլուծելի խնդիրներ կան այս պահին։ Դրանք աշխարհի հազարավոր գիտնականների հետազոտության առարկան են: Մնում է հուսալ, որ դրանք կլուծվեն մոտ ապագայում, և դրանց գործնական կիրառումը կօգնի մարդկությանը մտնել տեխնոլոգիական զարգացման նոր փուլ։
