1900 թվականին անցյալ դարի մեծագույն գիտնականներից մեկը՝ Դեյվիդ Հիլբերտը, կազմեց մաթեմատիկայի 23 չլուծված խնդիրների ցանկը։ Նրանց վրա կատարված աշխատանքը հսկայական ազդեցություն ունեցավ մարդկային գիտելիքների այս ոլորտի զարգացման վրա: 100 տարի անց Կլեյի մաթեմատիկական ինստիտուտը ներկայացրեց 7 խնդիրների ցանկը, որոնք հայտնի են որպես Հազարամյակի խնդիրներ: Նրանցից յուրաքանչյուրին առաջարկվել է 1 միլիոն դոլար մրցանակ։
Միակ խնդիրը, որը հայտնվեց գլուխկոտրուկների երկու ցուցակների մեջ, որոնք հետապնդում էին գիտնականներին ավելի քան մեկ դար, Ռիմանի վարկածն էր: Նա դեռ սպասում է իր որոշմանը։
Կենսագրական համառոտ նշում
Գեորգ Ֆրիդրիխ Բեռնհարդ Ռիմանը ծնվել է 1826 թվականին Հաննովերում, աղքատ հովվի մեծ ընտանիքում և ապրել ընդամենը 39 տարի: Նրան հաջողվել է հրատարակել 10 ստեղծագործություն։ Սակայն արդեն իր կենդանության օրոք Ռիմանը համարվում էր իր ուսուցիչ Յոհան Գաուսի իրավահաջորդը։ 25 տարեկանում երիտասարդ գիտնականը պաշտպանել է ատենախոսությունը՝ «Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության հիմունքները»։ Ավելի ուշ նա ձեւակերպեցնրա հայտնի վարկածը։
Առաջին թվեր
Մաթեմատիկան հայտնվեց այն ժամանակ, երբ մարդը սովորեց հաշվել: Միաժամանակ առաջացան թվերի մասին առաջին պատկերացումները, որոնք հետագայում փորձեցին դասակարգել։ Դիտարկվել է, որ դրանցից մի քանիսն ունեն ընդհանուր հատկություններ: Մասնավորապես, բնական թվերից, այսինքն՝ նրանցից, որոնք օգտագործվում էին հաշվելու (համարակալման) կամ առարկաների քանակի նշանակման ժամանակ, առանձնանում էր մի խումբ, որոնք բաժանվում էին միայն մեկի և իրենց վրա։ Դրանք կոչվում են պարզ: Նման թվերի բազմության անսահմանության թեորեմի էլեգանտ ապացույցը տվել է Էվկլիդեսը իր «Էլեմենտներ»-ում։ Այս պահին նրանց որոնումները շարունակվում են։ Մասնավորապես, ամենամեծ թիվն արդեն հայտնի է 274 207 281 – 1.
Էյլերի բանաձև
Պարզների բազմության անվերջության հայեցակարգի հետ մեկտեղ Էվկլիդեսը որոշեց նաև երկրորդ թեորեմը պարզ գործոնների միակ հնարավոր տարրալուծման վերաբերյալ։ Ըստ դրա՝ ցանկացած դրական ամբողջ թիվ պարզ թվերի միայն մեկ բազմության արտադրյալն է։ 1737 թվականին գերմանացի մեծ մաթեմատիկոս Լեոնհարդ Էյլերը արտահայտեց Էվկլիդեսի առաջին անսահմանության թեորեմը ստորև բերված բանաձևով:
Այն կոչվում է զետա ֆունկցիա, որտեղ s-ը հաստատուն է, իսկ p-ն ընդունում է բոլոր պարզ արժեքները: Էվկլիդեսի հայտարարությունն ընդարձակման եզակիության մասին անմիջապես դրանից բխում է։
Riemann Zeta ֆունկցիա
Էյլերի բանաձևը, ավելի ուշադիր ուսումնասիրելով, ամբողջությամբզարմանալի է, քանի որ այն սահմանում է պարզ և ամբողջ թվերի միջև կապը: Ի վերջո, անսահման շատ արտահայտություններ, որոնք կախված են միայն պարզ թվերից, բազմապատկվում են նրա ձախ կողմում, և բոլոր դրական ամբողջ թվերի հետ կապված գումարը գտնվում է աջ կողմում:
Ռիմանը ավելի առաջ գնաց, քան Էյլերը: Թվերի բաշխման խնդրի բանալին գտնելու համար նա առաջարկեց բանաձև սահմանել ինչպես իրական, այնպես էլ բարդ փոփոխականների համար։ Հենց նա էլ հետագայում ստացավ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի անվանումը: 1859 թվականին գիտնականը հրապարակել է «Տրված արժեքը չգերազանցող պարզ թվերի թվի մասին» հոդվածը, որտեղ նա ամփոփել է իր բոլոր գաղափարները։
Ռիմանը առաջարկեց օգտագործել Էյլերի շարքը, որը համընկնում է ցանկացած իրական s>1-ի համար: Եթե նույն բանաձևն օգտագործվի բարդ s-ի համար, ապա շարքը կհամընկնի այս փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար, որի իրական մասը 1-ից մեծ է: «դուրս շպրտեց» միավորը. Այն բացառվեց, քանի որ s=1-ում զետա ֆունկցիան աճում է մինչև անսահմանություն:
Գործնական իմաստ
Տրամաբանական հարց է առաջանում. ինչո՞ւ է զետա ֆունկցիան, որն առանցքային է զրոյական վարկածի վերաբերյալ Ռիմանի աշխատանքում, հետաքրքիր և կարևոր։ Ինչպես գիտեք, այս պահին պարզ օրինաչափություն չի հայտնաբերվել, որը նկարագրեր պարզ թվերի բաշխումը բնական թվերի միջև: Ռիմանը կարողացավ հայտնաբերել, որ պարզ թվերի pi(x) թիվը, որը չի գերազանցում x-ը, արտահայտվում է զետա ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների բաշխմամբ։ Ավելին, Ռիմանի վարկածն էորոշ գաղտնագրային ալգորիթմների աշխատանքի ժամանակի գնահատականներն ապացուցելու անհրաժեշտ պայման։
Ռիմանի հիպոթեզ
Այս մաթեմատիկական խնդրի առաջին ձևակերպումներից մեկը, որը մինչ օրս ապացուցված չէ, հնչում է այսպես. Այլ կերպ ասած, դրանք գտնվում են Re s=½ գծի վրա:
Կա նաև ընդհանրացված Ռիմանի վարկածը, որը նույն պնդումն է, բայց զետա ֆունկցիաների ընդհանրացման համար, որոնք սովորաբար կոչվում են Դիրիխլեի L-ֆունկցիաներ (տես ստորև նկարը):
Խ(n) բանաձեւում - որոշ թվային նիշ (մոդուլ k).
Ռիմանյան պնդումը համարվում է այսպես կոչված զրոյական վարկած, քանի որ այն փորձարկվել է առկա ընտրանքային տվյալների հետ համապատասխանության համար:
Ինչպես պնդում էր Ռիմանը
Գերմանացի մաթեմատիկոսի դիտողությունն ի սկզբանե բավականին պատահական ձևակերպված էր. Փաստն այն է, որ այն ժամանակ գիտնականը պատրաստվում էր ապացուցել պարզ թվերի բաշխման թեորեմը, և այս համատեքստում այս վարկածը առանձնահատուկ նշանակություն չուներ։ Սակայն նրա դերը շատ այլ խնդիրների լուծման գործում հսկայական է։ Ահա թե ինչու Ռիմանի ենթադրությունն այժմ շատ գիտնականների կողմից ճանաչվում է որպես չապացուցված մաթեմատիկական խնդիրներից ամենակարևորը:
Ինչպես արդեն նշվեց, բաշխման թեորեմն ապացուցելու համար Ռիմանի ամբողջական վարկածը պետք չէ, և բավական է տրամաբանորեն հիմնավորել, որ զետա ֆունկցիայի ցանկացած ոչ տրիվիալ զրոյի իրական մասը գտնվում է.0-ի և 1-ի միջև: Այս հատկությունից հետևում է, որ վերը նշված ճշգրիտ բանաձևում հայտնված զետա ֆունկցիայի բոլոր 0-ների գումարը վերջավոր հաստատուն է: x-ի մեծ արժեքների դեպքում այն կարող է ընդհանրապես կորցնել: Բանաձևի միակ անդամը, որը մնում է նույնը նույնիսկ շատ մեծ x-ի դեպքում, ինքն է x-ը: Մնացած բարդ տերմինները դրա համեմատ անհայտանում են ասիմպտոտիկ կերպով։ Այսպիսով, կշռված գումարը ձգտում է x-ին: Այս հանգամանքը կարելի է համարել պարզ թվերի բաշխման թեորեմի ճշմարտացիության հաստատում։ Այսպիսով, Riemann zeta ֆունկցիայի զրոները հատուկ դեր ունեն։ Այն բաղկացած է ապացուցելուց, որ նման արժեքները չեն կարող էական ներդրում ունենալ տարրալուծման բանաձևում:
Ռիմանի հետևորդները
Տուբերկուլյոզից ողբերգական մահը թույլ չտվեց այս գիտնականին իր ծրագիրը հասցնել իր տրամաբանական ավարտին։ Սակայն Շ-Ժ-ն իրենից վերցրել է իշխանությունը։ դե լա Վալե Պուսեն և Ժակ Հադամարդ: Իրարից անկախ, նրանք պարզեցին պարզ թվերի բաշխման թեորեմ: Հադամարդին և Փուսինին հաջողվեց ապացուցել, որ բոլոր ոչ տրիվիալ 0 զետա ֆունկցիաները գտնվում են կրիտիկական տիրույթում:
Այս գիտնականների աշխատանքի շնորհիվ մաթեմատիկայի նոր ուղղություն է հայտնվել՝ թվերի անալիտիկ տեսությունը։ Հետագայում այլ հետազոտողների կողմից ստացվեցին թեորեմի ևս մի քանի պարզունակ ապացույցներ, որոնց վրա աշխատում էր Ռիմանը։ Մասնավորապես, Պալ Էրդոսը և Աթլ Սելբերգը նույնիսկ հայտնաբերեցին դա հաստատող շատ բարդ տրամաբանական շղթա, որը չէր պահանջում բարդ վերլուծության կիրառում։ Այնուամենայնիվ, այս պահին մի քանի կարևորթեորեմներ, այդ թվում՝ թվերի տեսության բազմաթիվ ֆունկցիաների մոտարկումներ։ Այս առումով Էրդոսի և Ատլե Սելբերգի նոր աշխատանքը գործնականում ոչ մի բանի վրա չազդեց։
Խնդիրի ամենապարզ և ամենագեղեցիկ ապացույցներից մեկը գտնվել է 1980 թվականին Դոնալդ Նյումենի կողմից: Այն հիմնված էր հայտնի Կոշիի թեորեմի վրա։
Արդյո՞ք Ռիմանյան հիպոթեզը սպառնում է ժամանակակից ծածկագրության հիմքերին
Տվյալների կոդավորումն առաջացել է հիերոգլիֆների ի հայտ գալուն զուգընթաց, ավելի ճիշտ՝ հենց դրանք կարելի է համարել առաջին կոդերը։ Այս պահին կա թվային ծածկագրության մի ամբողջ տարածք, որը մշակում է կոդավորման ալգորիթմներ։
Առաջին և «կիս պարզ» թվերը, այսինքն՝ նրանք, որոնք բաժանվում են միայն նույն դասի 2 այլ թվերի, կազմում են հանրային բանալիների համակարգի հիմքը, որը հայտնի է որպես RSA: Այն ունի ամենալայն կիրառությունը։ Մասնավորապես, այն օգտագործվում է էլեկտրոնային ստորագրություն ստեղծելու ժամանակ։ Խոսելով կեղծիքների համար մատչելի տերմիններով՝ Ռիմանի հիպոթեզը հաստատում է պարզ թվերի բաշխման համակարգի գոյությունը: Այսպիսով, կրիպտոգրաֆիկ բանալիների ուժը, որոնցից կախված է էլեկտրոնային առևտրի ոլորտում առցանց գործարքների անվտանգությունը, զգալիորեն կրճատվում է։
Մաթեմատիկական չլուծված այլ խնդիրներ
Արժե հոդվածն ավարտել՝ մի քանի բառ նվիրելով հազարամյակի այլ թիրախներին։ Դրանք ներառում են՝
- P և NP դասերի հավասարություն. Խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. եթե որոշակի հարցի դրական պատասխանը ստուգվում է բազմանդամ ժամանակում, ապա ճի՞շտ է, որ այս հարցի պատասխանն ինքնին.կարելի է արագ գտնել?
- Հոջի ենթադրությունը. Պարզ բառերով, այն կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. պրոյեկտիվ հանրահաշվական տարատեսակների (տարածությունների) որոշ տեսակների համար Հոջ ցիկլերը երկրաչափական մեկնաբանություն ունեցող առարկաների համակցություններ են, այսինքն՝ հանրահաշվական ցիկլեր:
- Պուանկարեի ենթադրությունը. Սա միակ Հազարամյակի մարտահրավերն է, որը մինչ այժմ ապացուցված է: Ըստ դրա՝ ցանկացած եռաչափ օբյեկտ, որն ունի եռաչափ գնդիկի հատուկ հատկություններ, պետք է լինի գնդիկ՝ մինչև դեֆորմացիա։
- Յանգ - Միլս քվանտային տեսության հաստատում. Պահանջվում է ապացուցել, որ R 4 տարածության համար այս գիտնականների կողմից առաջադրված քվանտային տեսությունը գոյություն ունի և ունի 0-րդ զանգվածի թերություն ցանկացած պարզ կոմպակտ չափիչ G խմբի համար:
- Birch-Swinnerton-Dyer վարկած. Սա գաղտնագրության հետ կապված մեկ այլ խնդիր է։ Այն դիպչում է էլիպսաձեւ կորերին։
- Նավիեր-Սթոքսի հավասարումների լուծումների գոյության և սահունության խնդիրը:
Այժմ դուք գիտեք Ռիմանի վարկածը: Պարզ ասած, մենք ձևակերպել ենք Հազարամյակի մյուս մարտահրավերները: Որ դրանք կլուծվեն, կամ կապացուցվի, որ լուծում չունեն, ժամանակի հարց է։ Ավելին, դժվար թե դա շատ երկար սպասի, քանի որ մաթեմատիկան գնալով ավելի է օգտագործում համակարգիչների հաշվողական հնարավորությունները։ Սակայն ամեն ինչ չէ, որ ենթակա է տեխնոլոգիային, և գիտական խնդիրները լուծելու համար առաջին հերթին ինտուիցիա և ստեղծագործական ունակություններ են պահանջվում։
