Կոնը պտտման տարածական պատկերներից է, որի բնութագրերն ու հատկությունները ուսումնասիրվում են ստերեոմետրիայի միջոցով։ Այս հոդվածում մենք կսահմանենք այս ցուցանիշը և կդիտարկենք կոնի գծային պարամետրերը նրա մակերեսի և ծավալի հետ կապող հիմնական բանաձևերը:
Ի՞նչ է կոնը:
Երկրաչափության տեսակետից խոսքը տարածական պատկերի մասին է, որը ձևավորվում է ուղիղ հատվածների մի շարքով, որոնք կապում են տարածության որոշակի կետը հարթ հարթ կորի բոլոր կետերի հետ։ Այս կորը կարող է լինել շրջան կամ էլիպս: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս կոն։
Ներկայացված պատկերը ծավալ չունի, քանի որ դրա մակերեսի պատերն ունեն անսահման փոքր հաստություն։ Սակայն եթե այն լցված է նյութով և վերևից սահմանափակված է ոչ թե կորով, այլ հարթ պատկերով, օրինակ՝ շրջանով, ապա մենք կստանանք պինդ ծավալային մարմին, որը սովորաբար կոչվում է նաև կոն։
Կոնի ձևը հաճախ կարելի է գտնել կյանքում: Այսպիսով, այն ունի պաղպաղակի կոն կամ գծավոր սև և նարնջագույն երթևեկության կոներ, որոնք դրված են ճանապարհի վրա՝ երթևեկության մասնակիցների ուշադրությունը գրավելու համար։
Կոնի տարրերը և նրա տեսակները
Քանի որ կոնը բազմանիստ չէ, այն կազմող տարրերի թիվն այնքան էլ մեծ չէ, որքան բազմանիստինը։ Երկրաչափության մեջ ընդհանուր կոնը բաղկացած է հետևյալ տարրերից՝
- հիմք, որի սահմանային կորը կոչվում է ուղղորդիչ կամ գեներատրիքս;
- Կողային մակերեսի, որը ուղիղ գծերի բոլոր կետերի հավաքածուն է (գեներատորներ), որոնք միացնում են գագաթն ու ուղեցույցի կորի կետերը;
- գագաթ, որը գեներատորների հատման կետն է։
Նշեք, որ գագաթը չպետք է ընկած լինի հիմքի հարթության վրա, քանի որ այս դեպքում կոնը վերածվում է հարթ պատկերի:
Եթե վերևից դեպի հիմքը ուղղահայաց հատված գծենք, ապա կստանանք նկարի բարձրությունը: Եթե վերջին հիմքը հատվում է երկրաչափական կենտրոնում, ապա այն ուղիղ կոն է։ Եթե ուղղահայացը չի համընկնում հիմքի երկրաչափական կենտրոնի հետ, ապա պատկերը թեքված կլինի։
Ուղիղ և թեք կոնները ներկայացված են նկարում: Այստեղ կոնի հիմքի բարձրությունը և շառավիղը համապատասխանաբար նշանակվում են h և r: Գծի գագաթը և հիմքի երկրաչափական կենտրոնը միացնող գիծը կոնի առանցքն է։ Նկարից երևում է, որ ուղիղ գործչի համար բարձրությունն այս առանցքի վրա է, իսկ թեքվածի դեպքում բարձրությունը առանցքի հետ անկյուն է կազմում։ Կոնի առանցքը նշվում է a տառով:
Ուղիղ կոն կլոր հիմքով
Հավանաբար, այս կոնը համարվում է թվերի դասակարգման մեջ ամենատարածվածը: Այն բաղկացած է շրջանագծից և կողքիցմակերեսներ. Դժվար չէ այն ստանալ երկրաչափական մեթոդներով։ Դա անելու համար վերցրեք ուղղանկյուն եռանկյուն և պտտեք այն առանցքի շուրջ, որը համընկնում է ոտքերից մեկի հետ: Ակնհայտ է, որ այս ոտքը կդառնա գործչի բարձրությունը, իսկ եռանկյունու երկրորդ ոտքի երկարությունը կազմում է կոնի հիմքի շառավիղը: Ստորև բերված դիագրամը ցույց է տալիս խնդրո առարկա պտույտի ստացման նկարագրված սխեման:
Պատկերված եռանկյունը կարող է պտտվել մեկ այլ ոտքի շուրջ, ինչի արդյունքում կստեղծվի կոն՝ հիմքի ավելի մեծ շառավղով և ավելի ցածր բարձրությամբ, քան առաջինը:
Կլոր ուղիղ կոնի բոլոր պարամետրերը միանշանակ որոշելու համար պետք է իմանալ դրա գծային բնութագրերից երկուսը: Դրանցից առանձնանում են r շառավիղը, h բարձրությունը կամ g գեներատորի երկարությունը։ Այս բոլոր մեծությունները համարվում են ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարությունները, հետևաբար, դրանց միացման համար վավեր է Պյութագորասի թեորեմը՝
g2=r2+ h2.
Մակերևույթ
Ցանկացած եռաչափ պատկերի մակերեսն ուսումնասիրելիս հարմար է օգտագործել դրա զարգացումը հարթության վրա։ Կոնը բացառություն չէ: Կլոր կոնի համար մշակումը ներկայացված է ստորև։
Տեսնում ենք, որ պատկերի բացվածքը բաղկացած է երկու մասից.
- Կոնի հիմքը կազմող շրջան։
- Շրջանակի հատվածը, որը պատկերի կոնաձև մակերեսն է։
Շրջանակի մակերեսը հեշտ է գտնել, և համապատասխան բանաձևը հայտնի է յուրաքանչյուր ուսանողի: Խոսելով շրջանաձև հատվածի մասին՝ նշում ենք, որ այնg շառավղով շրջանագծի մի մասն է (կոնի գեներատորի երկարությունը): Այս հատվածի աղեղի երկարությունը հավասար է հիմքի շրջագծին։ Այս պարամետրերը հնարավորություն են տալիս միանշանակ որոշել դրա տարածքը: Համապատասխան բանաձևն է՝
S=pir2+ pirg.
Առաջին և երկրորդ անդամները արտահայտության մեջ համապատասխանաբար հիմքի կոնն են և տարածքի կողային մակերեսը։
Եթե g գեներատորի երկարությունը անհայտ է, բայց տրված է նկարի h բարձրությունը, ապա բանաձևը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ՝
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Նկարի ծավալը
Եթե վերցնենք ուղիղ բուրգ և ավելացնենք դրա հիմքի կողմերի թիվը անվերջության վրա, ապա հիմքի ձևը կձգվի շրջանագծի, իսկ բուրգի կողային մակերեսը կմոտենա կոնաձև մակերեսին: Այս նկատառումները թույլ են տալիս մեզ օգտագործել բուրգի ծավալի բանաձևը կոնի համար նմանատիպ արժեք հաշվարկելիս: Կոնի ծավալը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը՝
V=1/3hSo.
Այս բանաձևը միշտ ճիշտ է, անկախ նրանից, թե որն է կոնի հիմքը՝ ունենալով So մակերես: Ավելին, բանաձևը վերաբերում է նաև թեք կոնին։
Քանի որ մենք ուսումնասիրում ենք կլոր հիմքով ուղիղ պատկերի հատկությունները, կարող ենք օգտագործել հետևյալ արտահայտությունը՝ դրա ծավալը որոշելու համար.
V=1/3hpir2.
Բանաձևն ակնհայտ է։
Մակերևույթի մակերեսը և ծավալը գտնելու խնդիրը
Տրվի մի կոն, որի շառավիղը 10 սմ է, իսկ գեներատորի երկարությունը՝ 20տե՛ս Պետք է որոշել այս ձևի ծավալը և մակերեսը։
S մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք անմիջապես օգտագործել վերը գրված բանաձեւը։ Մենք ունենք՝
S=pir2+ pirg=942 սմ2.
Ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նկարի h բարձրությունը: Մենք այն հաշվարկում ենք՝ օգտագործելով կոնի գծային պարամետրերի փոխհարաբերությունները: Մենք ստանում ենք՝
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 սմ.
Այժմ կարող եք օգտագործել V: բանաձևը
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83սմ3.
Նշեք, որ կլոր կոնի ծավալը կազմում է այն մխոցի մեկ երրորդը, որի մեջ գրված է:
