Նյութական կետի և կոշտ մարմնի իներցիայի պահը՝ բանաձևեր, Շտայների թեորեմ, խնդրի լուծման օրինակ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Պտտման շարժման դինամիկայի և կինեմատիկայի քանակական ուսումնասիրությունը պահանջում է պտտման առանցքի նկատմամբ նյութական կետի և կոշտ մարմնի իներցիայի պահի իմացություն: Հոդվածում կքննարկենք, թե ինչ պարամետրի մասին է խոսքը, ինչպես նաև կտանք դրա որոշման բանաձև։

Ընդհանուր տեղեկություններ ֆիզիկական քանակի մասին

Նախ, եկեք սահմանենք նյութական կետի և կոշտ մարմնի իներցիայի պահը, այնուհետև ցույց տանք, թե ինչպես պետք է այն օգտագործել գործնական խնդիրներ լուծելիս:

Նշված ֆիզիկական բնութագրի ներքո m զանգված ունեցող կետի համար, որը պտտվում է առանցքի շուրջ r հեռավորության վրա, նշանակում է հետևյալ արժեքը՝

I=mr².

Որտեղից հետևում է, որ ուսումնասիրված պարամետրի չափման միավորը կիլոգրամն է քառակուսի մետրի համար (կգմ²):

Եթե առանցքի շուրջ կետի փոխարեն պտտվում է բարդ ձևի մարմին, որն իր ներսում ունի զանգվածի կամայական բաշխում, ապա որոշվում է նրա իներցիայի պահը.այսպես:

I=∫_m(r²dm)=ρ∫_V(r²dV).

Որտեղ ρ-ն մարմնի խտությունն է: Օգտագործելով ինտեգրալ բանաձևը, դուք կարող եք որոշել I-ի արժեքը պտտման բացարձակապես ցանկացած համակարգի համար:

Իներցիայի մոմենտը պտտման համար ունի ճիշտ նույն նշանակությունը, ինչ զանգվածը թարգմանական շարժման համար: Օրինակ, բոլորը գիտեն, որ ամենահեշտ է հատակի շվաբրը պտտել նրա բռնակով անցնող առանցքի շուրջ, քան ուղղահայաց: Դա պայմանավորված է նրանով, որ առաջին դեպքում իներցիայի պահը շատ ավելի քիչ է, քան երկրորդում։

Ես կարևորում եմ տարբեր ձևերի մարմինների համար

Պտտման նպատակով ֆիզիկայի խնդիրներ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում իմանալ որոշակի երկրաչափական ձևի մարմնի իներցիայի պահը, օրինակ՝ գլան, գնդակ կամ ձող: Եթե I-ի համար կիրառենք վերը գրված բանաձեւը, ապա բոլոր նշված մարմինների համար հեշտ է ստանալ համապատասխան արտահայտությունը։ Ստորև բերված են դրանցից մի քանիսի բանաձևերը.

ձող՝ I=1 / 12ML²;

մխոց՝ I=1/2MR²;

ոլորտ՝ I=2 / 5MR²։

Այստեղ ես տրված եմ պտտման առանցքի համար, որն անցնում է մարմնի զանգվածի կենտրոնով։ Գլանի դեպքում առանցքը զուգահեռ է պատկերի գեներատորին։ Այլ երկրաչափական մարմինների իներցիայի պահը և պտտման առանցքների տեղակայման տարբերակները կարելի է գտնել համապատասխան աղյուսակներում։ Նկատի ունեցեք, որ I տարբեր թվեր որոշելու համար բավական է իմանալ միայն մեկ երկրաչափական պարամետր և մարմնի զանգվածը։

Շտայների թեորեմ և բանաձև

Իներցիայի պահը կարելի է որոշել, եթե պտտման առանցքը գտնվում է մարմնից որոշ հեռավորության վրա։ Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք այս հատվածի երկարությունը և մարմնի I_O արժեքը՝ կապված նրա զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի հետ, որը պետք է զուգահեռ լինի տակի զանգվածին: նկատառում։ I_O պարամետրի և I անհայտ արժեքի միջև կապ հաստատելը ամրագրված է Շտայների թեորեմում։ Նյութական կետի և պինդ մարմնի իներցիայի պահը մաթեմատիկորեն գրվում է հետևյալ կերպ՝

I=I_O+ Mh².

Այստեղ M-ը մարմնի զանգվածն է, h-ը զանգվածի կենտրոնից մինչև պտտման առանցքը հեռավորությունն է, որի նկատմամբ անհրաժեշտ է հաշվարկել I: Այս արտահայտությունը հեշտ է ինքնուրույն ստանալ, եթե դուք օգտագործեք I-ի ինտեգրալ բանաձևը և հաշվի առեք, որ մարմնի բոլոր կետերը գտնվում են հեռավորությունների վրա r=r₀ + h.

Շտայների թեորեմը մեծապես պարզեցնում է I-ի սահմանումը շատ գործնական իրավիճակների համար: Օրինակ, եթե L երկարությամբ և M զանգվածով ձողի համար պետք է գտնել I՝ դրա ծայրով անցնող առանցքի նկատմամբ, ապա Շտայների թեորեմի կիրառումը թույլ է տալիս գրել՝

:

I=I_O+ M(L / 2)²=1 / 12ML ²+ ML² / 4=ML² / 3.

Դուք կարող եք դիմել համապատասխան աղյուսակին և տեսնել, որ այն պարունակում է հենց այս բանաձևը բարակ ձողի համար, որի ծայրում պտտման առանցք է:

Պոմենտի հավասարում

Պտույտի ֆիզիկայում կա մի բանաձև, որը կոչվում է պահերի հավասարում: Կարծես հետևյալն է՝

M=Iα.

Այստեղ M-ն ուժի պահն է, α-ն՝ անկյունային արագացումը: Ինչպես տեսնում եք, նյութական կետի և կոշտ մարմնի իներցիայի պահը և ուժի պահը գծայինորեն կապված են միմյանց հետ։ M արժեքը որոշում է F որոշ ուժի հնարավորությունը համակարգում α արագացումով պտտվող շարժում ստեղծելու համար: M-ը հաշվարկելու համար օգտագործեք հետևյալ պարզ արտահայտությունը՝

M=Fd.

Որտեղ d-ն պահի ուսն է, որը հավասար է F ուժի վեկտորից մինչև պտտման առանցքը հեռավորությանը: Որքան փոքր է թևը d, այնքան ուժը կունենա համակարգի պտույտ ստեղծելու ավելի քիչ կարողություն:

Մոմենտների հավասարումն իր իմաստով լիովին համապատասխանում է Նյուտոնի երկրորդ օրենքին: Այս դեպքում ես խաղում եմ իներցիոն զանգվածի դերը։

Խնդիրների լուծման օրինակ

Եկեք պատկերացնենք մի համակարգ, որը իրենից ներկայացնում է գլան, որը ամրացված է ուղղահայաց առանցքի վրա անկշռելի հորիզոնական ձողով: Հայտնի է, որ պտտման առանցքը և բալոնի հիմնական առանցքը զուգահեռ են միմյանց, և նրանց միջև հեռավորությունը 30 սմ է, գլանների զանգվածը 1 կգ է, իսկ շառավիղը՝ 5 սմ, ուժը 10 է։ Նկարի վրա, որի վեկտորն անցնում է գլանի հիմնական առանցքով, գործում է պտտման հետագծին շոշափող N-ը: Անհրաժեշտ է որոշել գործչի անկյունային արագացումը, որը կառաջացնի այս ուժը։

Նախ, եկեք հաշվարկենք I մխոցի իներցիայի պահը։ Դա անելու համար կիրառեք Շտայների թեորեմը, մենք ունենք՝

I=I_O+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0,09125 կգմ²։

Մոմենտների հավասարումն օգտագործելուց առաջ անհրաժեշտ էորոշեք M ուժի պահը: Այս դեպքում մենք ունենք՝

M=Fd=100, 3=3 Nm.

Այժմ կարող եք որոշել արագացումը.

α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 ռադ/վրկ²։

Հաշվարկված անկյունային արագացումը ցույց է տալիս, որ ամեն վայրկյան մխոցի արագությունը վայրկյանում կաճի 5,2 պտույտով։