Ցանկացած բուրգի բնորոշ գծային պարամետրերն են նրա հիմքի կողմերի երկարությունները, բարձրությունը, կողային եզրերը և ապոտեմները: Այնուամենայնիվ, կա ևս մեկ բնութագիր, որը կապված է նշված պարամետրերի հետ՝ սա երկփեղկ անկյունն է։ Հաշվի առեք հոդվածում, թե ինչ է դա և ինչպես գտնել այն:
Տարածական պատկերի բուրգ
Յուրաքանչյուր ուսանող լավ պատկերացնում է, թե ինչ է վտանգված, երբ նա լսում է «բուրգ» բառը: Այն կարելի է երկրաչափական ձևով կառուցել հետևյալ կերպ՝ ընտրել որոշակի բազմանկյուն, այնուհետև ամրացնել մի կետ տարածության մեջ և միացնել այն բազմանկյունի յուրաքանչյուր անկյունին։ Ստացված եռաչափ պատկերը կամայական տիպի բուրգ կլինի: Այն կազմող բազմանկյունը կոչվում է հիմք, իսկ այն կետը, որին միացված են նրա բոլոր անկյունները, պատկերի գագաթն է։ Ստորև բերված նկարը սխեմատիկորեն ցույց է տալիս հնգանկյուն բուրգը:
Երևում է, որ նրա մակերեսը կազմված է ոչ միայն հնգանկյունից, այլև հինգ եռանկյունից։ Ընդհանուր առմամբ, այս եռանկյունների թիվը հավասար կլինի թվինբազմանկյուն հիմքի կողմերը։
Նկարի երկնիշ անկյուններ
Երբ հարթության վրա դիտարկվում են երկրաչափական խնդիրներ, ցանկացած անկյուն ձևավորվում է երկու հատվող ուղիղ գծերով կամ հատվածներով: Տիեզերքում այս գծային անկյուններին ավելացվում են երկփեղկ անկյուններ, որոնք ձևավորվում են երկու հարթությունների հատման արդյունքում:
Եթե տարածության մեջ անկյան գծանշված սահմանումը կիրառվում է տվյալ պատկերի նկատմամբ, ապա կարող ենք ասել, որ կան երկփեղկ անկյունների երկու տեսակ՝
- Բուրգի հիմքում. Այն ձևավորվում է հիմքի հարթությամբ և կողային երեսներից որևէ մեկով (եռանկյուն): Սա նշանակում է, որ բուրգի հիմքի անկյունները n են, որտեղ n-ը բազմանկյունի կողմերի թիվն է։
- Կողքերի միջև (եռանկյուններ): Այս երկփեղկ անկյունների թիվը նույնպես n կտոր է։
Նշենք, որ դիտարկվող անկյունների առաջին տեսակը կառուցված է հիմքի եզրերին, երկրորդը՝ կողային եզրերին։
Ինչպե՞ս հաշվարկել բուրգի անկյունները:
Երկանկյունի գծային անկյունը վերջինիս չափն է։ Այն հաշվարկելը հեշտ չէ, քանի որ բուրգի երեսները, ի տարբերություն պրիզմայի երեսների, ընդհանուր դեպքում ուղիղ անկյան տակ չեն հատվում։ Առավել հուսալի է երկիդրային անկյունների արժեքները հաշվարկել՝ օգտագործելով հարթության հավասարումները ընդհանուր ձևով:
Եռաչափ տարածության մեջ հարթությունը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ.
Ax + By + Cz + D=0
Որտեղ A, B, C, D որոշ իրական թվեր են: Այս հավասարման հարմարությունն այն է, որ առաջին երեք նշված թվերը վեկտորի կոորդինատներն են,որն ուղղահայաց է տվյալ հարթությանը, այսինքն՝
n¯=[A; Բ; C]
Եթե հայտնի են հարթությանը պատկանող երեք կետերի կոորդինատները, ապա այս կետերի վրա կառուցված երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը վերցնելով կարելի է ստանալ n¯ կոորդինատները: n¯ վեկտորը կոչվում է հարթության ուղեցույց:
Համաձայն սահմանման՝ երկու հարթությունների հատումից առաջացած երկփեղկ անկյունը հավասար է նրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած գծային անկյան։ Ենթադրենք՝ ունենք երկու հարթություն, որոնց նորմալ վեկտորները հավասար են՝
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Նրանց միջև φ անկյունը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել սկալյար արտադրյալ հատկությունը, այնուհետև համապատասխան բանաձևը դառնում է.
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Կամ կոորդինատային ձևով՝
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է օգտագործել վերոհիշյալ մեթոդը՝ երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս դիեզրային անկյունները հաշվելու համար։
Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի անկյուններ
Ենթադրենք, որ կա կանոնավոր բուրգ, որի հիմքում 10 սմ կողմով քառակուսի է։Նկարի բարձրությունը՝12 սմ. Պետք է հաշվել, թե ինչ երկանկյուն անկյուններ են գտնվում բուրգի հիմքում և կողմերի համար։
Քանի որ խնդրի պայմանում տրված թիվը ճիշտ է, այսինքն՝ ունի բարձր համաչափություն, ուրեմն հիմքի բոլոր անկյունները հավասար են միմյանց։ Նույնն են նաև կողային երեսներով ձևավորված անկյունները։ Պահանջվող երկփեղկ անկյունները հաշվարկելու համար մենք գտնում ենք հիմքի և երկու կողային հարթությունների ուղղության վեկտորները: Նշեք հիմքի կողմի երկարությունը a տառով, իսկ բարձրությունը՝ h։
Վերևի նկարը ցույց է տալիս քառանկյուն կանոնավոր բուրգ: Դուրս գրենք A, B, C և D կետերի կոորդինատները մուտքագրված կոորդինատային համակարգի համաձայն՝
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; ժ)
Այժմ մենք գտնում ենք ABC բազային հարթությունների ուղղության վեկտորները և երկու կողմերի ABD և BCD՝ վերը նշված պարբերությունում նկարագրված մեթոդի համաձայն.
ABC-ի համար՝
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD-ի համար՝
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD-ի համար՝
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Այժմ մնում է կիրառել համապատասխան բանաձեւը φ անկյան համար և փոխարինել կողմի և բարձրության արժեքները խնդրի դրույթից.
Անկյուն ABC-ի ևABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Անկյուն ABD-ի և BDC-ի միջև՝
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Մենք հաշվարկել ենք այն անկյունների արժեքները, որոնք պետք է գտնել խնդրի պայմանով: Խնդիրը լուծելիս ստացված բանաձևերը կարող են օգտագործվել a և h ցանկացած արժեքներով քառանկյուն կանոնավոր բուրգերի երկանկյուն անկյունները որոշելու համար։
Եռանկյունաձեւ կանոնավոր բուրգի անկյուններ
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս բուրգը, որի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է: Հայտնի է, որ կողմերի միջև երկնիշ անկյունը ճիշտ է։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել հիմքի մակերեսը, եթե հայտնի է, որ գործչի բարձրությունը 15 սմ է։
Նկարում նշված է որպես ABC, որը հավասար է 90o-ի: Դուք կարող եք լուծել խնդիրը վերը նշված մեթոդով, բայց այս դեպքում մենք դա ավելի հեշտ կանենք։ Նշանակենք a եռանկյան կողմը, պատկերի բարձրությունը՝ h, ապոթեմա՝ hb և կողմը.կողոսկր - բ. Այժմ կարող եք գրել հետևյալ բանաձևերը.
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Քանի որ բուրգի երկու կողային եռանկյունները նույնն են, AB և CB կողմերը հավասար են և հանդիսանում են ABC եռանկյան ոտքեր: Նշենք դրանց երկարությունը x-ով, ապա՝
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Հավասարեցնելով կողային եռանկյունների մակերեսները և փոխարինելով ապոտեմը համապատասխան արտահայտությամբ՝ ունենում ենք՝
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
S=√3/4a2=3√3/2h2
Փոխարինեք բարձրության արժեքը խնդրի պայմանից, ստանում ենք պատասխանը՝ S=584, 567 սմ2.
