Երկրաչափության մեջ պատկերներն ուսումնասիրելու համար օգտագործվում են երկու կարևոր հատկանիշ՝ կողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունները: Տարածական ֆիգուրների դեպքում այս բնութագրերին ավելացվում են երկփեղկ անկյուններ։ Եկեք քննարկենք, թե ինչ է դա, ինչպես նաև նկարագրենք այս անկյունների որոշման մեթոդը՝ օգտագործելով բուրգի օրինակը:
Երկանկյունի հայեցակարգ
Բոլորը գիտեն, որ երկու հատվող ուղիղները իրենց հատման կետում անկյուն են կազմում գագաթի հետ: Այս անկյունը կարելի է չափել անկյունաչափով, կամ կարող եք օգտագործել եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ այն հաշվարկելու համար։ Երկու ուղղանկյուններից կազմված անկյունը կոչվում է գծային։
Այժմ պատկերացրեք, որ եռաչափ տարածության մեջ կան երկու հարթություններ, որոնք հատվում են ուղիղ գծով: Դրանք պատկերված են նկարում։
Երկանկյունը երկու հատվող հարթությունների անկյունն է: Ճիշտ այնպես, ինչպես գծայինը, այն չափվում է աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եթե գծի որևէ կետի վրա, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են, վերականգնեք երկու ուղղահայաց,պառկած այս հարթություններում, ապա նրանց միջև անկյունը կլինի ցանկալի երկփեղկը: Այս անկյունը որոշելու ամենահեշտ ձևը հարթությունների ընդհանուր հավասարումների օգտագործումն է։
Հավասարությունների հավասարումը և նրանց միջև անկյան բանաձևը
Տիեզերքի ցանկացած հարթության հավասարումը ընդհանուր արտահայտությամբ գրված է հետևյալ կերպ.
A × x + B × y + C × z + D=0.
Այստեղ x, y, z հարթությանը պատկանող կետերի կոորդինատներն են, A, B, C, D գործակիցները որոշ հայտնի թվեր են: Երկկողմանի անկյունները հաշվարկելու համար այս հավասարության հարմարությունն այն է, որ այն բացահայտորեն պարունակում է հարթության ուղղության վեկտորի կոորդինատները։ Մենք այն կնշենք n¯-ով: Հետո՝
n¯=(A; B; C).
Վեկտորը n¯ ուղղահայաց է հարթությանը: Երկու հարթությունների միջև անկյունը հավասար է նրանց ուղղության վեկտորների n1¯ և n2¯ անկյան հետ: Մաթեմատիկայից հայտնի է, որ երկու վեկտորների կազմած անկյունը եզակիորեն որոշվում է դրանց սկալյար արտադրյալից։ Սա թույլ է տալիս գրել բանաձև երկու հարթությունների միջև երկփեղկ անկյունը հաշվարկելու համար՝
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Եթե փոխարինենք վեկտորների կոորդինատները, բանաձևը կգրվի հստակ՝
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Մոդուլի նշանը համարիչում օգտագործվում է միայն սուր անկյունը սահմանելու համար, քանի որ երկնիշ անկյունը միշտ փոքր է կամ հավասար է 90o:
Բուրգը և դրա անկյունները
Բուրգը պատկեր է, որը կազմված է մեկ n-անկյունից և n եռանկյունից: Այստեղ n-ն ամբողջ թիվ է, որը հավասար է բուրգի հիմքը հանդիսացող բազմանկյունի կողմերի թվին: Այս տարածական պատկերը բազմանիստ կամ բազմանիստ է, քանի որ այն բաղկացած է հարթ դեմքերից (կողմերից):
Բուրգ-բազմանկյունի երկանկյուն անկյունները կարող են լինել երկու տեսակի՝
- հիմքի և կողմի միջև (եռանկյուն);
- երկու կողմերի միջև։
Եթե բուրգը համարվում է կանոնավոր, ապա հեշտ է որոշել նրա անվանված անկյունները։ Դա անելու համար, օգտագործելով երեք հայտնի կետերի կոորդինատները, պետք է կազմել հարթությունների հավասարում, այնուհետև օգտագործել ֆ անկյան համար վերը նշված պարբերությունում տրված բանաձևը:
:
Ստորև մենք տալիս ենք օրինակ, որտեղ ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է գտնել քառանկյուն կանոնավոր բուրգի հիմքի երկանկյուն անկյունները:
Քառանկյուն կանոնավոր բուրգ և անկյուն նրա հիմքում
Ենթադրենք, որ տրված է քառակուսի հիմքով կանոնավոր բուրգ: Քառակուսու կողմի երկարությունը a է, պատկերի բարձրությունը՝ h։ Գտե՛ք անկյունը բուրգի հիմքի և նրա կողմի միջև։
Կորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը տեղադրենք քառակուսու կենտրոնում։ Այնուհետև կետերի կոորդինատներըՆկարում ցուցադրված A, B, C, D կլինի՝
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Դիտարկենք ACB և ADB ինքնաթիռները: Ակնհայտ է, որ ուղղության վեկտորը n1¯ ACB հարթության համար կլինի՝
1¯=(0; 0; 1).
ԱԶԲ հարթության n2¯ ուղղության վեկտորը որոշելու համար գործեք հետևյալ կերպ. գտե՛ք նրան պատկանող երկու կամայական վեկտոր, օրինակ՝ AD¯ և AB¯, ապա հաշվարկեք դրանց վեկտորային աշխատանքը: Դրա արդյունքը կտա n2¯ կոորդինատները: Մենք ունենք՝
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Քանի որ վեկտորի բազմապատկումն ու բաժանումը թվի վրա չի փոխում նրա ուղղությունը, արդյունքում ստացված n2¯-ի կոորդինատները բաժանելով -a-ի, ստացվում է.
2¯=(h; 0; a/2).
Մենք սահմանել ենք վեկտորային ուղեցույցներ n1¯ և n2¯ ACB բազայի և ADB կողային հարթությունների համար: Մնում է օգտագործել φ անկյան բանաձևը՝
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Փոխակերպեք ստացված արտահայտությունը և վերագրեք այն այսպես.
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Մենք ստացել ենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի երկանկյուն անկյան բանաձևը: Իմանալով գործչի բարձրությունը և նրա կողմի երկարությունը՝ կարող եք հաշվարկել φ անկյունը։ Օրինակ՝ Քեոպսի բուրգի համար, որի հիմքի կողմը 230,4 մետր է, իսկ սկզբնական բարձրությունը՝ 146,5 մետր, φ անկյունը կլինի 51,8o։
։
Հնարավոր է նաև երկրաչափական մեթոդով որոշել քառանկյուն կանոնավոր բուրգի երկանկյուն անկյունը։ Դա անելու համար բավական է դիտարկել ուղղանկյուն եռանկյունին, որը կազմված է h բարձրությունից, a/2 հիմքի երկարության կեսից և հավասարաչափ եռանկյան ապոտեմից:
