Քիչ հավանական է, որ շատերը մտածեն այն մասին, թե արդյոք հնարավոր է հաշվարկել քիչ թե շատ պատահական իրադարձություններ: Պարզ բառերով, իրատեսակա՞ն է իմանալ, թե զառախաղի որ կողմը հաջորդիվ դուրս կգա: Հենց այս հարցն են տվել երկու մեծ գիտնականներ, ովքեր հիմք են դրել այնպիսի գիտության, ինչպիսին է հավանականության տեսությունը, որտեղ իրադարձության հավանականությունը բավականին լայնորեն ուսումնասիրվում է։
Ծագում
Եթե փորձեք սահմանել այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին է հավանականությունների տեսությունը, ապա կստանաք հետևյալը. սա մաթեմատիկայի այն ճյուղերից մեկն է, որն ուսումնասիրում է պատահական իրադարձությունների կայունությունը: Իհարկե, այս հայեցակարգն իրականում չի բացահայտում ողջ էությունը, ուստի անհրաժեշտ է այն ավելի մանրամասն դիտարկել։
Ես կցանկանայի սկսել տեսությունը ստեղծողներից: Ինչպես նշվեց վերևում, դրանք երկուսն էին, դրանք Պիեռ Ֆերման և Բլեզ Պասկալն են: Հենց նրանք առաջիններից էին, ովքեր փորձեցին բանաձևերի և մաթեմատիկական հաշվարկների միջոցով հաշվարկել իրադարձության արդյունքը: Ընդհանուր առմամբ, այս գիտության հիմքերը ի հայտ են եկել դեռևս վաղՄիջնադար. Այն ժամանակ տարբեր մտածողներ և գիտնականներ փորձում էին վերլուծել մոլախաղերը, ինչպիսիք են ռուլետկա, craps և այլն, դրանով իսկ հաստատելով որոշակի թվի դուրս գալու օրինաչափություն և տոկոս: Հիմքը դրվել է տասնյոթերորդ դարում վերոհիշյալ գիտնականների կողմից։
Սկզբում նրանց աշխատանքը չէր կարելի վերագրել այս ոլորտում ունեցած մեծ ձեռքբերումներին, քանի որ այն ամենը, ինչ նրանք արեցին, ուղղակի էմպիրիկ փաստեր էին, իսկ փորձերը դրված էին տեսողականորեն, առանց բանաձևերի օգտագործման: Ժամանակի ընթացքում պարզվել է, որ հասել է մեծ արդյունքների, որոնք ի հայտ են եկել զառերի նետումը դիտարկելու արդյունքում։ Հենց այս գործիքն օգնեց ստանալ առաջին հասկանալի բանաձևերը:
Associates
Անհնար է չնշել այնպիսի մարդու, ինչպիսին Քրիստիան Հյուգենսն է, «հավանականությունների տեսություն» կոչվող թեմայի ուսումնասիրության գործընթացում (իրադարձության հավանականությունը լուսաբանվում է հենց այս գիտության մեջ): Այս մարդը շատ հետաքրքիր է։ Նա, ինչպես և վերը ներկայացված գիտնականները, փորձել է մաթեմատիկական բանաձևերի տեսքով դուրս բերել պատահական իրադարձությունների օրինաչափությունը։ Հատկանշական է, որ նա դա չի արել Պասկալի և Ֆերմայի հետ միասին, այսինքն՝ նրա բոլոր ստեղծագործությունները որևէ կերպ չեն հատվել այս մտքերի հետ։ Հյուգենսը ստացել է հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները:
Հետաքրքիր փաստ է, որ նրա ստեղծագործությունը դուրս է եկել պիոներների աշխատանքի արդյունքներից շատ ավելի շուտ, ավելի ճիշտ՝ քսան տարի առաջ։ Նշանակված հասկացություններից առավել հայտնի են՝
- հավանականության հայեցակարգը որպես պատահականության մեծություն;
- ակնկալիք դիսկրետի համարդեպքեր;
- հավանականությունների բազմապատկման և գումարման թեորեմներ.
Անհնար է չհիշել նաև Յակոբ Բեռնուլիին, ով նույնպես նշանակալի ներդրում է ունեցել խնդրի ուսումնասիրության մեջ։ Անցկացնելով սեփական թեստերը, անկախ որևէ մեկից, նա կարողացավ ներկայացնել մեծ թվերի օրենքի ապացույցը։ Իր հերթին, գիտնականներ Պուասսոնը և Լապլասը, ովքեր աշխատել են տասնիններորդ դարի սկզբին, կարողացել են ապացուցել սկզբնական թեորեմները։ Հենց այս պահից է, որ հավանականությունների տեսությունը սկսեց օգտագործել դիտարկումների ընթացքում սխալները վերլուծելու համար։ Ռուս գիտնականները, ավելի ճիշտ՝ Մարկովը, Չեբիշևը և Դյապունովը, չէին կարող շրջանցել նաև այս գիտությունը։ Մեծ հանճարների կատարած աշխատանքի հիման վրա նրանք այս առարկան ամրագրեցին որպես մաթեմատիկայի ճյուղ։ Այս գործիչները գործել են արդեն XIX դարի վերջում, և նրանց ներդրման շնորհիվ այնպիսի երևույթներ, ինչպիսիք են՝
- օրենք մեծ թվերի;
- Մարկովի շղթայի տեսություն;
- կենտրոնական սահմանային թեորեմ.
Այնպես որ, գիտության ծննդյան պատմության և դրա վրա ազդած հիմնական մարդկանց հետ ամեն ինչ քիչ թե շատ պարզ է։ Հիմա ժամանակն է կոնկրետացնելու բոլոր փաստերը։
Հիմնական հասկացություններ
Օրենքներին և թեորեմներին անդրադառնալուց առաջ արժե ուսումնասիրել հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները։ Միջոցառումը դրանում առաջատար դեր է վերցնում։ Այս թեման բավականին ծավալուն է, բայց առանց դրա հնարավոր չի լինի հասկանալ մնացած ամեն ինչ։
Հավանականությունների տեսության իրադարձությունը փորձի ցանկացած արդյունք է: Այս երեւույթի հասկացություններն այնքան էլ շատ չեն։ Այսպիսով, գիտնական Լոտմանը,աշխատելով այս ոլորտում, ասաց, որ այս դեպքում մենք խոսում ենք մի բանի մասին, որը «եղել է, թեև կարող էր և չլիներ»:
Պատահական իրադարձություններ (հավանականությունների տեսությունը հատուկ ուշադրություն է դարձնում դրանց) հասկացություն է, որը ենթադրում է բացարձակապես ցանկացած երևույթ, որն ունի տեղի ունենալու հնարավորություն։ Կամ, ընդհակառակը, այս սցենարը կարող է տեղի չունենալ, երբ շատ պայմաններ են պահպանվում: Արժե նաև իմանալ, որ պատահական իրադարձություններն են, որոնք գրավում են տեղի ունեցած երևույթների ամբողջ ծավալը: Հավանականությունների տեսությունը ցույց է տալիս, որ բոլոր պայմանները կարող են անընդհատ կրկնվել: Նրանց պահվածքն էր, որ կոչվում էր «փորձ» կամ «թեստ»:
Որոշակի իրադարձություն այն իրադարձությունն է, որը 100%-ով տեղի կունենա տվյալ թեստի ժամանակ: Համապատասխանաբար, անհնար է այն իրադարձությունը, որը տեղի չի ունենա:
Զույգ գործողությունների համակցությունը (պայմանական Ա և Բ դեպք) միաժամանակ տեղի ունեցող երևույթ է։ Նրանք նշանակված են որպես AB:
A և B իրադարձությունների զույգերի գումարը C է, այլ կերպ ասած, եթե դրանցից գոնե մեկը տեղի ունենա (A կամ B), ապա կստացվի C: Նկարագրված երևույթի բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ. C=A + B.
Հավանականությունների տեսության մեջ տարանջատված իրադարձությունները ենթադրում են, որ երկու դեպքեր միմյանց բացառող են: Նրանք երբեք չեն կարող տեղի ունենալ միաժամանակ: Հավանականությունների տեսության համատեղ իրադարձությունները նրանց հակապոդն են: Սա ենթադրում է, որ եթե A-ն տեղի է ունեցել, ապա այն չի խանգարում B-ին:
Հակառակ իրադարձությունները (հավանականությունների տեսությունը դրանցով զբաղվում է շատ մանրամասնորեն) հեշտ է հասկանալ: Լավագույնն այն է, որ համեմատենք դրանց հետ: Նրանք գրեթե նույնն են, ինչև անհամատեղելի իրադարձություններ հավանականության տեսության մեջ: Բայց նրանց տարբերությունը կայանում է նրանում, որ բազմաթիվ երևույթներից մեկն այնուամենայնիվ պետք է տեղի ունենա։
Համարժեք իրադարձություններն այն գործողություններն են, որոնց հնարավորությունը հավասար է։ Որպեսզի ավելի պարզ լինի, մենք կարող ենք պատկերացնել մետաղադրամի նետումը. նրա կողմերից մեկի անկումը նույնքան հավանական է, որ մյուս կողմը ընկնի:
Հաջողակ իրադարձությունն ավելի հեշտ է տեսնել օրինակով: Ենթադրենք, կա B դրվագ և դրվագ Ա: Առաջինը զառերի գլորումն է կենտ թվի տեսքով, իսկ երկրորդը` հինգ թվի հայտնվելը մատանի վրա: Հետո պարզվում է, որ Ա-ն բարեհաճում է B-ին։
Հավանականությունների տեսության մեջ անկախ իրադարձությունները կանխատեսվում են միայն երկու կամ ավելի դեպքերի վրա և ենթադրում են ցանկացած գործողության անկախություն մյուսից: Օրինակ՝ A-ն պոչերի կորուստն է, երբ մետաղադրամը նետվում է, իսկ B-ն՝ տախտակամածից ժակ դուրս գալը: Նրանք անկախ իրադարձություններ են հավանականության տեսության մեջ: Այս պահին ավելի պարզ դարձավ։
Հավանականությունների տեսության մեջ կախված իրադարձությունները նույնպես թույլատրելի են միայն իրենց բազմության համար: Դրանք ենթադրում են մեկի կախվածությունը մյուսից, այսինքն՝ B երևույթը կարող է առաջանալ միայն այն դեպքում, եթե A-ն արդեն տեղի է ունեցել կամ, ընդհակառակը, չի եղել, երբ դա B-ի հիմնական պայմանն է։
Պատահական փորձի արդյունքը, որը բաղկացած է մեկ բաղադրիչից, տարրական իրադարձություններ են: Հավանականությունների տեսությունը բացատրում է, որ սա մի երևույթ է, որը տեղի է ունեցել միայն մեկ անգամ։
Հիմնական բանաձևեր
Այսպիսով, «իրադարձություն», «հավանականությունների տեսություն» հասկացությունները.տրվել է նաև այս գիտության հիմնական տերմինների սահմանումը։ Այժմ ժամանակն է անմիջականորեն ծանոթանալու կարեւոր բանաձեւերին։ Այս արտահայտությունները մաթեմատիկորեն հաստատում են բոլոր հիմնական հասկացությունները այնպիսի բարդ առարկայի մեջ, ինչպիսին հավանականության տեսությունն է: Իրադարձության հավանականությունն այստեղ նույնպես մեծ դեր է խաղում։
Ավելի լավ է սկսել կոմբինատորիկայի հիմնական բանաձևերից: Եվ մինչ դրանց անցնելը, արժե մտածել, թե դա ինչ է։
Կոմբինատորիկան հիմնականում մաթեմատիկայի ճյուղ է, այն զբաղվում է հսկայական թվով ամբողջ թվերի ուսումնասիրությամբ, ինչպես նաև ինչպես թվերի, այնպես էլ դրանց տարրերի տարբեր փոխարկումների, տարբեր տվյալների և այլնի ուսումնասիրությամբ, որոնք հանգեցնում են մի շարք համակցություններ. Բացի հավանականությունների տեսությունից, այս ճյուղը կարևոր է վիճակագրության, համակարգչային գիտության և ծածկագրության համար:
Այժմ մենք կարող ենք անցնել հենց բանաձևերի ներկայացմանը և դրանց սահմանմանը:
Առաջինը կլինի փոխատեղումների քանակի արտահայտությունը, այն ունի հետևյալ տեսքը՝
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Հավասարումը կիրառվում է միայն այն դեպքում, եթե տարրերը տարբերվում են միայն հերթականությամբ:
Այժմ դիտարկվելու է տեղաբաշխման բանաձևը, այն ունի հետևյալ տեսքը՝
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Այս արտահայտությունը վերաբերում է ոչ միայն տարրի կարգին, այլև դրա բաղադրությանը։
Կոմբինատորիկայի երրորդ հավասարումը, որը նաև վերջինն է, կոչվում է համակցությունների քանակի բանաձև.
C_n^m=n!: ((n-մ))!:m !
Կոմբինացիաները համապատասխանաբար չպատվիրված ընտրանքներ են, և այս կանոնը վերաբերում է դրանց:
Պարզվեց, որ հեշտ է պարզել կոմբինատորիկայի բանաձևերը, այժմ կարող ենք անցնել հավանականությունների դասական սահմանմանը: Այս արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը՝
P(A)=m: n.
Այս բանաձևում m-ը A իրադարձության համար նպաստավոր պայմանների թիվն է, իսկ n-ը բացարձակապես բոլոր հավասարապես հնարավոր և տարրական արդյունքների թիվն է:
Կան մեծ թվով արտահայտություններ, հոդվածը բոլորին չի անդրադառնա, բայց կանդրադառնա դրանցից ամենագլխավորներին, ինչպես օրինակ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը:.
P(A + B)=P(A) + P(B) - այս թեորեմը նախատեսված է միայն անհամատեղելի իրադարձություններ ավելացնելու համար;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - և սա նախատեսված է միայն համատեղելիները ավելացնելու համար:
Իրադարձությունների առաջացման հավանականություն:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – այս թեորեմը անկախ իրադարձությունների համար է;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - և այս մեկը նախատեսված է թմրամոլներ.
Իրադարձությունների բանաձևը ավարտում է ցանկը: Հավանականությունների տեսությունը մեզ պատմում է Բայեսի թեորեմի մասին, որն ունի հետևյալ տեսքը՝
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Այս բանաձևում H1, H2, …, H է վարկածների ամբողջական խումբ։
Եկեք կանգ առնենք այստեղ, այնուհետև կդիտարկվեն պրակտիկայից կոնկրետ խնդիրներ լուծելու բանաձևերի կիրառման օրինակներ:
Օրինակներ
Եթե ուշադիր ուսումնասիրեք որևէ բաժինմաթեմատիկա, այն չի անում առանց վարժությունների և օրինակելի լուծումների: Այդպես է նաև հավանականության տեսությունը. իրադարձությունները, օրինակներն այստեղ անբաժանելի բաղադրիչ են, որը հաստատում է գիտական հաշվարկները:
Փոխակերպումների քանակի բանաձև
Ենթադրենք, քարտերի տախտակում կա երեսուն քարտ՝ սկսած անվանական արժեքից: Հաջորդ հարցը. Քանի՞ եղանակ կա տախտակամածը դնելու այնպես, որ մեկ և երկու անվանական արժեքներով քարտերը իրար կողքի չլինեն:
Խնդիրը դրված է, հիմա անցնենք դրա լուծմանը։ Նախ պետք է որոշել երեսուն տարրերի փոխատեղումների քանակը, դրա համար վերցնում ենք վերը նշված բանաձևը, ստացվում է P_30=30։
Ելնելով այս կանոնից՝ մենք կիմանանք, թե քանի տարբերակ կա տախտակամածը տարբեր ձևերով ծալելու համար, բայց մենք պետք է դրանցից հանենք այն, որոնց հաջորդում են առաջին և երկրորդ քարտերը: Դա անելու համար եկեք սկսենք այն տարբերակից, երբ առաջինը երկրորդից բարձր է: Ստացվում է, որ առաջին քարտը կարող է զբաղեցնել քսանինը տեղ՝ առաջինից մինչև քսանիններորդը, իսկ երկրորդ քարտը երկրորդից մինչև երեսուներորդը, ստացվում է քսանինը տեղ զույգ քարտերի համար: Իր հերթին, մնացածը կարող է զբաղեցնել քսանութ տեղ, և ցանկացած կարգով: Այսինքն, քսանութ քարտերի փոխակերպման համար կա քսանութ տարբերակ P_28=28!
Արդյունքում ստացվում է, որ եթե լուծումը դիտարկենք, երբ առաջին քարտը երկրորդից ավելի է, ապա կա 29 ⋅ 28 լրացուցիչ հնարավորություն:=29!
Օգտագործելով նույն մեթոդը, դուք պետք է հաշվարկեք ավելորդ տարբերակների քանակը այն դեպքի համար, երբ առաջին քարտը գտնվում է երկրորդի տակ:Ստացվում է նաև 29 ⋅ 28:=29!
Սրանից հետևում է, որ կա 2 ⋅ 29 լրացուցիչ տարբերակ, մինչդեռ տախտակամած կառուցելու համար անհրաժեշտ է 30 եղանակ: - 2 ⋅ 29: Մնում է միայն հաշվել։
30!=29 ⋅ 30; 30՛-2⋅29՛=29 ⋅ (30 - 2)=29: ⋅ 28
Այժմ դուք պետք է բազմապատկեք բոլոր թվերը մեկից մինչև քսանինը միասին, և վերջում ամեն ինչ բազմապատկեք 28-ով: Պատասխանն է՝ 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Օրինակի լուծում. Տեղաբաշխման համարի բանաձև
Այս խնդրի մեջ դուք պետք է պարզեք, թե քանի եղանակ կա տասնհինգ հատորը մեկ դարակի վրա դնելու համար, բայց պայմանով, որ ընդհանուր առմամբ երեսուն հատոր լինի։
Այս խնդիրն ունի մի փոքր ավելի հեշտ լուծում, քան նախորդը: Օգտագործելով արդեն հայտնի բանաձևը, անհրաժեշտ է հաշվարկել տեղանքների ընդհանուր թիվը տասնհինգ հատորի երեսուն հատորից:
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28… ⋅ 16=202 843 170709
Պատասխանը, համապատասխանաբար, կլինի 202 843 204 931 727 360 000:
Հիմա եկեք առաջադրանքը մի փոքր ավելի բարդ դնենք: Դուք պետք է պարզեք, թե քանի եղանակ կա երեսուն գիրք երկու գրադարակի վրա դասավորելու համար, պայմանով, որ միայն տասնհինգ հատոր կարող է լինել մեկ դարակում:
Մինչ լուծումը սկսելը, ես կցանկանայի պարզաբանել, որ որոշ խնդիրներ լուծվում են մի քանի ձևով, ուստի այս մեկում կա երկու եղանակ, բայց երկուսում էլ օգտագործվում է նույն բանաձևը:
Այս խնդրի պատասխանը կարող եք վերցնել նախորդից, քանի որ այնտեղ մենք հաշվարկել ենք, թե քանի անգամ կարող եք դարակը լրացնել տասնհինգ գրքով:այլ կերպ. Պարզվեց A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Մենք կհաշվարկենք երկրորդ դարակը փոխակերպման բանաձևով, քանի որ այնտեղ տեղադրված է տասնհինգ գիրք, մինչդեռ մնացել է տասնհինգը: Օգտագործեք P_15=15 բանաձեւը։
Ստացվում է, որ ընդհանուրը կլինի A_30^15 ⋅ P_15 եղանակ, սակայն, բացի այդ, երեսունից մինչև տասնվեց բոլոր թվերի արտադրյալը պետք է բազմապատկվի մեկից մինչև տասնհինգ թվերի արտադրյալով, ինչպես. արդյունքում՝ մեկից մինչև երեսուն բոլոր թվերի արտադրյալը, ուստի պատասխանը 30 է։
Բայց այս խնդիրը կարելի է լուծել այլ կերպ՝ ավելի հեշտ: Դա անելու համար դուք կարող եք պատկերացնել, որ կա մեկ դարակ երեսուն գրքի համար: Բոլորը դրված են այս հարթության վրա, բայց քանի որ պայմանը պահանջում է, որ երկու դարակ լինի, մեկ երկարությունը կիսով չափ կտրեցինք, ստացվում է երկու տասնհինգ։ Այստեղից պարզվում է, որ տեղաբաշխման տարբերակները կարող են լինել P_30=30!։
Օրինակի լուծում. Համակցման համարի բանաձև
Այժմ մենք կքննարկենք կոմբինատորիկայի երրորդ խնդրի տարբերակը: Դուք պետք է պարզեք, թե քանի եղանակ կա տասնհինգ գիրք դասավորելու համար, պայմանով, որ դուք պետք է ընտրեք երեսուն բացարձակապես նույնական:
Լուծման համար, իհարկե, կկիրառվի համակցությունների քանակի բանաձևը։ Պայմանից պարզ է դառնում, որ նույնական տասնհինգ գրքերի հերթականությունը կարևոր չէ։ Հետևաբար, սկզբում պետք է պարզել տասնհինգ գրքի երեսուն գրքի համակցությունների ընդհանուր թիվը։
C_30^15=30!: ((30-15)) !: տասնհինգ!=155 117 520
Ահա և վերջ: Օգտագործելով այս բանաձեւը, հնարավոր եղավ ամենակարճ ժամկետումլուծել նման խնդիր, պատասխանը, համապատասխանաբար, 155 117 520 է։
Օրինակի լուծում. Հավանականության դասական սահմանում
Վերևի բանաձևով դուք կարող եք գտնել պարզ խնդրի պատասխանը: Բայց դա կօգնի տեսողականորեն տեսնել և հետևել գործողությունների ընթացքին։
Խնդիրում տրված է, որ ափսեի մեջ տասը բացարձակապես նույնական գնդակներ կան։ Դրանցից չորսը դեղին են, վեցը՝ կապույտ։ Կաթսայից վերցվում է մեկ գնդակ: Դուք պետք է պարզեք կապույտ դառնալու հավանականությունը:
Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է նշանակել կապույտ գնդակը ստանալը որպես իրադարձություն A: Այս փորձը կարող է ունենալ տասը արդյունք, որոնք, իրենց հերթին, տարրական են և հավասարապես հավանական: Միևնույն ժամանակ, տասից վեցը բարենպաստ են Ա իրադարձության համար։ Մենք լուծում ենք բանաձևով՝
P(A)=6: 10=0, 6
Կիրառելով այս բանաձևը՝ պարզեցինք, որ կապույտ գնդակը ստանալու հավանականությունը 0,6 է։
Օրինակի լուծում. Իրադարձությունների գումարի հավանականությունը
Այժմ կներկայացվի տարբերակ, որը լուծվում է իրադարձությունների գումարի հավանականության բանաձևով։ Այսպիսով, այն պայմանով, որ կա երկու տուփ, առաջինը պարունակում է մեկ մոխրագույն և հինգ սպիտակ գնդիկներ, իսկ երկրորդը պարունակում է ութ մոխրագույն և չորս սպիտակ գնդիկներ: Արդյունքում դրանցից մեկը վերցվել է առաջին և երկրորդ արկղերից։ Դուք պետք է պարզեք, թե որքան է հավանականությունը, որ ձեր ստացած գնդակները կլինեն մոխրագույն և սպիտակ:
Այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է պիտակավորել իրադարձությունները:
- Այսպիսով, A - վերցրեք մոխրագույն գնդակ առաջին տուփից. P(A)=1/6:
- A’ – վերցրեք սպիտակ գնդակը նաև առաջին տուփից՝ P(A')=5/6:
- B – մոխրագույն գնդակն արդեն հանվել է երկրորդ տուփից՝ P(B)=2/3.
- B’ – վերցրեք մոխրագույն գնդակ երկրորդ տուփից՝ P(B')=1/3:
Ըստ խնդրի պայմանի՝ պետք է տեղի ունենա երևույթներից մեկը՝ AB' կամ A'B։ Օգտագործելով բանաձևը՝ մենք ստանում ենք՝ P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18:
Այժմ օգտագործվել է հավանականության բազմապատկման բանաձևը: Հաջորդը, պատասխանը պարզելու համար անհրաժեշտ է կիրառել դրանց գումարման հավասարումը.
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Այսպես, օգտագործելով բանաձևը, կարող եք լուծել նմանատիպ խնդիրներ։
Արդյունք
Հոդվածում տրվել են տեղեկություններ «Հավանականությունների տեսություն» թեմայով, որտեղ իրադարձության հավանականությունը վճռորոշ դեր է խաղում։ Իհարկե, ամեն ինչ չէ, որ հաշվի է առնվել, բայց, ելնելով ներկայացված տեքստից, տեսականորեն կարելի է ծանոթանալ մաթեմատիկայի այս բաժնին։ Քննարկվող գիտությունը կարող է օգտակար լինել ոչ միայն մասնագիտական աշխատանքում, այլև առօրյա կյանքում։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել ցանկացած իրադարձության ցանկացած հնարավորություն։
Տեքստն անդրադարձել է նաև հավանականությունների տեսության՝ որպես գիտության ձևավորման պատմության նշանակալից տարեթվերին և այն մարդկանց անուններին, որոնց աշխատանքները ներդրվել են դրանում։ Ահա թե ինչպես մարդկային հետաքրքրասիրությունը հանգեցրեց նրան, որ մարդիկ սովորեցին հաշվարկել նույնիսկ պատահական իրադարձությունները: Ժամանակին նրանք պարզապես հետաքրքրված էին դրանով, իսկ այսօր արդեն բոլորը գիտեն այդ մասին։ Եվ ոչ ոք չի ասի, թե ինչ է մեզ սպասվում ապագայում, ինչ այլ փայլուն բացահայտումներ՝ կապված քննարկվող տեսության հետ։ Բայց մի բան հաստատ է. հետազոտությունը դեռ չի կանգնում:
