Շատերը, բախվելով «հավանականությունների տեսություն» հասկացությանը, վախեցած են՝ մտածելով, որ սա ճնշող, շատ բարդ բան է: Բայց իրականում դա այնքան էլ ողբերգական չէ: Այսօր մենք կդիտարկենք հավանականությունների տեսության հիմնական հայեցակարգը, կսովորենք, թե ինչպես լուծել խնդիրները՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:
Գիտություն
Ի՞նչ է ուսումնասիրում մաթեմատիկայի այնպիսի ճյուղը, ինչպիսին է «հավանականությունների տեսությունը»: Այն նշում է պատահական իրադարձությունների և քանակների օրինաչափությունները: Առաջին անգամ գիտնականները այս հարցով հետաքրքրվեցին դեռ տասնութերորդ դարում, երբ նրանք ուսումնասիրեցին մոլախաղը: Հավանականությունների տեսության հիմնական հայեցակարգը իրադարձություն է: Դա ցանկացած փաստ է, որը պարզվում է փորձով կամ դիտարկումով։ Բայց ի՞նչ է փորձը: Հավանականությունների տեսության ևս մեկ հիմնական հայեցակարգ. Նշանակում է, որ հանգամանքների այս կազմը պատահական չի ստեղծվել, այլ կոնկրետ նպատակով։ Ինչ վերաբերում է դիտարկմանը, ապա այստեղ հետազոտողն ինքը չի մասնակցում փորձին, այլ պարզապես ականատես է այդ իրադարձություններին, նա որևէ կերպ չի ազդում տեղի ունեցողի վրա։
Իրադարձություններ
Մենք իմացանք, որ հավանականությունների տեսության հիմնական հայեցակարգը իրադարձություն է, բայց չդիտարկեցինք դասակարգումը: Դրանք բոլորը բաժանված են հետևյալ կատեգորիաների՝
- Վստահելի.
- Անհնար.
- Պատահական.
Կարևոր չէթե ինչպիսի իրադարձություններ են դիտվում կամ ստեղծվում փորձի ընթացքում, դրանք բոլորը ենթակա են այս դասակարգմանը: Առաջարկում ենք տեսակներից յուրաքանչյուրի հետ ծանոթանալ առանձին։
Որոշ իրադարձություն
Սա մի հանգամանք է, որից առաջ ձեռնարկվել են անհրաժեշտ միջոցառումների փաթեթ։ Էությունը ավելի լավ հասկանալու համար ավելի լավ է մի քանի օրինակ բերել։ Ֆիզիկան, քիմիան, տնտեսագիտությունը և բարձրագույն մաթեմատիկան ենթարկվում են սույն օրենքին: Հավանականությունների տեսությունը ներառում է այնպիսի կարևոր հասկացություն, ինչպիսին է որոշակի իրադարձություն: Ահա մի քանի օրինակ՝
- Մենք աշխատում ենք և ստանում ենք վարձատրություն՝ աշխատավարձի տեսքով։
- Քննությունները լավ հանձնեցինք, անցանք մրցույթը, դրա համար ստանում ենք պարգև՝ ուսումնական հաստատություն ընդունվելու տեսքով։
- Մենք գումար ենք ներդրել բանկում, անհրաժեշտության դեպքում կվերադարձնենք:
Նման իրադարձությունները հուսալի են։ Եթե մենք կատարել ենք բոլոր անհրաժեշտ պայմանները, ապա անպայման կստանանք սպասված արդյունքը։
Անհնար իրադարձություններ
Այժմ մենք դիտարկում ենք հավանականությունների տեսության տարրերը: Մենք առաջարկում ենք անցնել հաջորդ տեսակի իրադարձության բացատրությանը, այն է՝ անհնարինը։ Նախ նշենք ամենակարևոր կանոնը՝ անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է։
Խնդիրներ լուծելիս չի կարելի շեղվել այս ձևակերպումից. Պարզաբանելու համար, ահա այսպիսի իրադարձությունների օրինակներ.
- Ջուրը սառեցրեց գումարած տասը (դա անհնար է):
- Էլեկտրաէներգիայի բացակայությունը ոչ մի կերպ չի ազդում արտադրության վրա (նույնքան անհնար է, ինչպես նախորդ օրինակում):
Ավելի շատ օրինակներՉարժե նշել, քանի որ վերը նկարագրվածները շատ հստակ արտացոլում են այս կատեգորիայի էությունը: Անհնարին իրադարձությունը երբեք չի պատահի փորձի ընթացքում, ոչ մի դեպքում:
Պատահական իրադարձություններ
Հավանականությունների տեսության տարրերն ուսումնասիրելիս հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել իրադարձությունների այս տեսակին: Դա այն է, ինչ ուսումնասիրում է գիտությունը։ Փորձի արդյունքում ինչ-որ բան կարող է լինել, կարող է չլինել։ Բացի այդ, թեստը կարող է կրկնվել անսահմանափակ քանակությամբ անգամ: Վառ օրինակներն են՝
- Մետաղադրամ նետելը փորձ է, կամ թեստ, վերնագիրը իրադարձություն է:
- Պարկից գնդակը կուրորեն հանելը փորձություն է, կարմիր գնդակը բռնելը իրադարձություն է և այլն:
Նման օրինակներ կարող են լինել անսահմանափակ, բայց, ընդհանուր առմամբ, էությունը պետք է պարզ լինի. Իրադարձությունների մասին ձեռք բերված գիտելիքներն ամփոփելու և համակարգելու համար տրվում է աղյուսակ. Հավանականությունների տեսությունն ուսումնասիրում է ներկայացված բոլորի միայն վերջին տեսակը:
| վերնագիր | սահմանում | օրինակ |
| Վստահելի | Իրադարձություններ, որոնք տեղի են ունենում 100% երաշխիքով որոշակի պայմաններում: | Ընդունելություն ուսումնական հաստատություն լավ ընդունելության քննությամբ։ |
| Անհնար | Իրադարձություններ, որոնք երբեք չեն լինի ոչ մի դեպքում: | Ձյուն է տեղում +30 աստիճան Ցելսիուսի ջերմաստիճանում։ |
| Պատահական | Իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ կամ չպատահել փորձի/թեստի ընթացքում: | Խփեք կամ բաց թողեք բասկետբոլի գնդակը օղակը նետելիս: |
Օրենքներ
Հավանականությունների տեսությունը գիտություն է, որն ուսումնասիրում է իրադարձության տեղի ունենալու հնարավորությունը: Ինչպես մյուսները, այն ունի որոշ կանոններ. Գոյություն ունեն հավանականությունների տեսության հետևյալ օրենքները՝
- Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների կոնվերգենցիա։
- Մեծ թվերի օրենքը.
Կոմպլեքսի հնարավորությունը հաշվարկելիս կարող եք օգտագործել պարզ իրադարձությունների համալիր՝ ավելի հեշտ և արագ արդյունքի հասնելու համար: Նշենք, որ հավանականությունների տեսության օրենքները հեշտությամբ ապացուցվում են որոշ թեորեմների օգնությամբ։ Սկսենք առաջին օրենքով։
Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների կոնվերգենցիա
Նշեք, որ կան կոնվերգենցիայի մի քանի տեսակներ.
- Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը համընկնում է հավանականության մեջ:
- Գրեթե անհնար է.
- RMS կոնվերգենցիա։
- Միացում բաշխման մեջ։
Այնպես որ, թռիչքի ժամանակ շատ դժվար է հասնել դրան: Ահա որոշ սահմանումներ, որոնք կօգնեն ձեզ հասկանալ այս թեման: Սկսենք առաջին հայացքից: Հերթականությունը կոչվում է հավանականության կոնվերգենտ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմանը. n-ը հակված է դեպի անվերջություն, այն թիվը, որին ուղղված է հաջորդականությունը, մեծ է զրոյից և մոտ է մեկին:
Անցնել հաջորդ տեսքին, գրեթե անկասկած: Նրանք դա ասում ենհաջորդականությունը գրեթե անկասկած համընկնում է պատահական փոփոխականի հետ, որտեղ n-ը հակված է դեպի անսահմանություն, իսկ P-ն՝ դեպի մեկին մոտ արժեք:
Հաջորդ տեսակը արմատ-միջին-քառակուսի կոնվերգենցիան է: SC-կոնվերգենցիան օգտագործելիս վեկտորային պատահական գործընթացների ուսումնասիրությունը կրճատվում է մինչև դրանց կոորդինատային պատահական գործընթացների ուսումնասիրությունը:
Մնում է վերջին տեսակը, եկեք համառոտ նայենք դրան, որպեսզի անմիջապես անցնենք խնդիրների լուծմանը։ Բաշխման կոնվերգենցիան այլ անուն ունի՝ «թույլ», ստորև կբացատրենք, թե ինչու: Թույլ կոնվերգենցիան բաշխման ֆունկցիաների կոնվերգենցիան է սահմանային բաշխման ֆունկցիայի շարունակականության բոլոր կետերում։
Համոզվեք, որ կատարեք խոստումը. թույլ կոնվերգենցիան տարբերվում է վերը նշված բոլորից նրանով, որ պատահական փոփոխականը սահմանված չէ հավանականության տարածության վրա: Դա հնարավոր է, քանի որ պայմանը ձևավորվում է բացառապես բաշխման գործառույթների միջոցով:
Մեծ թվերի օրենք
Այս օրենքը ապացուցելու հիանալի օգնականներ կլինեն հավանականությունների տեսության թեորեմները, ինչպիսիք են՝
- Չեբիշևի անհավասարություն.
- Չեբիշևի թեորեմ.
- Ընդհանրացված Չեբիշևի թեորեմը.
- Մարկովի թեորեմ.
Եթե դիտարկենք այս բոլոր թեորեմները, ապա այս հարցը կարող է ձգվել մի քանի տասնյակ թերթերով: Մեր հիմնական խնդիրն է գործնականում կիրառել հավանականության տեսությունը։ Մենք ձեզ հրավիրում ենք դա անել հենց հիմա: Բայց մինչ այդ դիտարկենք հավանականությունների տեսության աքսիոմները, նրանք կլինեն խնդիրների լուծման հիմնական օգնականները։
Աքսիոմներ
Առաջինին արդեն հանդիպեցինք, երբ խոսեցինք անհնարին իրադարձության մասին։ Հիշենք՝ անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է։ Մենք շատ վառ և հիշարժան օրինակ բերեցինք՝ ձյուն է տեղացել օդի երեսուն աստիճան Ցելսիուսի ջերմաստիճանում։
Երկրորդը հնչում է այսպես. հուսալի իրադարձություն է տեղի ունենում մեկին հավասար հավանականությամբ: Հիմա եկեք ցույց տանք, թե ինչպես գրել այն մաթեմատիկական լեզվով. P(B)=1.
Երրորդ. Պատահական իրադարձություն կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել, բայց հավանականությունը միշտ տատանվում է զրոյից մինչև մեկ: Որքան մոտ է արժեքը մեկին, այնքան մեծ է հնարավորությունը. եթե արժեքը մոտենում է զրոյին, հավանականությունը շատ ցածր է: Սա գրենք մաթեմատիկական լեզվով՝ 0<Р(С)<1.
Դիտարկենք վերջին՝ չորրորդ աքսիոմը, որը հնչում է այսպես՝ երկու իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է նրանց հավանականությունների գումարին։ Մենք գրում ենք մաթեմատիկական լեզվով՝ P (A + B) u003d P (A) + P (B):
Հավանականությունների տեսության աքսիոմները ամենապարզ կանոններն են, որոնք հեշտ է հիշել: Փորձենք լուծել որոշ խնդիրներ՝ հիմնվելով արդեն իսկ ձեռք բերած գիտելիքների վրա։
Վիճակախաղի տոմս
Նախ, դիտարկեք ամենապարզ օրինակը՝ վիճակախաղը: Պատկերացրեք, որ դուք գնել եք մեկ վիճակախաղի տոմս հաջողության համար: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դուք կշահեք առնվազն քսան ռուբլի: Ընդհանուր առմամբ, շրջանառությանը մասնակցում է հազար տոմս, որոնցից մեկի մրցանակը հինգ հարյուր ռուբլի է, տասը հարյուր ռուբլի, հիսունը քսան ռուբլի, հարյուրը հինգը։ Հավանականությունների տեսության խնդիրները հիմնված են հնարավորության որոնման վրահաջողություն. Այժմ միասին կվերլուծենք վերը ներկայացված առաջադրանքի լուծումը։
Եթե A տառով նշենք հինգ հարյուր ռուբլի շահույթ, ապա A ստանալու հավանականությունը կլինի 0,001։Ինչպե՞ս ստացանք։ Պարզապես պետք է բաժանել «հաջողակ» տոմսերի թիվը դրանց ընդհանուր թվի վրա (այս դեպքում՝ 1/1000):
B-ն հարյուր ռուբլու շահում է, հավանականությունը կլինի 0,01: Այժմ մենք գործեցինք նույն սկզբունքով, ինչ նախորդ գործողության մեջ (10/1000)
C - շահումները հավասար են քսան ռուբլու: Գտեք հավանականությունը, այն հավասար է 0,05:
Մնացած տոմսերը մեզ համար ոչ մի հետաքրքրություն չեն ներկայացնում, քանի որ դրանց մրցանակային ֆոնդը պակաս է պայմանում նշվածից։ Կիրառենք չորրորդ աքսիոմը՝ առնվազն քսան ռուբլի շահելու հավանականությունը P(A)+P(B)+P(C) է։ P տառը նշանակում է այս իրադարձության առաջացման հավանականությունը, մենք դրանք արդեն գտել ենք նախորդ քայլերում։ Մնում է ավելացնել անհրաժեշտ տվյալները, պատասխանում ստանում ենք 0, 061։ Այս թիվը կլինի առաջադրանքի հարցի պատասխանը։
Քարտի տախտակ
Հավանականությունների տեսության խնդիրները կարող են ավելի բարդ լինել, օրինակ՝ կատարեք հետևյալ առաջադրանքը. Ձեր առջև երեսունվեց քարտերից բաղկացած տախտակ է: Ձեր խնդիրն է անընդմեջ երկու քարտ նկարել՝ առանց կույտը խառնելու, առաջին և երկրորդ խաղաթղթերը պետք է լինեն էս, կոստյումը նշանակություն չունի։
Նախ, եկեք գտնենք հավանականությունը, որ առաջին խաղաքարտը կլինի ace, դրա համար մենք չորսը բաժանում ենք երեսունվեցի: Մի կողմ դրեցին։ Մենք հանում ենք երկրորդ խաղաքարտը, դա կլինի էյս՝ երեք երեսունհինգերորդական հավանականությամբ։ Երկրորդ իրադարձության հավանականությունը կախված է նրանից, թե որ խաղաքարտը մենք առաջինը խաղարկեցինք, մեզ հետաքրքրում էդա էյս էր, թե ոչ: Հետևում է, որ B իրադարձությունը կախված է A իրադարձությունից:
Հաջորդ քայլը միաժամանակյա իրականացման հավանականությունը գտնելն է, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք A-ն և B-ն: Նրանց արտադրյալը գտնում ենք հետևյալ կերպ. մի իրադարձության հավանականությունը բազմապատկվում է մյուսի պայմանական հավանականությամբ, որը մենք հաշվարկում ենք։, ենթադրելով, որ տեղի է ունեցել առաջին իրադարձությունը, այսինքն՝ առաջին խաղաթղթով մենք ace ենք խաղացել։
Որպեսզի ամեն ինչ պարզ լինի, եկեք նշենք այնպիսի տարրին, ինչպիսին է իրադարձության պայմանական հավանականությունը։ Այն հաշվարկվում է ենթադրելով, որ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել: Հաշվարկված է հետևյալ կերպ՝ P(B/A).
Շարունակեք լուծել մեր խնդիրը. P(AB)=P(A)P(B/A) կամ P (AB)=P(B)P(A/B): Հավանականությունը (4/36)((3/35)/(4/36) է: Հաշվեք կլորացնելով մինչև հարյուրերորդական: Մենք ունենք՝ 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09: Հավանականությունը, որ մենք անընդմեջ երկու էյս ենք նկարում, ինը հարյուրերորդական է Արժեքը շատ փոքր է, հետևում է, որ իրադարձության առաջացման հավանականությունը չափազանց փոքր է։
Մոռացված համար
Մենք առաջարկում ենք վերլուծել ևս մի քանի տարբերակ առաջադրանքների համար, որոնք ուսումնասիրվում են հավանականությունների տեսության կողմից: Դրանցից մի քանիսը լուծելու օրինակներ արդեն տեսել եք այս հոդվածում, փորձենք լուծել հետևյալ խնդիրը՝ տղան մոռացել էր ընկերոջ հեռախոսահամարի վերջին նիշը, բայց քանի որ զանգը շատ կարևոր էր, նա սկսեց ամեն ինչ հերթով հավաքել։ Պետք է հաշվարկենք հավանականությունը, որ նա կզանգահարի ոչ ավելի, քան երեք անգամ։ Խնդրի լուծումն ամենապարզն է, եթե հայտնի են հավանականությունների տեսության կանոնները, օրենքները և աքսիոմները։
Դիտելուց առաջլուծում, փորձեք լուծել ինքներդ: Մենք գիտենք, որ վերջին նիշը կարող է լինել զրոյից մինչև ինը, այսինքն, ընդհանուր առմամբ կա տասը արժեք: Ճիշտը ստանալու հավանականությունը 1/10 է։
Հաջորդը պետք է դիտարկենք իրադարձության ծագման տարբերակները, ենթադրենք, որ տղան ճիշտ է գուշակել և անմիջապես վաստակել է ճիշտը, նման իրադարձության հավանականությունը 1/10 է։ Երկրորդ տարբերակը՝ առաջին զանգը բաց թողնված է, իսկ երկրորդը՝ թիրախ: Մենք հաշվում ենք նման իրադարձության հավանականությունը՝ 9/10-ը բազմապատկում ենք 1/9-ով, արդյունքում ստանում ենք նաև 1/10։ Երրորդ տարբերակը՝ առաջին և երկրորդ զանգերը սխալ հասցեով են ստացվել, միայն երրորդից տղան հասել է ուր ուզում է։ Մենք հաշվում ենք նման իրադարձության հավանականությունը՝ 9/10-ը բազմապատկում ենք 8/9-ով և 1/8-ով, արդյունքում ստանում ենք 1/10։ Ըստ խնդրի պայմանի՝ մեզ այլ տարբերակներ չեն հետաքրքրում, ուստի մեզ մնում է արդյունքները գումարել, արդյունքում ունենք 3/10։ Պատասխան. Հավանականությունը, որ տղան երեք անգամից ոչ ավել է զանգում, 0,3 է։
Քարտեր թվերով
Առջևում ինը քարտ կա, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա գրված է մեկից ինը թիվ, թվերը չեն կրկնվում։ Դրանք դրվեցին տուփի մեջ և մանրակրկիտ խառնեցին։ Դուք պետք է հաշվարկեք հավանականությունը, որ
- կհայտնվի զույգ թիվ;
- երկանիշ.
Լուծմանը անցնելուց առաջ սահմանենք, որ m-ը հաջողված դեպքերի թիվն է, իսկ n-ը՝ տարբերակների ընդհանուր թիվը։ Գտե՛ք թվի զույգ լինելու հավանականությունը: Դժվար չի լինի հաշվարկել, որ կան չորս զույգ թվեր, սա կլինի մեր m-ը, ընդհանուր առմամբ կա ինը տարբերակ, այսինքն՝ m=9։ Հետո հավանականությունըհավասար է 0, 44 կամ 4/9:
Դիտարկենք երկրորդ դեպքը. տարբերակների թիվը ինը է, և հաջող ելք ընդհանրապես չի կարող լինել, այսինքն՝ m-ը հավասար է զրոյի: Հավանականությունը, որ խաղարկված քարտը կունենա երկնիշ թիվ, նույնպես զրո է։
