Պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաները և դրանց փոփոխականները գտնելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել գիտելիքի այս ոլորտի բոլոր հատկանիշները։ Քննարկվող արժեքները գտնելու մի քանի տարբեր մեթոդներ կան, ներառյալ փոփոխականը փոխելը և պահ ստեղծելը: Բաշխումը հասկացություն է, որը հիմնված է այնպիսի տարրերի վրա, ինչպիսիք են դիսպերսիան, տատանումները: Այնուամենայնիվ, դրանք բնութագրում են միայն ցրման ամպլիտուդի աստիճանը։
Պատահական փոփոխականների առավել կարևոր գործառույթներն այն գործառույթներն են, որոնք կապված են և անկախ, և հավասարապես բաշխված են: Օրինակ, եթե X1-ը արական պոպուլյացիայից պատահականորեն ընտրված անհատի կշիռն է, X2-ը մյուսի կշիռն է, … և Xn-ը արական պոպուլյացիայից ևս մեկ մարդու կշիռն է, ապա մենք պետք է իմանանք, թե ինչպես է պատահական ֆունկցիան: X-ը բաշխված է: Այս դեպքում կիրառվում է դասական թեորեմը, որը կոչվում է կենտրոնական սահմանային թեորեմ։ Այն թույլ է տալիս ցույց տալ, որ մեծ n-ի դեպքում ֆունկցիան հետևում է ստանդարտ բաշխմանը:
Մեկ պատահական փոփոխականի ֆունկցիաներ
Կենտրոնական սահմանային թեորեմը նախատեսված է դիտարկվող դիսկրետ արժեքների մոտավոր գնահատման համար, ինչպիսիք են երկանդամը և Պուասոնը:Պատահական փոփոխականների բաշխման գործառույթները դիտարկվում են, առաջին հերթին, մեկ փոփոխականի պարզ արժեքների վրա: Օրինակ, եթե X-ը շարունակական պատահական փոփոխական է, որն ունի իր հավանականության բաշխումը: Այս դեպքում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես գտնել Y-ի խտության ֆունկցիան՝ օգտագործելով երկու տարբեր մոտեցումներ, մասնավորապես բաշխման ֆունկցիայի մեթոդը և փոփոխականի փոփոխությունը: Նախ, դիտարկվում են միայն մեկ առ մեկ արժեքներ: Այնուհետև անհրաժեշտ է փոփոխել փոփոխականը փոխելու տեխնիկան՝ գտնելու դրա հավանականությունը։ Վերջապես, մենք պետք է սովորենք, թե ինչպես հակադարձ կուտակային բաշխման ֆունկցիան կարող է օգնել մոդելավորել պատահական թվեր, որոնք հետևում են որոշակի հաջորդական օրինաչափությունների:
Դիտարկվող արժեքների բաշխման մեթոդ
Պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման ֆունկցիայի մեթոդը կիրառելի է դրա խտությունը գտնելու համար։ Այս մեթոդը կիրառելիս հաշվարկվում է կուտակային արժեքը: Այնուհետև, տարբերակելով այն, կարող եք ստանալ հավանականության խտությունը։ Այժմ, երբ մենք ունենք բաշխման ֆունկցիայի մեթոդը, կարող ենք դիտել ևս մի քանի օրինակ: Թող X-ը լինի որոշակի հավանականության խտությամբ շարունակական պատահական փոփոխական։
Ո՞րն է x2-ի հավանականության խտության ֆունկցիան: Եթե նայեք կամ գծագրեք ֆունկցիան (վերևից և աջից) y \u003d x2, կարող եք նշել, որ այն աճող X է և 0 <y<1: Այժմ դուք պետք է օգտագործեք դիտարկված մեթոդը Y-ին գտնելու համար: Նախ՝ գտնվել է կուտակային բաշխման ֆունկցիան, պարզապես անհրաժեշտ է տարբերակել՝ հավանականության խտությունը ստանալու համար: Դրանով մենք ստանում ենք՝ 0<y<1:Բաշխման մեթոդը հաջողությամբ կիրառվել է՝ գտնելու Y-ը, երբ Y-ը X-ի աճող ֆունկցիան է: Ի դեպ, f(y)-ն ինտեգրվում է 1-ի մեջ y-ի նկատմամբ:
Վերջին օրինակում մեծ ուշադրություն է դարձվել կուտակային ֆունկցիաները և հավանականության խտությունը X-ով կամ Y-ով ինդեքսավորելու համար՝ ցույց տալու համար, թե որ պատահական փոփոխականին են դրանք պատկանում: Օրինակ, երբ գտնելով Y-ի կուտակային բաշխման ֆունկցիան, մենք ստացանք X: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել X պատահական փոփոխական և դրա խտությունը, ապա պարզապես անհրաժեշտ է տարբերակել այն:
Փոփոխական փոփոխության տեխնիկա
Թող X լինի շարունակական պատահական փոփոխական, որը տրված է f (x) ընդհանուր հայտարարով բաշխման ֆունկցիայի կողմից: Այս դեպքում, եթե դուք դնում եք y արժեքը X=v (Y) մեջ, ապա դուք ստանում եք x-ի արժեքը, օրինակ v (y): Այժմ մենք պետք է ստանանք Y շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան: Որտեղ առաջին և երկրորդ հավասարությունը տեղի է ունենում կուտակային Y-ի սահմանումից: Երրորդ հավասարությունը գործում է, քանի որ ֆունկցիայի այն մասը, որի համար u (X) ≦ y է: ճիշտ է նաև, որ X ≦ v (Y): Եվ վերջինն արվում է X-ի շարունակական պատահական փոփոխականում հավանականությունը որոշելու համար: Այժմ մենք պետք է վերցնենք FY (y) ածանցյալը՝ Y-ի կուտակային բաշխման ֆունկցիան, որպեսզի ստանանք Y հավանականության խտությունը:
:
Ընդհանրացում նվազեցման ֆունկցիայի համար
Թող X-ը լինի շարունակական պատահական փոփոխական՝ ընդհանուր f (x)-ով սահմանված c1<x<c2-ով: Եվ թող Y=u (X) լինի X-ի նվազող ֆունկցիա՝ հակադարձ X=v (Y): Քանի որ ֆունկցիան շարունակական է և նվազող, կա X=v (Y) հակադարձ ֆունկցիա։
Այս խնդիրը լուծելու համար կարող եք քանակական տվյալներ հավաքել և օգտագործել էմպիրիկ կուտակային բաշխման ֆունկցիան: Այս տեղեկատվության հետ և դրա համար գրավիչ, դուք պետք է միավորեք միջոցների նմուշները, ստանդարտ շեղումները, լրատվամիջոցների տվյալները և այլն:
Նմանապես, նույնիսկ բավականին պարզ հավանականական մոդելը կարող է հսկայական քանակությամբ արդյունքներ ունենալ: Օրինակ, եթե մետաղադրամը շուռ եք տալիս 332 անգամ: Այնուհետև պտույտներից ստացված արդյունքների թիվն ավելի մեծ է, քան google-ը (10100)՝ մի թիվ, բայց ոչ պակաս, քան 100 կվինտիլիոն անգամ ավելի, քան հայտնի տիեզերքի տարրական մասնիկները: Հետաքրքրված չեմ վերլուծությամբ, որը պատասխան է տալիս ամեն հնարավոր արդյունքին: Կպահանջվի ավելի պարզ հայեցակարգ, օրինակ՝ գլխերի քանակը կամ պոչերի ամենաերկար հարվածը: Հետաքրքիր հարցերի վրա կենտրոնանալու համար ընդունվում է կոնկրետ արդյունք։ Այս դեպքում սահմանումը հետևյալն է. պատահական փոփոխականը իրական ֆունկցիա է հավանականության տարածությամբ:
Պատահական փոփոխականի S միջակայքը երբեմն կոչվում է վիճակի տարածություն: Այսպիսով, եթե X-ը խնդրո առարկա արժեքն է, ապա N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc և այլն: Դրանցից վերջինը, որը կլորացնում է X-ը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը, կոչվում է հատակի ֆունկցիա:
Բաշխման գործառույթներ
Երբ որոշվում է x պատահական փոփոխականի համար հետաքրքրող բաշխման ֆունկցիան, սովորաբար հարց է առաջանում. Օրինակ, B={կենտ թվեր}, B={1-ից մեծ} կամ B={2-ի և 7-ի միջև}` ցույց տալու այն արդյունքները, որոնք ունեն X, արժեքը:պատահական փոփոխական Ա ենթաբազմության մեջ: Այսպիսով, վերը նշված օրինակում դուք կարող եք նկարագրել իրադարձությունները հետևյալ կերպ:
{X-ը կենտ թիվ է}, {X-ը մեծ է 1}-ից={X> 1}, {X-ը 2-ի և 7-ի միջև է={2 <X <7}` B ենթաբազմության վերը նշված երեք տարբերակներին համապատասխանելու համար: Պատահական մեծությունների շատ հատկություններ կապված չեն որոշակի X-ի հետ: Ավելի շուտ, դրանք կախված են նրանից, թե X-ն ինչպես է հատկացնում իր արժեքները: Սա հանգեցնում է սահմանման, որը հնչում է այսպես. x պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան կուտակային է և որոշվում է քանակական դիտարկումներով:
Պատահական փոփոխականներ և բաշխման ֆունկցիաներ
Այսպիսով, դուք կարող եք հաշվարկել հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան արժեքներ կընդունի միջակայքում՝ հանելով: Մտածեք վերջնակետերը ներառելու կամ բացառելու մասին։
Պատահական փոփոխականը կանվանենք դիսկրետ, եթե այն ունի վերջավոր կամ հաշվելիորեն անսահման վիճակի տարածություն: Այսպիսով, X-ը կողմնակալ մետաղադրամի երեք անկախ շրջադարձերի գլխիկների թիվն է, որը բարձրանում է p հավանականությամբ: Մենք պետք է գտնենք X-ի համար դիսկրետ պատահական FX փոփոխականի կուտակային բաշխման ֆունկցիան: Թող X լինի երեք քարտերի հավաքածուի գագաթների թիվը: Այնուհետև Y=X3 FX-ի միջոցով: FX-ը սկսվում է 0-ից, ավարտվում է 1-ով և չի նվազում, քանի որ x արժեքները մեծանում են: Դիսկրետ պատահական X փոփոխականի կուտակային FX բաշխման ֆունկցիան հաստատուն է, բացառությամբ թռիչքների: Ցատկելիս FX-ը շարունակական է: Ապացուցե՛ք պնդումը ճիշտի մասինհավանականության հատկությունից բաշխման ֆունկցիայի շարունակականությունը հնարավոր է սահմանման միջոցով: Այն հնչում է այսպես. հաստատուն պատահական փոփոխականն ունի կուտակային FX, որը տարբերվում է:
Ցույց տալու համար, թե ինչպես դա կարող է տեղի ունենալ, մենք կարող ենք օրինակ բերել՝ միավորի շառավղով թիրախ: Ենթադրաբար. նետը հավասարաչափ բաշխված է նշված տարածքում: Որոշ λ> 0. Այսպիսով, շարունակական պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաները սահուն աճում են: FX-ն ունի բաշխման ֆունկցիայի հատկություններ։
Տղամարդը կանգառում սպասում է մինչև ավտոբուսի ժամանումը: Ինքն իրեն որոշելով, որ կհրաժարվի, երբ սպասելը հասնի 20 րոպեի։ Այստեղ անհրաժեշտ է գտնել T-ի կուտակային բաշխման ֆունկցիան: Այն ժամանակը, երբ մարդը դեռ կլինի ավտոկայանում կամ չի հեռանա: Չնայած այն հանգամանքին, որ կուտակային բաշխման ֆունկցիան սահմանված է յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի համար։ Միևնույն է, բավականին հաճախ կօգտագործվեն այլ բնութագրիչներ. զանգվածը դիսկրետ փոփոխականի համար և բաշխման խտության ֆունկցիան պատահական փոփոխականի համար: Սովորաբար արժեքը դուրս է բերվում այս երկու արժեքներից մեկի միջոցով:
Զանգվածային ֆունկցիաներ
Այս արժեքները դիտարկվում են հետևյալ հատկություններով, որոնք ունեն ընդհանուր (զանգվածային) բնույթ։ Առաջինը հիմնված է այն բանի վրա, որ հավանականությունները բացասական չեն։ Երկրորդը հետևում է այն դիտարկումից, որ բոլոր x=2S-ի բազմությունը, X-ի վիճակի տարածությունը, կազմում է X-ի հավանականական ազատության բաժանումը: Օրինակ. շպրտել կողմնակալ մետաղադրամ, որի արդյունքներն անկախ են: Դուք կարող եք շարունակել անելորոշակի գործողություններ, մինչև ստանաք գլուխների գլան: Թող X-ը նշանակի պատահական փոփոխական, որը տալիս է առաջին գլխի առջև գտնվող պոչերի քանակը: Իսկ p-ն նշանակում է տվյալ գործողության հավանականությունը:
Այսպիսով, զանգվածային հավանականության ֆունկցիան ունի հետևյալ բնորոշ հատկանիշները. Քանի որ տերմինները կազմում են թվային հաջորդականություն, X-ը կոչվում է երկրաչափական պատահական փոփոխական։ Երկրաչափական սխեման c, cr, cr2,.,,, crn ունի գումար. Եվ, հետևաբար, sn-ն ունի n 1 սահման: Այս դեպքում անսահման գումարը սահմանն է:
Վերևում գտնվող զանգվածի ֆունկցիան կազմում է հարաբերակցությամբ երկրաչափական հաջորդականություն: Հետևաբար, a և b բնական թվերը. Բաշխման ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունը հավասար է զանգվածային ֆունկցիայի արժեքին։
Դիտարկվող խտության արժեքներն ունեն սահմանում. X-ը պատահական փոփոխական է, որի FX բաշխումն ունի ածանցյալ: Z-ին բավարարող FX xFX (x)=fX (t) dt-1 կոչվում է հավանականության խտության ֆունկցիա։ Իսկ X-ը կոչվում է շարունակական պատահական փոփոխական։ Հաշվի հիմնարար թեորեմում խտության ֆունկցիան բաշխման ածանցյալն է։ Դուք կարող եք հաշվարկել հավանականությունները՝ հաշվարկելով որոշակի ինտեգրալներ։
Քանի որ տվյալները հավաքագրվում են բազմաթիվ դիտարկումներից, փորձնական ընթացակարգերը մոդելավորելու համար պետք է միաժամանակ հաշվի առնել մեկից ավելի պատահական փոփոխական: Հետևաբար, այս արժեքների հավաքածուն և դրանց համատեղ բաշխումը երկու փոփոխականների համար՝ X1 և X2, նշանակում է իրադարձությունների դիտում: Դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար սահմանվում են համատեղ հավանականական զանգվածային ֆունկցիաներ: Շարունակականների համար համարվում են fX1, X2, որտեղհամատեղ հավանականության խտությունը բավարարված է։
Անկախ պատահական փոփոխականներ
Երկու պատահական փոփոխականներ X1 և X2 անկախ են, եթե դրանց հետ կապված որևէ երկու իրադարձություն նույնն են: Բառերով, հավանականությունը, որ երկու իրադարձություն {X1 2 B1} և {X2 2 B2} տեղի են ունենում միաժամանակ, y, հավասար է վերը նշված փոփոխականների արտադրյալին, որ դրանցից յուրաքանչյուրը տեղի է ունենում առանձին: Անկախ դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար գոյություն ունի համատեղ հավանականական զանգվածի ֆունկցիա, որը սահմանափակող իոնային ծավալի արտադրյալն է։ Շարունակական պատահական փոփոխականների համար, որոնք անկախ են, համատեղ հավանականության խտության ֆունկցիան սահմանային խտության արժեքների արտադրյալն է: Ի վերջո, մենք դիտարկում ենք n անկախ դիտարկում x1, x2,.,,, xn, որը առաջանում է անհայտ խտության կամ զանգվածի ֆունկցիայից f. Օրինակ, անհայտ պարամետր ֆունկցիաներում էքսպոնենցիալ պատահական փոփոխականի համար, որը նկարագրում է ավտոբուսի սպասման ժամանակը:
Պատահական փոփոխականների իմիտացիա
Այս տեսական ոլորտի հիմնական նպատակն է ապահովել այն գործիքները, որոնք անհրաժեշտ են եզրակացության ընթացակարգեր մշակելու համար՝ հիմնված վիճակագրական գիտության կայուն սկզբունքների վրա: Այսպիսով, ծրագրաշարի օգտագործման շատ կարևոր դեպքը կեղծ տվյալներ ստեղծելու ունակությունն է՝ իրական տեղեկատվությունը նմանակելու համար: Սա հնարավորություն է տալիս փորձարկել և բարելավել վերլուծության մեթոդները, նախքան դրանք իրական տվյալների բազայում օգտագործելը: Սա պահանջվում է տվյալների միջոցով ուսումնասիրելու հատկություններըմոդելավորում. Պատահական փոփոխականների շատ հաճախ օգտագործվող ընտանիքների համար R-ն տալիս է հրամաններ՝ դրանք ստեղծելու համար: Այլ հանգամանքների համար անհրաժեշտ կլինեն անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականության մոդելավորման մեթոդներ, որոնք ունեն ընդհանուր բաշխում:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականներ և հրամանի օրինաչափություն: Նմուշ հրամանն օգտագործվում է պարզ և շերտավորված պատահական նմուշներ ստեղծելու համար: Արդյունքում, եթե x հաջորդականությունը մուտքագրված է, նմուշը (x, 40) ընտրում է 40 գրառում x-ից այնպես, որ 40 չափի բոլոր ընտրություններն ունենան նույն հավանականությունը: Սա օգտագործում է լռելյայն R հրամանը առանց փոխարինման առբերման համար: Կարող է օգտագործվել նաև դիսկրետ պատահական փոփոխականների մոդելավորման համար: Դա անելու համար x վեկտորում պետք է տրամադրել վիճակի տարածություն և f զանգվածային ֆունկցիա: Փոխարինելու կոչը=ՃՇՄԱՐԻՏ ցույց է տալիս, որ նմուշառումը կատարվում է փոխարինմամբ: Այնուհետև, n անկախ պատահական փոփոխականների նմուշ տալու համար, որոնք ունեն ընդհանուր զանգվածային ֆունկցիա f, օգտագործվում է նմուշը (x, n, փոխարինում=TRUE, prob=f):
Սահմանվել է, որ 1-ը ներկայացված ամենափոքր արժեքն է, իսկ 4-ը բոլորից ամենամեծը: Եթե prob=f հրամանը բաց է թողնվել, ապա նմուշը միատեսակ կընտրվի x վեկտորի արժեքներից: Դուք կարող եք ստուգել սիմուլյացիան զանգվածային ֆունկցիայի նկատմամբ, որը գեներացրել է տվյալները՝ դիտելով կրկնակի հավասարման նշանը՝==: Եվ վերահաշվարկելով այն դիտարկումները, որոնք ընդունում են x-ի բոլոր հնարավոր արժեքը: Դուք կարող եք սեղան պատրաստել: Կրկնեք սա 1000 և համեմատեք սիմուլյացիան համապատասխան զանգվածային ֆունկցիայի հետ։
Հավանականության փոխակերպման նկարազարդում
Առաջինմոդելավորել u1, u2, պատահական փոփոխականների միատարր բաշխման ֆունկցիաները:,,, un [0, 1] միջակայքում: Թվերի մոտ 10%-ը պետք է լինի [0, 3, 0, 4]-ի սահմաններում: Սա համապատասխանում է [0, 28, 0, 38] ինտերվալի սիմուլյացիաների 10%-ին պատահական փոփոխականի համար, որտեղ ցուցադրված է FX բաշխման ֆունկցիան: Նմանապես, պատահական թվերի մոտ 10%-ը պետք է լինի [0, 7, 0, 8] միջակայքում: Սա համապատասխանում է FX բաշխման ֆունկցիայի հետ պատահական փոփոխականի [0, 96, 1, 51] միջակայքի 10% սիմուլյացիաներին: Այս արժեքները x առանցքի վրա կարելի է ստանալ՝ վերցնելով հակադարձ FX-ից: Եթե X-ը իր տիրույթում ամենուր fX դրական խտությամբ շարունակական պատահական փոփոխական է, ապա բաշխման ֆունկցիան խիստ մեծանում է։ Այս դեպքում FX-ն ունի հակադարձ FX-1 ֆունկցիա, որը հայտնի է որպես քվական ֆունկցիա: FX (x) u միայն այն դեպքում, երբ x FX-1 (u): Հավանականության փոխակերպումը բխում է U=FX (X) պատահական փոփոխականի վերլուծությունից։
FX-ն ունի 0-ից 1 միջակայք: Այն չի կարող լինել 0-ից ցածր կամ 1-ից բարձր: U-ի արժեքների համար 0-ից 1-ի միջև: Եթե U-ն կարող է մոդելավորվել, ապա FX բաշխմամբ պատահական փոփոխականը պետք է լինի: մոդելավորված քվանտիլ ֆունկցիայի միջոցով: Վերցրեք ածանցյալը՝ տեսնելու, որ u խտությունը տատանվում է 1-ի սահմաններում: Քանի որ U պատահական փոփոխականը հաստատուն խտություն ունի իր հնարավոր արժեքների միջակայքում, այն կոչվում է միատեսակ [0, 1] միջակայքում: Այն մոդելավորվում է R-ում runif հրամանով։ Ինքնությունը կոչվում է հավանականական փոխակերպում: Դուք կարող եք տեսնել, թե ինչպես է այն աշխատում տեգերի տախտակի օրինակում: X 0-ի և 1-ի միջև, ֆունկցիաբաշխում u=FX (x)=x2, և հետևաբար քվանտիլ ֆունկցիան x=FX-1 (u): Հնարավոր է մոդելավորել տեգերի վահանակի կենտրոնից հեռավորության անկախ դիտարկումները և այդպիսով ստեղծել միատեսակ պատահական փոփոխականներ U1, U2, ։,, Un. Բաշխման ֆունկցիան և էմպիրիկ ֆունկցիան հիմնված են նետ տախտակի բաշխման 100 մոդելավորման վրա: Էքսպոնենցիալ պատահական փոփոխականի համար, ենթադրաբար, u=FX (x)=1 - exp (- x), և հետևաբար x=- 1 ln (1 - u): Երբեմն տրամաբանությունը բաղկացած է համարժեք հայտարարություններից: Այս դեպքում դուք պետք է միացնեք փաստարկի երկու մասերը: Խաչմերուկի ինքնությունը նման է բոլոր 2 {S i i} S-ի համար՝ որոշ արժեքի փոխարեն: Ci միությունը հավասար է S վիճակի տարածությանը և յուրաքանչյուր զույգ իրարամերժ է։ Քանի որ Bi - բաժանված է երեք աքսիոմների. Յուրաքանչյուր ստուգում հիմնված է համապատասխան հավանականության P. ցանկացած ենթաբազմության համար: Ինքնության օգտագործում՝ համոզվելու համար, որ պատասխանը կախված չէ նրանից, թե արդյոք ներառված են միջակայքի վերջնակետերը։
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան և դրա փոփոխականները
Բոլոր իրադարձությունների յուրաքանչյուր արդյունքի համար ի վերջո օգտագործվում է հավանականությունների շարունակականության երկրորդ հատկությունը, որը համարվում է աքսիոմատիկ: Այստեղ պատահական փոփոխականի ֆունկցիայի բաշխման օրենքը ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուրն ունի իր լուծումն ու պատասխանը։
