Երկրաչափության խնդիրներ լուծելու հնգանկյուն պրիզման շատ ավելի քիչ տարածված է, քան այնպիսի պրիզմաները, ինչպիսիք են եռանկյունը, քառանկյունը կամ վեցանկյունը: Այնուամենայնիվ, օգտակար է վերանայել այս ձևի հիմնական հատկությունները, ինչպես նաև սովորել, թե ինչպես նկարել այն:
Ի՞նչ է հնգանկյուն պրիզմա:
Սա եռաչափ պատկեր է, որի հիմքերը հնգանկյուններ են, իսկ կողմերը՝ զուգահեռներ։ Եթե այս զուգահեռականներից յուրաքանչյուրը ուղղահայաց է զուգահեռ հիմքերին, ապա այդպիսի պրիզման կոչվում է ուղղանկյուն։ Ուղղանկյուն հնգանկյուն պրիզմայի կողային մակերեսը կազմված է հինգ ուղղանկյուններից։ Ընդ որում, նրանցից յուրաքանչյուրի հիմքին հարող կողմը հավասար է հնգանկյան կողմի համապատասխան երկարությանը։
Եթե հնգանկյունը կանոնավոր է, այսինքն՝ նրա բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են միմյանց, ապա այդպիսի ուղղանկյուն պրիզմա կոչվում է կանոնավոր։ Հետագայում հոդվածում մենք կքննարկենք այս կոնկրետ գործչի հատկությունները:
Պրիզմայի տարրեր
Նրա համար, ինչպես ցանկացած պրիզմայի համար,բնորոշ են հետևյալ տարրերը՝
- դեմքերը կամ կողմերը հարթությունների մասեր են, որոնք կապում են պատկերը տարածության մեջ;
- գագաթներ - երեք կողմերի հատման կետեր;
- կողիկներ - նկարի երկու կողմերի հատման հատվածներ։
Բոլոր անվանված տարրերի թվերը միմյանց հետ կապված են հետևյալ հավասարությամբ.
Ծայրերի քանակը=գագաթների թիվը + երեսների քանակը - 2
Այս արտահայտությունը կոչվում է Էյլերի բանաձև պոլիէդրոնի համար:
Հինգանկյուն պրիզմայում կողմերի թիվը յոթն է (երկու հիմք + հինգ ուղղանկյուն): Պիկերի թիվը 10 է (յուրաքանչյուր հիմքի համար հինգը): Եզրերի թիվը այս դեպքում կլինի՝
Կողերի քանակը=10 + 7 - 2=15
Տասը եզրեր պատկանում են պրիզմայի հիմքերին, իսկ հինգ եզրեր կազմված են ուղղանկյուններից։
Ինչպե՞ս նկարել հնգանկյուն պրիզմա:
Այս հարցի պատասխանը կախված է կոնկրետ առաջադրանքից: Եթե անհրաժեշտ է գծել կամայական պրիզմա, ապա պետք է գծել ցանկացած հնգանկյուն։ Դրանից հետո հնգանկյան յուրաքանչյուր գագաթից գծեք հավասար երկարությամբ հինգ զուգահեռ հատված։ Այնուհետև միացրեք հատվածների վերին ծայրերը: Արդյունքը հնգանկյուն կամայական պրիզմա է։
Եթե անհրաժեշտ է գծել կանոնավոր պրիզմա, ապա առաջադրանքի ողջ բարդությունը հանգում է կանոնավոր հնգանկյուն ստանալուն: Այս բազմանկյունը նկարելու մի քանի եղանակ կա: Այստեղ մենք կքննարկենք միայն երկու ճանապարհ:
Առաջին ճանապարհը կողմնացույցով շրջան գծելն է: Այնուհետև գծվում է կամայական տրամագիծշրջանագիծը և հինգ անկյունները հաշվում են նրանից՝ օգտագործելով 72o(572o=360o): Յուրաքանչյուր անկյունը հաշվելիս շրջանագծի վրա խազ է արվում։ Ուղղանկյուն կառուցելու համար մնում է գծանշված խազերը միացնել ուղիղ հատվածներով։
Երկրորդ մեթոդը ներառում է միայն կողմնացույցի և քանոնի օգտագործումը: Այն ինչ-որ չափով բարդ է նախորդի համեմատ։ Ստորև ներկայացված է տեսանյութ, որը մանրամասնորեն բացատրում է այս կառուցման յուրաքանչյուր քայլը:
Նշեք, որ աստղի ծայրերը միացնելու դեպքում հեշտ է հնգանկյուն նկարել: Եթե անհրաժեշտ չէ գծել ճշգրիտ կանոնավոր հնգանկյուն, ապա կարող եք օգտագործել ձեռքով նկարված աստղի մեթոդը:
Հենց հնգանկյունը գծվում է, նրա յուրաքանչյուր գագաթից գծեք հինգ նույնական զուգահեռ հատվածներ և միացրեք դրանց գագաթները: Արդյունքը հնգանկյուն պրիզմա է։
Ձևի տարածք
Այժմ մտածեք, թե ինչպես գտնել հնգանկյուն պրիզմայի մակերեսը: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս դրա զարգացումը: Երևում է, որ պահանջվող տարածքը ձևավորվում է երկու նույնական հնգանկյուններով և միմյանց հավասար հինգ ուղղանկյուններով։
Նկարի ամբողջ մակերեսի մակերեսը արտահայտվում է բանաձևով՝
S=2So+ 5Sp
Այստեղ o և p ինդեքսները համապատասխանաբար նշանակում են հիմք և ուղղանկյուն: Հնգանկյան կողմի երկարությունը նշանակենք a, իսկ պատկերի բարձրությունը՝ h: Այնուհետև ուղղանկյունի համար գրում ենք՝
Sp=ah
Հնգանկյունի մակերեսը հաշվարկելու համար,օգտագործել համընդհանուր բանաձևը՝
S=n/4a2ctg(pi/n)
Որտեղ n-ն բազմանկյունի կողմերի թիվն է: Փոխարինելով n=5, մենք ստանում ենք՝
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Ստացված հավասարության ճշգրտությունը 3 տասնորդական տեղ է, որը լիովին բավարար է ցանկացած խնդիր լուծելու համար։
Այժմ մնում է գտնել հիմքի և կողային մակերեսի ստացված մակերեսների գումարը։ Մենք ունենք՝
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Պետք է հիշել, որ ստացված բանաձևը վավեր է միայն ուղղանկյուն պրիզմայի համար։ Թեք պատկերի դեպքում նրա կողային մակերևույթի մակերեսը հայտնաբերվում է կտրվածքի պարագծի իմացության հիման վրա, որը պետք է ուղղահայաց լինի բոլոր զուգահեռագծին:
Նկարի ծավալը
Հինգանկյուն պրիզմայի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը ոչնչով չի տարբերվում որևէ այլ պրիզմայի կամ մխոցի նմանատիպ արտահայտությունից: Նկարի ծավալը հավասար է նրա բարձրության և հիմքի մակերեսի արտադրյալին՝
V=Soh
Եթե խնդրո առարկա պրիզման ուղղանկյուն է, ապա դրա բարձրությունը ուղղանկյուններից կազմված եզրի երկարությունն է։ Կանոնավոր հնգանկյունի մակերեսը վերևում հաշվարկվել է բարձր ճշգրտությամբ: Փոխարինեք այս արժեքը ծավալի բանաձևով և ստացեք կանոնավոր հնգանկյուն պրիզմայի համար անհրաժեշտ արտահայտությունը՝
V=1, 72a2h
Այսպիսով, հաշվարկելով ծավալը և մակերեսըկանոնավոր հնգանկյուն պրիզմա հնարավոր է, եթե հայտնի են հիմքի կողմը և պատկերի բարձրությունը:
