Բացարձակ ցանկացած տարածական պատկեր ուսումնասիրելիս կարևոր է իմանալ, թե ինչպես հաշվարկել դրա ծավալը: Այս հոդվածը տալիս է կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալի բանաձևը, ինչպես նաև ցույց է տալիս, թե ինչպես պետք է օգտագործել այս բանաձևը՝ օգտագործելով խնդիրների լուծման օրինակ:
Ո՞ր բուրգի մասին է խոսքը։
Յուրաքանչյուր ավագ դպրոցի աշակերտ գիտի, որ բուրգը եռանկյուններից և բազմանկյուններից բաղկացած բազմանկյուն է: Վերջինս ֆիգուրայի հիմքն է։ Եռանկյունները հիմքի հետ ունեն մեկ ընդհանուր կողմ և հատվում են մեկ կետում, որը բուրգի գագաթն է։
Յուրաքանչյուր բուրգին բնորոշ է հիմքի կողմերի երկարությունը, կողային եզրերի երկարությունը և բարձրությունը: Վերջինս ուղղահայաց հատված է՝ նկարի վերևից իջեցված հիմքի վրա։
Կանոնավոր քառանկյուն բուրգը քառակուսի հիմքով պատկեր է, որի բարձրությունը հատում է այս քառակուսին իր կենտրոնում։ Թերևս այս տեսակի բուրգերի ամենահայտնի օրինակը հին եգիպտական քարե կառույցներն են: Ստորև ներկայացված է լուսանկարՔեոպսի բուրգեր.
Ուսումնասիրվող պատկերն ունի հինգ դեմք, որոնցից չորսը նույնական հավասարաչափ եռանկյուններ են: Այն նաև բնութագրվում է հինգ գագաթներով, որոնցից չորսը պատկանում են հիմքին, և ութ եզրեր (հիմքի 4 եզրեր և կողային երեսների 4 եզրեր):
Քառանկյուն բուրգի ծավալի բանաձևը ճիշտ է
Քննարկվող պատկերի ծավալը տարածության մի մասն է, որը սահմանափակված է հինգ կողմից: Այս ծավալը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք Szz բուրգի հիմքին զուգահեռ հատվածի հետևյալ կախվածությունը z՝ ուղղահայաց կոորդինատից՝
:
Sz=So (ժ - զ/ժ)2
Այստեղ So-ը քառակուսի հիմքի մակերեսն է: Եթե գրավոր արտահայտության մեջ փոխարինենք z=h, ապա Sz-ի համար կստանանք զրո արժեք: z-ի այս արժեքը համապատասխանում է մի հատվածի, որը կպարունակի միայն բուրգի գագաթը: Եթե z=0, ապա մենք ստանում ենք բազային տարածքի արժեքը So.
Հեշտ է գտնել բուրգի ծավալը, եթե գիտեք Sz(z ֆունկցիան), դրա համար բավական է թիվը կտրել անսահման թվով: շերտերը բազային զուգահեռ, այնուհետև իրականացնել ինտեգրման գործողությունը: Ես հետևում եմ այս տեխնիկային, ստանում ենք՝
V=∫0h(Sz)ձ=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0ժ.
Որովհետև S0 էքառակուսի հիմքի մակերեսը, այնուհետև, a տառով նշելով քառակուսի կողմը, ստանում ենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալի բանաձևը՝
V=1/3a2ժ.
Այժմ օգտագործենք խնդրի լուծման օրինակներ՝ ցույց տալու համար, թե ինչպես պետք է կիրառվի այս արտահայտությունը:
Բուրգի ծավալը որոշելու խնդիրը նրա ապոտեմի և կողային եզրի միջոցով
Բուրգի ապոտեմը նրա կողային եռանկյան բարձրությունն է, որն իջեցված է հիմքի կողմը: Քանի որ կանոնավոր բուրգում բոլոր եռանկյունները հավասար են, նրանց ապոտեմները նույնպես նույնը կլինեն: Նրա երկարությունը նշանակենք hb նշանով։ Կողքի եզրը նշեք b.
Իմանալով, որ բուրգի ապոտեմը 12 սմ է, իսկ կողային եզրը՝ 15 սմ, գտե՛ք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալը։
Նախորդ պարբերությունում գրված նկարի ծավալի բանաձևը պարունակում է երկու պարամետր՝ կողմի երկարությունը a և բարձրությունը h: Այս պահին մենք նրանցից ոչ մեկին չգիտենք, ուստի եկեք նայենք նրանց հաշվարկներին։
Ա քառակուսու կողմի երկարությունը հեշտ է հաշվարկել, եթե օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը ուղղանկյուն եռանկյունու համար, որտեղ հիպոթենուսը b եզրն է, իսկ ոտքերը՝ h ապոտեմը: b և a/2 հիմքի կողմի կեսը: Մենք ստանում ենք՝
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Փոխարինելով պայմանից հայտնի արժեքները՝ ստանում ենք a=18 սմ արժեքը։
Բուրգի h բարձրությունը հաշվարկելու համար կարող եք երկու բան անել՝ դիտարկեք ուղղանկյունեռանկյունի` հիպոթենուզա-կողային եզրով կամ հիպոթենուզա-ապոտեմով: Երկու մեթոդներն էլ հավասար են և ներառում են նույն թվով մաթեմատիկական գործողությունների կատարում: Եկեք անդրադառնանք եռանկյան դիտարկմանը, որտեղ հիպոթենուսը hb ապոտեմն է: Դրա մեջ ոտքերը կլինեն h և a / 2: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 սմ.
Այժմ կարող եք օգտագործել V ծավալի բանաձևը՝
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 սմ 3.
Այսպիսով, կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալը մոտավորապես 0,86 լիտր է։
Քեոպսի բուրգի ծավալը
Հիմա լուծենք հետաքրքիր և գործնականում կարևոր խնդիր՝ գտե՛ք Գիզայի ամենամեծ բուրգի ծավալը։ Գրականությունից հայտնի է, որ շենքի սկզբնական բարձրությունը եղել է 146,5 մետր, իսկ հիմքի երկարությունը՝ 230,363 մետր։ Այս թվերը մեզ թույլ են տալիս կիրառել V-ի բանաձևը: Մենք ստանում ենք՝
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 մ 3.
Ստացված արժեքը գրեթե 2,6 միլիոն մ3 է: Այս ծավալը համապատասխանում է խորանարդի ծավալին, որի կողմը 137,4 մետր է։
