Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը: Երկրաչափության հիմունքներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Ոտքերը և հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյան կողմերն են: Առաջինն այն հատվածներն են, որոնք կից են ուղիղ անկյան հետ, իսկ հիպոթենուսը նկարի ամենաերկար մասն է և գտնվում է անկյան հակառակ 90^o անկյան դիմաց: Պյութագորասյան եռանկյունին այն եռանկյունն է, որի կողմերը հավասար են բնական թվերի. դրանց երկարություններն այս դեպքում կոչվում են «Պյութագորասի եռյակ»:

Եգիպտական եռանկյուն

Որպեսզի ներկայիս սերունդը սովորի երկրաչափություն այն տեսքով, որով այն սովորեցնում են հիմա դպրոցում, այն զարգանում է արդեն մի քանի դար։ Հիմնական կետը Պյութագորասի թեորեմն է: Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը (նկարը հայտնի է ամբողջ աշխարհում) 3, 4, 5 են։

Քչերին ծանոթ չէ «Պյութագորասյան շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են» արտահայտությունը։ Այնուամենայնիվ, թեորեմն իրականում հնչում է այսպես. c² (հիպոթենուսի քառակուսին)=a²+b²(քառակուսիների ոտքերի գումարը).

Մաթեմատիկոսների մոտ 3, 4, 5 (սմ, մ և այլն) կողմերով եռանկյունին կոչվում է «եգիպտական»։Հետաքրքիր է, որ շրջանագծի շառավիղը, որը մակագրված է նկարում, հավասար է մեկի։ Անվանումն առաջացել է մոտավորապես մ.թ.ա 5-րդ դարում, երբ հույն փիլիսոփաները ճանապարհորդեցին Եգիպտոս։

Բուրգերը կառուցելիս ճարտարապետներն ու գեոդեզիստները օգտագործել են 3:4:5 հարաբերակցությունը: Նման կառույցները համաչափ են, աչքին հաճելի և ընդարձակ, ինչպես նաև հազվադեպ են փլուզվում։

Ուղիղ անկյուն կառուցելու համար շինարարներն օգտագործել են պարան, որի վրա 12 հանգույց են կապել։ Այս դեպքում ուղղանկյուն եռանկյունու կառուցման հավանականությունն աճել է մինչև 95%։

։

Հավասար թվերի նշաններ

• Ուղղանկյուն եռանկյան և մեծ կողմի սուր անկյունը, որոնք հավասար են երկրորդ եռանկյան նույն տարրերին, թվերի հավասարության անվիճելի նշան է։ Հաշվի առնելով անկյունների գումարը, հեշտ է ապացուցել, որ երկրորդ սուր անկյունները նույնպես հավասար են։ Այսպիսով, երկրորդ հատկանիշում եռանկյունները նույնական են։
• Երբ երկու պատկերներ դրվում են միմյանց վրա, պտտեք դրանք այնպես, որ նրանք միասին դառնան մեկ հավասարաչափ եռանկյուն: Ըստ իր հատկության՝ կողմերը, ավելի ճիշտ՝ հիպոթենուսները, հավասար են, ինչպես նաև հիմքի անկյունները, ինչը նշանակում է, որ այս թվերը նույնն են։

Առաջին նշանով շատ հեշտ է ապացուցել, որ եռանկյունները իսկապես հավասար են, գլխավորն այն է, որ երկու փոքր կողմերը (այսինքն՝ ոտքերը) հավասար են միմյանց։

Եռանկյունները նույնն են լինելու II հատկանիշում, որի էությունը ոտքի և սուր անկյան հավասարությունն է։

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններ

Աջ անկյան տակ իջեցված բարձրությունը պատկերը բաժանում է երկու հավասար մասերի:

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը և նրա միջնագիծը հեշտ է ճանաչել կանոնով. միջինը, որն իջեցված է մինչև հիպոթենուս, հավասար է դրա կեսին: Ֆիգուրի մակերեսը կարելի է գտնել ինչպես Հերոնի բանաձևով, այնպես էլ այն փաստարկով, որ այն հավասար է ոտքերի արտադրյալի կեսին:

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ՝ 30^o, 45^o և 60^{o անկյունների հատկությունները.}

• 30^o անկյան դեպքում հիշեք, որ հակառակ ոտքը հավասար կլինի ամենամեծ կողմի 1/2-ին:
• Եթե անկյունը 45^o է, ապա երկրորդ սուր անկյունը նույնպես 45^o է: Սա ենթադրում է, որ եռանկյունը հավասարաչափ է, իսկ ոտքերը՝ նույնը։
• 60^o անկյան հատկությունն այն է, որ երրորդ անկյան չափն ունի 30^o:

:

Տարածքը հեշտ է պարզել երեք բանաձևերից մեկով.

1. այն բարձրության և այն կողմի միջով, որի վրա այն ընկնում է;
2. համաձայն Հերոնի բանաձևի;
3. կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը։

Ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերը, ավելի ճիշտ՝ ոտքերը, միանում են երկու բարձրությամբ: Երրորդը գտնելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել ստացված եռանկյունը, ապա, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, հաշվարկել պահանջվող երկարությունը։ Բացի այս բանաձևից, կա նաև հիպոթենուսի տարածքի և երկարության կրկնակի հարաբերակցությունը: Ուսանողների շրջանում ամենատարածված արտահայտությունն առաջինն է, քանի որ այն պահանջում է ավելի քիչ հաշվարկներ։

Թեորեմները կիրառվում են ուղղանկյունի վրաեռանկյունի

Ուղղանկյուն եռանկյան երկրաչափությունը ներառում է այնպիսի թեորեմների օգտագործում, ինչպիսիք են՝

1. Պյութագորասի թեորեմ. Դրա էությունը կայանում է նրանում, որ հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին: Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ այս կապը առանցքային է: Դուք կարող եք օգտագործել բանաձեւը, եթե տրված է եռանկյուն, օրինակ, SNH: SN-ը հիպոթենուս է և պետք է գտնել: Այնուհետև SN²=NH²+HS².



2. Կոսինուսների թեորեմ. Ընդհանրացնում է Պյութագորասի թեորեմը՝ g²=f²+s²-2fscos նրանց միջև անկյան. Օրինակ, տրված է DOB եռանկյուն: Ոտքի DB-ն և DO հիպոթենուզը հայտնի են, անհրաժեշտ է գտնել OB: Այնուհետև բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը՝ OB²=DB²+DO²-2DBDO cos անկյուն D. Երեք հետևանք կա՝ եռանկյան անկյունը կլինի սուր, եթե երրորդի երկարության քառակուսին հանվի երկու կողմերի քառակուսիների գումարից, արդյունքը պետք է լինի զրոյից փոքր։ Անկյունը բութ է, եթե այս արտահայտությունը զրոյից մեծ է: Անկյունը ուղիղ անկյուն է, երբ հավասար է զրոյի:
3. Սինուսի թեորեմ. Այն ցույց է տալիս կողմերի հարաբերությունները հակառակ անկյունների հետ: Այսինքն՝ սա կողմերի երկարությունների հարաբերությունն է հակառակ անկյունների սինուսներին։ HFB եռանկյան մեջ, որտեղ հիպոթենուսը HF է, դա ճիշտ կլինի՝ HF/B անկյան sin=FB/H=HB/անկյան sin.