Բավականին հաճախ մաթեմատիկական գիտության մեջ կան մի շարք դժվարություններ և հարցեր, և պատասխաններից շատերը միշտ չէ, որ պարզ են: Բացառություն չէր այնպիսի թեմա, ինչպիսին է հավաքածուների կարդինալությունը: Իրականում սա ոչ այլ ինչ է, քան օբյեկտների քանակի թվային արտահայտություն: Ընդհանուր իմաստով բազմությունը աքսիոմ է, այն չունի սահմանում: Այն հիմնված է ցանկացած առարկայի, ավելի ճիշտ՝ դրանց բազմության վրա, որոնք կարող են լինել դատարկ, վերջավոր կամ անսահման: Բացի այդ, այն պարունակում է ամբողջ թվեր կամ բնական թվեր, մատրիցներ, հաջորդականություններ, հատվածներ և ուղիղներ։
Գոյություն ունեցող փոփոխականների մասին
Զուրկ կամ դատարկ բազմությունը առանց ներքին արժեքի համարվում է հիմնական տարր, քանի որ այն ենթաբազմություն է: Ոչ դատարկ բազմության բոլոր ենթաբազմությունների հավաքածուն բազմությունների բազմություն է։ Այսպիսով, տվյալ բազմության հզորության բազմությունը համարվում է շատ, պատկերացնելի, բայց միայնակ։ Այս բազմությունը կոչվում է S-ի հզորությունների բազմություն և նշվում է P-ով (S): Եթե S-ը պարունակում է N տարր, ապա P(S)-ը պարունակում է 2^n ենթաբազմություն, քանի որ P(S)-ի ենթաբազմությունը կա՛մ ∅ է, կա՛մ ենթաբազմություն, որը պարունակում է r տարրեր S-ից, r=1, 2, 3, … Կազմված է անսահման ամեն ինչից:M բազմությունը կոչվում է հզորության մեծություն և խորհրդանշականորեն նշվում է P-ով (M):
Բազմությունների տեսության տարրեր
Գիտելիքների այս ոլորտը մշակել է Ջորջ Կանտորը (1845-1918): Այսօր այն օգտագործվում է մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ճյուղերում և ծառայում է որպես դրա հիմնարար մաս։ Բազմությունների տեսության մեջ տարրերը ներկայացված են ցուցակի տեսքով և տրված են տիպերով (դատարկ բազմություն, եզակի, վերջավոր և անվերջ բազմություններ, հավասար և համարժեք, համընդհանուր), միություն, հատում, տարբերություն և թվերի գումարում։ Առօրյա կյանքում մենք հաճախ խոսում ենք այնպիսի առարկաների հավաքածուի մասին, ինչպիսիք են բանալիների փունջը, թռչունների երամը, քարտերի փաթեթը և այլն: Մաթեմատիկայի 5-րդ դասարանում և դրանից հետո կան բնական, ամբողջ, պարզ և կոմպոզիտային թվեր:
Հետևյալ հավաքածուները կարելի է համարել.
- բնական թվեր;
- այբուբենի տառեր;
- առաջնային հավանականություն;
- եռանկյուններ տարբեր կողմերով։
Կարելի է տեսնել, որ նշված օրինակները լավ սահմանված օբյեկտների հավաքածուներ են: Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ՝
- աշխարհի հինգ ամենահայտնի գիտնականները;
- յոթ գեղեցիկ աղջիկներ հասարակության մեջ;
- երեք լավագույն վիրաբույժ.
Այս կարդինալության օրինակները առարկաների հստակ սահմանված հավաքածուներ չեն, քանի որ «ամենահայտնի», «ամենագեղեցիկ», «լավագույն»-ի չափանիշները տարբերվում են անձից անձ:
Սեթ
Այս արժեքը տարբեր օբյեկտների լավ սահմանված թիվ է:Ենթադրելով, որ՝
- բառերի հավաքածուն հոմանիշ է, ագրեգատ, դաս և պարունակում է տարրեր;
- օբյեկտները, անդամները հավասար են;
- կոմպլեկտները սովորաբար նշվում են A, B, C մեծատառերով;
- հավաքածուի տարրերը ներկայացված են փոքր տառերով a, b, c:
Եթե «ա»-ն A բազմության տարրն է, ապա ասում են, որ «ա»-ն պատկանում է Ա-ին, «պատկանում է» արտահայտությունը նշանակենք հունարեն «∈» (էպսիլոն) գրանշանով: Այսպիսով, ստացվում է, որ a ∈ A: Եթե «b»-ն A-ին չպատկանող տարր է, ապա այն ներկայացված է որպես b ∉ A: 5-րդ դասարանի մաթեմատիկայի որոշ կարևոր բազմություններ ներկայացված են հետևյալ երեք մեթոդներով.
- դիմումներ;
- գրանցամատյաններ կամ աղյուսակային;
- կանոն կազմավորում ստեղծելու համար։
Ավելի մանրամասն ուսումնասիրության դեպքում դիմումի ձևը հիմնված է հետևյալի վրա. Այս դեպքում տրվում է հավաքածուի տարրերի հստակ նկարագրությունը։ Նրանք բոլորը փակված են գանգուր բրեկետներով: Օրինակ՝
- 7-ից փոքր կենտ թվերի հավաքածու - գրված է որպես {7-ից պակաս;
- 30-ից մեծ և 55-ից փոքր թվերի հավաքածու;
- դասարանի աշակերտների թիվը, որոնք կշռում են ուսուցիչից ավելի:
Ռեեստրի (աղյուսակի) ձևում բազմության տարրերը թվարկված են {} զույգ փակագծերում և բաժանվում են ստորակետերով։ Օրինակ՝
- Թող N-ը նշանակի առաջին հինգ բնական թվերի բազմությունը: Հետևաբար, N=→ գրանցման ձև
- Անգլերեն այբուբենի բոլոր ձայնավորների հավաքածու: Հետևաբար V={a, e, i, o, u, y} → գրանցման ձև
- Բոլոր կենտ թվերի բազմությունը փոքր է 9-ից: Հետևաբար, X={1, 3, 5, 7} → ձևգրանցամատյան
- Բոլոր տառերի հավաքածու «Math» բառում: Հետևաբար, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Գրանցման ձև
- W-ը տարվա վերջին չորս ամիսների բազմությունն է։ Հետևաբար, W={սեպտեմբեր, հոկտեմբեր, նոյեմբեր, դեկտեմբեր} → գրանցամատյան։
Նշեք, որ տարրերի թվարկած հերթականությունը նշանակություն չունի, բայց դրանք չպետք է կրկնվեն: Կառուցման հաստատված ձևը, տվյալ դեպքում կանոնը, բանաձևը կամ օպերատորը գրվում է զույգ փակագծերում, որպեսզի հավաքածուն ճիշտ սահմանվի։ Կոմպլեկտների ստեղծման ձևի մեջ բոլոր տարրերը պետք է ունենան նույն հատկությունը, որպեսզի դառնան տվյալ արժեքի անդամ:
Բազմության ներկայացման այս ձևում բազմության տարրը նկարագրվում է «x» նիշով կամ որևէ այլ փոփոխականով, որին հաջորդում է երկու կետ («:» կամ «|» օգտագործվում է նշելու համար): Օրինակ, թող P-ը լինի 12-ից մեծ հաշվելի թվերի բազմությունը: P-ն բազմություն-կառուցող ձևով գրվում է որպես - {հաշվելի թիվ և 12-ից մեծ}: Այն կկարդա որոշակի ձևով: Այսինքն, «P-ն այնպիսի x տարրերի բազմություն է, որ x-ը հաշվելի է և մեծ է 12-ից»:
Լուծված օրինակ՝ օգտագործելով բազմությունների ներկայացման երեք մեթոդներ. ամբողջ թվերի թիվը -2-ից 3-ի միջև: Ստորև բերված են բազմությունների տարբեր տեսակների օրինակներ.
- Դատարկ կամ զրոյական բազմություն, որը չի պարունակում որևէ տարր և նշվում է ∅ նշանով և կարդացվում է որպես phi: Ցանկի տեսքով ∅-ը գրված է {}: Վերջավոր բազմությունը դատարկ է, քանի որ տարրերի թիվը 0 է: Օրինակ, ամբողջ թվերի բազմությունը փոքր է 0-ից:
- Ակնհայտ է, որ չպետք է լինի <0: Հետևաբար, սադատարկ հավաքածու։
- Միայն մեկ փոփոխական պարունակող բազմությունը կոչվում է սինգլտոնային բազմություն: Ոչ պարզ է, ոչ բարդ:
Վերջնական բազմություն
Որոշակի թվով տարրեր պարունակող բազմությունը կոչվում է վերջավոր կամ անսահման բազմություն։ Դատարկը վերաբերում է առաջինին: Օրինակ՝ ծիածանի բոլոր գույների հավաքածուն։
Անսահմանությունը հավաքածու է: Դրա մեջ եղած տարրերը հնարավոր չէ թվարկել։ Այսինքն՝ նմանատիպ փոփոխականներ պարունակելը կոչվում է անսահման բազմություն։ Օրինակներ՝
- հարթության բոլոր կետերի բազմության հզորությունը;
- բոլոր պարզ թվերի հավաքածու։
Բայց դուք պետք է հասկանաք, որ բազմության միավորման բոլոր կարդինալությունները չեն կարող արտահայտվել ցուցակի տեսքով: Օրինակ՝ իրական թվերը, քանի որ դրանց տարրերը չեն համապատասխանում որևէ որոշակի օրինաչափության։
Բազմության հիմնական թիվը տարբեր տարրերի քանակն է տվյալ մեծության A-ում: Այն նշվում է n (A):
Օրինակ՝
- A {x: x ∈ N, x <5}: A={1, 2, 3, 4}: Հետևաբար, n (A)=4.
- B=Հանրահաշիվ բառի տառերի հավաքածու:
Համարժեք հավաքածուներ բազմությունների համեմատության համար
A և B բազմության երկու կարդինալություններ այդպիսին են, եթե դրանց հիմնական թիվը նույնն է: Համարժեք բազմության խորհրդանիշն է «↔»: Օրինակ՝ A ↔ B.
Հավասար բազմություններ. A և B բազմությունների երկու կարդինալություն, եթե դրանք պարունակում են նույն տարրերը: A-ից յուրաքանչյուր գործակից B-ից փոփոխական է, իսկ B-ից յուրաքանչյուրը A-ի նշված արժեքն է:Հետևաբար, A=B: Կարդինալության միությունների տարբեր տեսակները և դրանց սահմանումները բացատրվում են՝ օգտագործելով ներկայացված օրինակները:
Սահմանության և անսահմանության էություն
Որո՞նք են տարբերությունները վերջավոր բազմության և անվերջ բազմության կարդինալության միջև:
Առաջին արժեքը ունի հետևյալ անունը, եթե այն կամ դատարկ է կամ ունի վերջավոր թվով տարրեր: Վերջավոր բազմությունում փոփոխականը կարող է նշվել, եթե այն ունի սահմանափակ քանակ: Օրինակ՝ օգտագործելով 1, 2, 3 բնական թիվը: Եվ ցուցակագրման գործընթացը ավարտվում է որոշ N-ով: S վերջավոր բազմության մեջ հաշվված տարբեր տարրերի թիվը նշանակվում է n-ով (S): Այն նաև կոչվում է կարգ կամ կարդինալ։ Խորհրդանշականորեն նշվում է ստանդարտ սկզբունքով: Այսպիսով, եթե S բազմությունը ռուսերեն այբուբենն է, ապա այն պարունակում է 33 տարր։ Կարևոր է նաև հիշել, որ տարրը հավաքածուում մեկից ավելի անգամ չի հանդիպում:
Անսահման բազմություն
Բազմությունը կոչվում է անսահման, եթե տարրերը հնարավոր չէ թվարկել: Եթե այն ունի անսահմանափակ (այսինքն՝ անհաշվելի) բնական թիվ 1, 2, 3, 4 ցանկացած n-ի համար։ Այն բազմությունը, որը վերջավոր չէ, կոչվում է անսահման: Այժմ մենք կարող ենք քննարկել դիտարկվող թվային արժեքների օրինակներ: Վերջնական արժեքի ընտրանքներ՝
- Թող Q={25-ից փոքր բնական թվեր: Այնուհետև Q-ն վերջավոր բազմություն է և n (P)=24:
- Թող R={ամբողջ թվեր 5-ի և 45-ի միջև: Այնուհետև R-ը վերջավոր բազմություն է և n (R)=38։
- Թող S={թվերի մոդուլ 9}: Այնուհետև S={-9, 9}-ը վերջավոր բազմություն է և n (S)=2։
- Բոլոր մարդկանց հավաքածու։
- Բոլոր թռչունների թիվը։
Անսահման օրինակներ.
- հարթության վրա գոյություն ունեցող կետերի քանակը;
- գծի հատվածի բոլոր կետերի թիվը;
- 3-ի բաժանվող դրական ամբողջ թվերի բազմությունը անվերջ է;
- բոլոր ամբողջ և բնական թվերը։
Այսպիսով, վերը նշված պատճառաբանությունից պարզ է դառնում, թե ինչպես կարելի է տարբերակել վերջավոր և անվերջ բազմությունները:
Շարունակական հավաքածուի հզորություն
Եթե համեմատենք բազմությունը և առկա այլ արժեքները, ապա բազմությանը կցվում է հավելում: Եթե ξ-ը ունիվերսալ է, իսկ A-ն ξ-ի ենթաբազմություն է, ապա A-ի լրացումը ξ-ի բոլոր տարրերի թիվն է, որոնք A-ի տարրեր չեն: Խորհրդանշականորեն, A-ի լրացումը ξ-ի նկատմամբ A' է: Օրինակ, 2, 4, 5, 6-ը ξ-ի միակ տարրերն են, որոնք չեն պատկանում A-ին: Հետևաբար, A'={2, 4, 5, 6}
Կարդինալության շարունակականությամբ հավաքածուն ունի հետևյալ հատկանիշները՝
Համընդհանուր մեծության
Օրինակ՝
- Թող բնական թվերի թիվը լինի համընդհանուր բազմություն, իսկ A-ն՝ զույգ: Այնուհետև A '{x: x-ը նույն թվանշաններով կենտ բազմություն է}:
- Թող ξ=այբուբենի տառերի հավաքածու: A=բաղաձայնների բազմություն: Այնուհետև A '=ձայնավորների թիվը։
- Համընդհանուր բազմության լրացումը դատարկ մեծությունն է: Կարելի է նշանակել ξ. Այնուհետեւ ξ '=Այն տարրերի բազմությունը, որոնք ներառված չեն ξ-ում։ Ֆ դատարկ բազմությունը գրվում և նշվում է: Հետեւաբար ξ=φ. Այսպիսով, ունիվերսալ բազմության լրացումը դատարկ է:
Մաթեմատիկայում «շարունակությունը» երբեմն օգտագործվում է իրական գիծը ներկայացնելու համար: Իսկ ավելի ընդհանուր առմամբ, նմանատիպ օբյեկտներ նկարագրելու համար՝
- շարունակություն (բազմությունների տեսության մեջ) - իրական տող կամ համապատասխան կարդինալ թիվ;
- գծային - ցանկացած դասավորված հավաքածու, որը կիսում է իրական գծի որոշակի հատկություններ;
- շարունակություն (տոպոլոգիայում) - ոչ դատարկ կոմպակտ միացված մետրային տարածություն (երբեմն Hausdorff);
- հիպոթեզ, որ ոչ մի անսահման բազմություն մեծ չէ ամբողջ թվերից, բայց փոքր է իրական թվերից;
- շարունակության հզորությունը հիմնական թիվ է, որը ներկայացնում է իրական թվերի բազմության չափը:
Ըստ էության, շարունակականություն (չափում), տեսություններ կամ մոդելներ, որոնք բացատրում են աստիճանական անցումները մի վիճակից մյուսը՝ առանց որևէ կտրուկ փոփոխության:
Միության և հատման խնդիրներ
Հայտնի է, որ երկու կամ ավելի բազմությունների խաչմերուկը այն թիվն է, որը պարունակում է բոլոր տարրերը, որոնք ընդհանուր են այս արժեքներում։ Բազմությունների վրա բառային առաջադրանքները լուծվում են բազմությունների միավորման և հատման հատկությունների օգտագործման վերաբերյալ հիմնական գաղափարներ ստանալու համար: Լուծեց բառերի հիմնական խնդիրներըհավաքածուներն այսպիսի տեսք ունեն՝
Թող A և B լինեն երկու վերջավոր բազմություններ: Դրանք այնպիսին են, որ n (A)=20, n (B)=28 և n (A ∪ B)=36, գտնել n (A ∩ B):
Հարաբերություններ հավաքածուներում՝ օգտագործելով Վենի դիագրամը.
- Երկու բազմությունների միությունը կարող է ներկայացվել ստվերավորված տարածքով, որը ներկայացնում է A ∪ B: A ∪ B, երբ A-ն և B-ն անջատված բազմություններ են:
- Երկու բազմությունների խաչմերուկը կարելի է ներկայացնել Վենի դիագրամով։ A ∩ B ներկայացնող ստվերավորված տարածքով.
- Երկու բազմությունների միջև տարբերությունը կարելի է ներկայացնել Վենի դիագրամներով: A - B-ը ներկայացնող ստվերավորված տարածքով։
- Երեք բազմությունների միջև փոխհարաբերություններ՝ օգտագործելով Վենի դիագրամը: Եթե ξ-ը ներկայացնում է համընդհանուր մեծություն, ապա A, B, C երեք ենթաբազմություն են։ Այստեղ բոլոր երեք հավաքածուները համընկնում են:
Հավաքածուի տեղեկատվության ամփոփում
Կոմպլեկտի կարդինալությունը սահմանվում է որպես հավաքածուի առանձին տարրերի ընդհանուր թիվը: Իսկ վերջին նշված արժեքը նկարագրվում է որպես բոլոր ենթաբազմությունների քանակ: Նման հարցերն ուսումնասիրելիս պահանջվում են մեթոդներ, մեթոդներ և լուծումներ։ Այսպիսով, հավաքածուի կարդինալության համար հետևյալ օրինակները կարող են ծառայել որպես՝
Թող A={0, 1, 2, 3}| |=4, որտեղ | Ա | ներկայացնում է A բազմության կարդինալությունը.
Այժմ կարող եք գտնել ձեր էներգիայի փաթեթը: Դա նույնպես բավականին պարզ է: Ինչպես արդեն ասվեց, հզորության հավաքածուն սահմանվում է տվյալ թվի բոլոր ենթաբազմություններից: Այսպիսով, պետք է հիմնականում սահմանել A-ի բոլոր փոփոխականները, տարրերը և այլ արժեքները,որոնք են {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}։
Այժմ հաշվարկեք P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} որն ունի 16 տարր: Այսպիսով, բազմության կարդինալությունը A=16: Ակնհայտ է, որ սա հոգնեցուցիչ և ծանր մեթոդ է այս խնդրի լուծման համար: Այնուամենայնիվ, կա մի պարզ բանաձև, որով ուղղակիորեն կարող եք իմանալ տվյալ թվի հզորության հավաքածուի տարրերի քանակը: | Պ |=2 ^ N, որտեղ N-ը որոշ A-ի տարրերի թիվն է: Այս բանաձևը կարելի է ստանալ պարզ կոմբինատորիկայի միջոցով: Այսպիսով, հարցը 2^11 է, քանի որ A բազմության տարրերի թիվը 11 է։
Այսպիսով, բազմությունը ցանկացած թվային արտահայտված մեծություն է, որը կարող է լինել ցանկացած հնարավոր օբյեկտ: Օրինակ՝ մեքենաներ, մարդիկ, թվեր։ Մաթեմատիկական իմաստով այս հասկացությունն ավելի լայն է և ընդհանրացված: Եթե սկզբնական փուլերում դասավորվում են թվերն ու դրանց լուծման տարբերակները, ապա միջին և բարձր փուլերում պայմաններն ու առաջադրանքները բարդանում են։ Փաստորեն, բազմության միավորման կարդինալությունը որոշվում է օբյեկտի պատկանելությամբ որևէ խմբի: Այսինքն՝ մեկ տարրը պատկանում է դասին, բայց ունի մեկ կամ մի քանի փոփոխական։
