Սիմվոլիկ տրամաբանությունը գիտության այն ճյուղն է, որն ուսումնասիրում է դատողության ճիշտ ձևերը։ Այն հիմնարար դեր է խաղում փիլիսոփայության, մաթեմատիկայի և համակարգչային գիտության մեջ: Ինչպես փիլիսոփայությունն ու մաթեմատիկան, այնպես էլ տրամաբանությունը հին արմատներ ունի: Ճիշտ դատողությունների բնույթի մասին ամենավաղ տրակտատները գրվել են ավելի քան 2000 տարի առաջ: Հին Հունաստանի ամենահայտնի փիլիսոփաներից ոմանք գրել են պահպանման բնույթի մասին ավելի քան 2300 տարի առաջ: Հին չինացի մտածողները մոտավորապես նույն ժամանակ գրում էին տրամաբանական պարադոքսների մասին: Չնայած նրա արմատները վաղուց են գալիս, տրամաբանությունը դեռևս ուսումնասիրության աշխույժ ոլորտ է:
Մաթեմատիկական սիմվոլիկ տրամաբանություն
Դուք նաև պետք է կարողանաք հասկանալ և տրամաբանել, այդ իսկ պատճառով հատուկ ուշադրություն էր դարձվում տրամաբանական եզրակացություններին, երբ չկար կյանքի տարբեր ոլորտներ վերլուծելու և ախտորոշելու հատուկ սարքավորում: Ժամանակակից խորհրդանշական տրամաբանությունն առաջացել է հույն մեծ փիլիսոփա և բոլոր ժամանակների ամենաազդեցիկ մտածողներից մեկի՝ Արիստոտելի (Ք.ա. 384-322 թթ.) աշխատությունից։ Հետագա հաջողություններ եղանհույն ստոիկ փիլիսոփա Քրիսիպպոսի կողմից, ով մշակել է այն, ինչ մենք այժմ անվանում ենք առաջարկական տրամաբանություն։
Մաթեմատիկական կամ խորհրդանշական տրամաբանությունը ակտիվ զարգացում ստացավ միայն 19-րդ դարում։ Հայտնվեցին Բուլի, դե Մորգանի, Շրյոդերի աշխատությունները, որոնցում գիտնականները հանրահաշիվ են արել Արիստոտելի ուսմունքները՝ դրանով իսկ հիմք հանդիսանալով առաջարկական հաշվարկի համար։ Դրան հաջորդեց Ֆրեգեի և Պրեսեի աշխատանքը, որտեղ ներկայացվեցին փոփոխականներ և քանակական հասկացություններ, որոնք սկսեցին կիրառվել տրամաբանության մեջ։ Այսպես ձևավորվեց պրեդիկատների հաշվարկը՝ առարկայի վերաբերյալ պնդումները։
Տրամաբանությունը ենթադրում էր անվիճելի փաստերի ապացույց, երբ չկար ճշմարտության ուղղակի հաստատում։ Տրամաբանական արտահայտությունները պետք է համոզեին զրուցակցին ճշմարտության մեջ։
Տրամաբանական բանաձևերը կառուցվել են մաթեմատիկական ապացույցի սկզբունքով։ Այսպիսով նրանք համոզեցին զրուցակիցներին ճշգրտության և հուսալիության մեջ։
Սակայն բոլոր տեսակի փաստարկները գրված էին բառերով։ Չկային ֆորմալ մեխանիզմներ, որոնք կստեղծեին տրամաբանական նվազեցման հաշվարկ: Մարդիկ սկսեցին կասկածել, թե արդյոք գիտնականը թաքնվում է մաթեմատիկական հաշվարկների հետևում, դրանց հետևում թաքցնելով իր ենթադրությունների անհեթեթությունը, քանի որ յուրաքանչյուրը կարող է իր փաստարկները ներկայացնել այլ օգտին։
Իմաստության ծնունդ. ամուր տրամաբանությունը մաթեմատիկայի մեջ՝ որպես ճշմարտության ապացույց
18-րդ դարի վերջում մաթեմատիկական կամ խորհրդանշական տրամաբանությունը ի հայտ եկավ որպես գիտություն, որը ներառում էր եզրակացությունների ճշտության ուսումնասիրության գործընթացը։ Դրանք պետք է ունենային տրամաբանական ավարտ ու կապ։ Բայց ինչպես էր դա ապացուցելութե՞ հիմնավորել հետազոտության տվյալները:
Գերմանացի մեծ փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Գոթֆրիդ Լայբնիցն առաջիններից մեկն էր, ով հասկացավ տրամաբանական փաստարկների պաշտոնականացման անհրաժեշտությունը: Դա Լայբնիցի երազանքն էր. ստեղծել գիտության համընդհանուր պաշտոնական լեզու, որը բոլոր փիլիսոփայական վեճերը կվերածեր պարզ հաշվարկի, վերամշակելով այս լեզվով նման քննարկումների պատճառաբանությունները: Մաթեմատիկական կամ խորհրդանշական տրամաբանությունը ի հայտ եկավ բանաձևերի տեսքով, որոնք հեշտացնում էին փիլիսոփայական հարցերի առաջադրանքները և լուծումները։ Այո, և գիտության այս ոլորտը դարձավ ավելի նշանակալից, քանի որ հետո անիմաստ փիլիսոփայական խոսակցությունները դարձան այն հատակը, որի վրա հենվում է հենց մաթեմատիկան::
Մեր ժամանակներում ավանդական տրամաբանությունը խորհրդանշական արիստոտելյան է, որը պարզ է և ոչ հավակնոտ: 19-րդ դարում գիտությունը բախվեց բազմությունների պարադոքսի հետ, ինչը անհամապատասխանությունների տեղիք տվեց Արիստոտելի տրամաբանական հաջորդականությունների այդ շատ հայտնի լուծումներում։ Այս խնդիրը պետք է լուծվեր, քանի որ գիտության մեջ նույնիսկ մակերեսային սխալներ չեն կարող լինել։
Լյուիս Քերոլի ձևականությունը՝ խորհրդանշական տրամաբանությունը և դրա փոխակերպման քայլերը
Ֆորմալ տրամաբանությունն այժմ առարկա է, որը ներառված է դասընթացի մեջ: Սակայն այն իր տեսքին է պարտական խորհրդանշականին, նրան, որ ի սկզբանե ստեղծվել է։ Սիմվոլիկ տրամաբանությունը տրամաբանական արտահայտությունները ներկայացնելու մեթոդ է՝ օգտագործելով խորհրդանիշներ և փոփոխականներ, այլ ոչ թե սովորական լեզու: Սա վերացնում է անորոշությունը, որն ուղեկցում է սովորական լեզուներին, ինչպիսին ռուսերենն է, և հեշտացնում է գործը:
Կան խորհրդանշական տրամաբանության բազմաթիվ համակարգեր, ինչպիսիք են՝
- Դասական առաջարկ.
- Առաջին կարգի տրամաբանություն.
- Մոդալ.
Սիմվոլիկ տրամաբանությունը, ինչպես հասկանում է Լյուիս Քերոլը, պետք է ցույց տա տրված հարցի ճիշտ և կեղծ պնդումները: Յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ առանձին նիշեր կամ բացառել որոշակի նիշերի օգտագործումը: Ահա մի քանի պնդումների օրինակներ, որոնք փակում են եզրակացությունների տրամաբանական շղթան.
- Բոլոր մարդիկ, ովքեր ինձ հետ նույնական են, գոյություն ունեցող էակներ են:
- Բոլոր հերոսները, որոնք նույնական են Բեթմենին, գոյություն ունեցող արարածներ են:
- Այսպիսով (քանի որ Բեթմենն ու ես երբեք չենք տեսել նույն տեղում), ինձ հետ նույնական մարդիկ նույնական հերոսներ են, ինչ Բեթմենը:
Սա վավերական ձևի սիլլոգիզմ չէ, բայց այն նույն կառուցվածքն է, ինչ հետևյալը.
- Բոլոր շները կաթնասուններ են։
- Բոլոր կատուները կաթնասուններ են։
- Ահա թե ինչու բոլոր շները կատուներ են։
Ակնհայտ է, որ վերը նշված խորհրդանշական ձևը տրամաբանության մեջ վավեր չէ։ Սակայն տրամաբանության մեջ արդարությունը սահմանվում է այս արտահայտությամբ՝ եթե նախադրյալը ճշմարիտ լիներ, ապա եզրակացությունը ճիշտ կլիներ։ Սա ակնհայտորեն ճիշտ չէ: Նույնը կլինի հերոսի օրինակի դեպքում, որն ունի նույն ձևը։ Վավերությունը վերաբերում է միայն դեդուկտիվ փաստարկներին, որոնք կոչված են հաստատելու իրենց եզրակացությունը, քանի որ դեդուկտիվ փաստարկը չի կարող վավեր լինել: Այս «ուղղումները» կիրառվում են նաև վիճակագրության մեջ, երբ առկա է տվյալների սխալի հետևանք, և ժամանակակից սիմվոլիկ տրամաբանությունը.պարզեցված տվյալների ձևականությունն օգնում է այս հարցերից շատերին:
Ինդուկցիան ժամանակակից տրամաբանության մեջ
Ինդուկցիոն փաստարկը նախատեսված է միայն ցույց տալու իր եզրակացությունը մեծ հավանականությամբ կամ հերքումով: Ինդուկտիվ փաստարկները կամ ուժեղ են կամ թույլ:
Որպես ինդուկտիվ փաստարկ, սուպերհերոս Բեթմենի օրինակը պարզապես թույլ է: Բեթմենի գոյությունը կասկածելի է, ուստի հայտարարություններից մեկն արդեն իսկ սխալ է մեծ հավանականությամբ։ Չնայած նրան երբեք չեք տեսել մեկ ուրիշի հետ նույն տեղում, սակայն ծիծաղելի է այս արտահայտությունը որպես ապացույց ընդունելը։ Տրամաբանության էությունը հասկանալու համար պատկերացրեք՝
- Քեզ երբեք չեն տեսել նույն տեղում, ինչ բնիկ Գվինեայի բնակիչը:
- Անհավանական է, որ դուք և գվինեացին նույն մարդն եք:
- Այժմ պատկերացրեք, որ դուք և մի աֆրիկացի երբեք չեք հանդիպել նույն տեղում: Հավանական չէ, որ դուք և աֆրիկացին նույն մարդն եք: Բայց Գվինեայի և Աֆրիկայի միջև ճանապարհները խաչվեցին, այնպես որ դուք չեք կարող միաժամանակ երկուսն էլ լինել: Ապացույցները, որ դուք աֆրիկացի կամ գվինեացի եք, զգալիորեն նվազել են:
Այս տեսանկյունից, սիմվոլիկ տրամաբանության գաղափարը չի ենթադրում ապրիորի կապ մաթեմատիկայի հետ: Տրամաբանությունը որպես խորհրդանիշ ճանաչելու համար անհրաժեշտ է միայն սիմվոլների լայնածավալ օգտագործումը՝ տրամաբանական գործողություններ ներկայացնելու համար:
Քերոլի տրամաբանական տեսությունը. խճճվածություն կամ մինիմալիզմ մաթեմատիկական փիլիսոփայության մեջ
Քերոլը սովորեց մի քանի անսովոր եղանակներինչը նրան ստիպել է լուծել իր գործընկերների առջեւ ծառացած բավականին բարդ խնդիրները։ Սա խանգարեց նրան զգալի առաջընթացի հասնելու տրամաբանական նշումների և համակարգերի բարդության պատճառով, որոնք նա ստացել էր իր աշխատանքի արդյունքում: Քերոլի սիմվոլիկ տրամաբանության պատճառը վերացման խնդիրն է։ Ինչպե՞ս կարելի է եզրակացություն անել մի շարք նախադրյալներից՝ կապված տվյալ տերմինների միջև փոխհարաբերությունների հետ: «միջին պայմանների» վերացում.
Տասնինիններորդ դարի կեսերին տրամաբանության այս կենտրոնական խնդիրը լուծելու համար էր, որ հայտնագործվեցին խորհրդանշական, գծապատկերային և նույնիսկ մեխանիկական սարքեր: Սակայն նման «տրամաբանական հաջորդականությունների» մշակման Քերոլի մեթոդները (ինչպես ինքն էր դրանք անվանում) միշտ չէ, որ ճիշտ լուծում էին տալիս։ Հետագայում փիլիսոփան հրապարակեց երկու հոդված վարկածների վերաբերյալ, որոնք արտացոլված են «Միտք» ամսագրում՝ «Տրամաբանական պարադոքս» (1894) և «Ինչ ասաց կրիան Աքիլեսին» (1895)::
Այս աշխատությունները լայնորեն քննարկվել են տասնիններորդ և քսաներորդ դարերի տրամաբանների կողմից (Փիրս, Ռասել, Ռայլ, Պրայոր, Քուայն և այլն): Առաջին հոդվածը հաճախ նշվում է որպես նյութական ենթատեքստային պարադոքսների լավ պատկերացում, մինչդեռ երկրորդը հանգեցնում է նրան, ինչը հայտնի է որպես եզրակացության պարադոքս:
Սիմվոլների պարզությունը տրամաբանության մեջ
Տրամաբանության խորհրդանշական լեզուն փոխարինում է երկար երկիմաստ նախադասություններին: Հարմար է, քանի որ ռուսերենում կարելի է նույն բանն ասել տարբեր հանգամանքների մասին, ինչը թույլ կտա շփոթվել, իսկ մաթեմատիկայում սիմվոլները կփոխարինեն յուրաքանչյուր իմաստի նույնականացմանը։
- Առաջին հերթին, հակիրճությունը կարևոր է արդյունավետության համար:Խորհրդանշական տրամաբանությունը չի կարող անել առանց նշանների և նշանակումների, այլապես այն կմնար միայն փիլիսոփայական, առանց ճշմարիտ իմաստի իրավունքի։
- Երկրորդ, սիմվոլները հեշտացնում են տրամաբանական ճշմարտությունները տեսնելն ու ձևակերպելը: 1-ին և 2-րդ կետերը խրախուսում են տրամաբանական բանաձևերի «հանրահաշվական» շահարկումը:
- Երրորդ, երբ տրամաբանությունն արտահայտում է տրամաբանական ճշմարտություններ, խորհրդանշական ձևակերպումը խրախուսում է տրամաբանության կառուցվածքի ուսումնասիրությունը: Սա կապված է նախորդ կետի հետ։ Այսպիսով, սիմվոլիկ տրամաբանությունը իրեն տրվում է տրամաբանության մաթեմատիկական ուսումնասիրությանը, որը մաթեմատիկական տրամաբանության առարկայի ճյուղ է։
- Չորրորդ, պատասխանը կրկնելիս սիմվոլների օգտագործումն օգնում է կանխել սովորական լեզվի անորոշությունը (օրինակ՝ բազմակի նշանակությունը): Այն նաև օգնում է համոզվել, որ իմաստը եզակի է:
Վերջապես, տրամաբանության խորհրդանշական լեզուն թույլ է տալիս պրեդիկատների հաշվարկը, որը ներկայացրել է Ֆրեգեն: Տարիների ընթացքում պրեդիկատի հաշվարկի խորհրդանշական նշումը կատարելագործվել և ավելի արդյունավետ է դարձել, քանի որ լավ նշումը կարևոր է մաթեմատիկայի և տրամաբանության մեջ:
Արիստոտելի հնության գոյաբանությունը
Գիտնականները սկսեցին հետաքրքրվել մտածողի աշխատանքով, երբ սկսեցին օգտագործել Սլինինի մեթոդներն իրենց մեկնաբանությունների մեջ։ Գրքում ներկայացված են դասական և մոդալ տրամաբանության տեսություններ։ Հայեցակարգի կարևոր մասը CNF-ի կրճատումն էր առաջարկության տրամաբանության բանաձևի խորհրդանշական տրամաբանության մեջ: Հապավումը նշանակում է փոփոխականների միացում կամ անջատում։
Սլինին Յա. Ա.-ն առաջարկեց, որ բարդ ժխտումները, որոնք պահանջում են բանաձևերի կրկնակի կրճատում, պետք է վերածվեն ենթաբանաձևի: Այսպիսով, նա որոշ արժեքներ փոխակերպեց ավելի նվազագույնի և խնդիրներ լուծեց կրճատ տարբերակով։ Բացասականների հետ աշխատելը վերածվեց դե Մորգանի բանաձեւերի։ Օրենքները, որոնք կրում են Դե Մորգանի անունը, զույգ հարակից թեորեմներ են, որոնք հնարավորություն են տալիս հայտարարություններն ու բանաձևերը վերածել այլընտրանքային և հաճախ ավելի հարմարի։ Օրենքները հետևյալն են՝
- Դիջյունցիայի ժխտումը (կամ անհամապատասխանությունը) հավասար է այլընտրանքների ժխտման միությանը. p-ն կամ q-ն հավասար չէ p-ին և ոչ q-ին կամ խորհրդանշականորեն ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q:
- Շաղկապի ժխտումը հավասար է սկզբնական շաղկապների ժխտման դիսյունկցիային, այսինքն՝ ոչ (p և q) հավասար չէ ոչ p-ին կամ ոչ q, կամ խորհրդանշականորեն ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~ ք.
Այս նախնական տվյալների շնորհիվ շատ մաթեմատիկոսներ սկսեցին բանաձևեր կիրառել բարդ տրամաբանական խնդիրներ լուծելու համար: Շատերը գիտեն, որ կա դասախոսությունների դասընթաց, որտեղ ուսումնասիրվում է ֆունկցիաների հատման տարածքը: Իսկ մատրիցային մեկնաբանությունը նույնպես հիմնված է տրամաբանական բանաձևերի վրա։ Ո՞րն է տրամաբանության էությունը հանրահաշվական կապի մեջ: Սա մակարդակի գծային ֆունկցիա է, երբ կարելի է թվերի և փիլիսոփայության գիտությունը դնել նույն ամանի վրա՝ որպես պատճառաբանության «անհոգի» և ոչ եկամտաբեր տարածք: Թեև Է. Կանտը այլ կերպ էր մտածում՝ լինելով մաթեմատիկոս և փիլիսոփա։ Նա նշեց, որ փիլիսոփայությունը ոչինչ է, քանի դեռ հակառակն ապացուցված չէ։ Իսկ ապացույցները պետք է լինեն գիտականորեն հիմնավորված։ Եվ այնպես եղավ, որ փիլիսոփայությունը սկսեց նշանակություն ունենալ շնորհիվհամընկնում է թվերի և հաշվարկների իրական բնույթի հետ։
Տրամաբանության կիրառումը գիտության մեջ և իրականության նյութական աշխարհում
Փիլիսոփաները սովորաբար չեն կիրառում տրամաբանական դատողությունների գիտությունը միայն ինչ-որ հավակնոտ հետդիպլոմային ծրագրի համար (սովորաբար բարձր աստիճանի մասնագիտացումով, օրինակ՝ ավելացնելով սոցիալական գիտությանը, հոգեբանությանը կամ էթիկական դասակարգմանը): Պարադոքսալ է, որ փիլիսոփայական գիտությունը «ծնեց» ճշմարտության և կեղծիքի հաշվարկման մեթոդը, բայց իրենք՝ փիլիսոփաները, չեն կիրառում այն։ Այսպիսով, ո՞ւմ համար են ստեղծվում և փոխակերպվում այդքան հստակ մաթեմատիկական սիլլոգիզմները:
- Ծրագրավորողները և ինժեներները օգտագործել են խորհրդանշական տրամաբանությունը (որն այնքան էլ չի տարբերվում բնօրինակից) համակարգչային ծրագրերի և նույնիսկ դիզայնի տախտակների ներդրման համար:
- Համակարգիչների դեպքում տրամաբանությունը բավական բարդ է դարձել բազմաթիվ ֆունկցիաների կանչեր կատարելու, ինչպես նաև մաթեմատիկան առաջ մղելու և մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու համար: Դրա մեծ մասը հիմնված է մաթեմատիկական խնդիրների լուծման և հավանականության իմացության վրա՝ համակցված վերացման, ընդլայնման և կրճատելիության տրամաբանական կանոնների հետ:
- Համակարգչային լեզուները չեն կարող հեշտությամբ հասկանալ, որ տրամաբանորեն աշխատեն մաթեմատիկայի իմացության սահմաններում և նույնիսկ կատարեն հատուկ գործառույթներ: Համակարգչային լեզվի մեծ մասը հավանաբար արտոնագրված է կամ հասկանալի է միայն համակարգիչների կողմից: Ծրագրավորողները այժմ հաճախ թույլ են տալիս համակարգիչներին կատարել տրամաբանական առաջադրանքներ և լուծել դրանք:
Նման նախադրյալների ընթացքում շատ գիտնականներ ենթադրում են առաջադեմ նյութի ստեղծում ոչ թե հանուն գիտության, այլլրատվամիջոցների և տեխնոլոգիաների օգտագործման հեշտությունը. Թերևս շուտով տրամաբանությունը կներթափանցի տնտեսության, բիզնեսի և նույնիսկ «երկդեմքի» քվանտի ոլորտները, որն իրեն և՛ ատոմի, և՛ ալիքի պես է պահում։
Քվանտային տրամաբանությունը մաթեմատիկական վերլուծության ժամանակակից պրակտիկայում
Քվանտային տրամաբանությունը (QL) մշակվել է որպես առաջարկային կառուցվածք ստեղծելու փորձ, որը թույլ կտա նկարագրել հետաքրքիր իրադարձություններ քվանտային մեխանիկայի (QM): QL-ն փոխարինեց բուլյան կառուցվածքը, որը բավարար չէր ատոմային տիրույթը ներկայացնելու համար, թեև այն հարմար է դասական ֆիզիկայի դիսկուրսի համար:
Դասական համակարգերի մասին դրույթային լեզվի մաթեմատիկական կառուցվածքը հզորությունների մի ամբողջություն է, որը մասամբ դասավորված է ներառման բազմության կողմից, զույգ գործողություններով, որոնք ներկայացնում են միությունը և դիսյունկցիան:
Այս հանրահաշիվը համահունչ է ինչպես դասական, այնպես էլ հարաբերական երևույթների դիսկուրսին, բայց անհամատեղելի է մի տեսության մեջ, որն արգելում է, օրինակ, միաժամանակ ճշմարտության արժեքներ տալ: QL-ի հիմնադիր հայրերի առաջարկը ստեղծվել է դասական տրամաբանության բուլյան կառուցվածքը փոխարինելու ավելի թույլ կառուցվածքով, որը կթուլացնի կապի և դիսյունկցիայի բաշխիչ հատկությունները:
Հաստատված սիմվոլիկ ներթափանցման թուլացում. արդյոք ճշմարտությունն իսկապես անհրաժեշտ է մաթեմատիկայում որպես ճշգրիտ գիտություն
Իր զարգացման ընթացքում քվանտային տրամաբանությունը սկսեց վերաբերել ոչ միայն ավանդական, այլև ժամանակակից հետազոտության մի քանի ոլորտների, որոնք փորձում էին հասկանալ մեխանիկա տրամաբանական տեսանկյունից: Բազմաթիվքվանտային մոտեցումներ՝ քվանտային մեխանիկայի գրականության մեջ քննարկված տարբեր ռազմավարություններ և խնդիրներ ներկայացնելու համար: Հնարավորության դեպքում ավելորդ բանաձևերը վերացվում են, որպեսզի հասկացությունները ինտուիտիվ ըմբռնեն նախքան համապատասխան մաթեմատիկան ձեռք բերելը կամ ներմուծելը:
Քվանտային մեխանիկայի մեկնաբանության բազմամյա հարցն այն է, թե արդյոք հասանելի են քվանտային մեխանիկական երևույթների հիմնարար դասական բացատրությունները: Քվանտային տրամաբանությունը մեծ դեր է խաղացել այս քննարկման ձևավորման և ճշգրտման գործում՝ մասնավորապես թույլ տալով մեզ բավականին ճշգրիտ լինել այն մասին, թե ինչ նկատի ունենք դասական բացատրություն ասելով: Այժմ կարելի է ճշգրտությամբ հաստատել, թե որ տեսությունները կարելի է վստահելի համարել, և որոնք են մաթեմատիկական դատողությունների տրամաբանական եզրակացությունը։
