Այսօրվա աշխարհում մենք ավելի ու ավելի ենք օգտագործում տարբեր մեքենաներ և գաջեթներ: Եվ ոչ միայն այն դեպքում, երբ անհրաժեշտ է բառացիորեն անմարդկային ուժ կիրառել՝ բեռը տեղափոխել, բարձրացնել այն բարձրության վրա, փորել երկար ու խորը խրամատ և այլն: Այսօր մեքենաները հավաքում են ռոբոտները, սնունդը պատրաստում են մուլտիօջախներով, իսկ տարրական թվաբանական հաշվարկները՝ իրականացվում է հաշվիչներով: Ավելի ու ավելի հաճախ ենք լսում «Բուլյան հանրահաշիվ» արտահայտությունը։ Երևի ժամանակն է հասկանալու մարդու դերը ռոբոտների ստեղծման գործում և մեքենաների կարողությունը լուծելու ոչ միայն մաթեմատիկական, այլև տրամաբանական խնդիրներ։
Տրամաբանություն
Հունարենից թարգմանված տրամաբանությունը մտածողության կարգավորված համակարգ է, որը հարաբերություններ է ստեղծում տվյալ պայմանների միջև և թույլ է տալիս եզրակացություններ անել՝ հիմնվելով նախադրյալների և ենթադրությունների վրա: Հաճախ մենք իրար հարցնում ենք. «Տրամաբանակա՞ն է»: Ստացված պատասխանը հաստատում է մեր ենթադրությունները կամ քննադատում մտքի գնացքը։ Բայց գործընթացը կանգ չի առնում. մենք շարունակում ենք տրամաբանել։
Երբեմն պայմանների թիվն (ներածական) այնքան մեծ է, և նրանց միջև փոխհարաբերություններն այնքան խճճված ու բարդ են, որ մարդու ուղեղը չի կարողանում ամեն ինչ միանգամից «մարսել»: Կարող է պահանջվել մեկ ամսից ավելի (շաբաթ, տարի) հասկանալու համար, թե ինչ է կատարվում: ԲայցԺամանակակից կյանքը մեզ որոշումներ կայացնելու համար նման ժամանակային ընդմիջումներ չի տալիս։ Իսկ մենք դիմում ենք համակարգիչների օգնությանը։ Եվ այստեղ է հայտնվում տրամաբանության հանրահաշիվը՝ իր օրենքներով ու հատկություններով։ Ներբեռնելով բոլոր նախնական տվյալները՝ մենք թույլ ենք տալիս համակարգչին ճանաչել բոլոր հարաբերությունները, վերացնել հակասությունները և գտնել բավարար լուծում։
Մաթեմատիկա և տրամաբանություն
Հանրահայտ Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը ձևակերպեց «մաթեմատիկական տրամաբանություն» հասկացությունը, որի խնդիրները հասկանալի էին միայն գիտնականների նեղ շրջանակի համար։ Այս ուղղությունը առանձնակի հետաքրքրություն չառաջացրեց, և մինչև 19-րդ դարի կեսերը քչերը գիտեին մաթեմատիկական տրամաբանության մասին։
Գիտական հանրության նկատմամբ մեծ հետաքրքրությունը վեճ առաջացրեց, որտեղ անգլիացի Ջորջ Բուլը հայտարարեց մաթեմատիկայի մի ճյուղ ստեղծելու իր մտադրության մասին, որը բացարձակապես գործնական կիրառություն չունի: Ինչպես հիշում ենք պատմությունից, այդ ժամանակ ակտիվորեն զարգանում էր արդյունաբերական արտադրությունը, մշակվում էին բոլոր տեսակի օժանդակ մեքենաներն ու հաստոցները, այսինքն՝ բոլոր գիտական հայտնագործությունները գործնական ուղղվածություն ունեին։
Առաջ նայելով, ասենք, որ Բուլյան հանրահաշիվը ժամանակակից աշխարհում մաթեմատիկայի ամենաօգտագործվող մասն է: Այսպիսով, Բուլը կորցրեց իր փաստարկը:
Ջորջ Բուլ
Հեղինակի անհատականությունը հատուկ ուշադրության է արժանի։ Նույնիսկ հաշվի առնելով, որ նախկինում մարդիկ մեզնից առաջ են մեծացել, դեռևս անհնար է չնկատել, որ 16 տարեկանում Ջ. Մաթեմատիկոսը վարժ տիրապետում էր հինգ օտար լեզուների, իսկ ազատ ժամանակ կարդում էր ստեղծագործություններՆյուտոն և Լագրանժ. Եվ այս ամենը պարզ բանվորի որդու մասին է։
1839 թվականին Բուլն առաջին անգամ ներկայացրեց իր գիտական աշխատանքները Քեմբրիջի մաթեմատիկական ամսագրին: Գիտնականը 24 տարեկան է։ Բուլի աշխատանքն այնքան հետաքրքրեց Թագավորական ընկերության անդամներին, որ 1844 թվականին նա մեդալ ստացավ մաթեմատիկական վերլուծության զարգացման գործում ունեցած ավանդի համար։ Հրապարակված ևս մի քանի աշխատություններ, որոնք նկարագրում էին մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերը, երիտասարդ մաթեմատիկոսին թույլ տվեցին զբաղեցնել Քորք շրջանի քոլեջի պրոֆեսորի պաշտոնը։ Հիշեք, որ Բուլն ինքը կրթություն չուներ։
Գաղափար
Սկզբունքորեն Բուլյան հանրահաշիվը շատ պարզ է: Կան պնդումներ (տրամաբանական արտահայտություններ), որոնք մաթեմատիկայի տեսանկյունից կարելի է սահմանել միայն երկու բառով՝ «ճշմարիտ» կամ «կեղծ»։ Օրինակ՝ գարնանը ծառերը ծաղկում են՝ ճիշտ է, ամռանը ձյուն է գալիս՝ սուտ է։ Այս մաթեմատիկայի գեղեցկությունն այն է, որ միայն թվեր օգտագործելու խիստ անհրաժեշտություն չկա: Ցանկացած միանշանակ նշանակություն ունեցող հայտարարություն միանգամայն հարմար է դատողությունների հանրահաշիվին:
Այսպիսով, տրամաբանության հանրահաշիվը կարող է օգտագործվել բառացիորեն ամենուր՝ հրահանգներ պլանավորելիս և գրելիս, իրադարձությունների մասին հակասական տեղեկություններ վերլուծելիս և գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս: Ամենակարևորը հասկանալն է, որ բոլորովին կարևոր չէ, թե ինչպես ենք մենք որոշում հայտարարության ճշմարտացիությունը կամ կեղծը։ Այս «ինչպես»-երն ու «ինչու»-ները պետք է վերացվեն: Միայն փաստի հայտարարությունն է կարևոր՝ ճշմարիտ-սխալ:
Իհարկե, ծրագրավորման համար կարևոր են տրամաբանության հանրահաշվի ֆունկցիաները, որոնք գրված են համապատասխան.նշաններ և խորհրդանիշներ. Իսկ սովորել դրանք նշանակում է տիրապետել նոր օտար լեզվի։ Անհնարին ոչինչ չկա։
Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ
Առանց խորանալու՝ անդրադառնանք տերմինաբանությանը։ Այսպիսով, Բուլյան հանրահաշիվը ենթադրում է.
- հայտարարություններ;
- տրամաբանական գործողություններ;
- գործառույթներ և օրենքներ։
Հայտարարությունները ցանկացած հաստատական արտահայտություն են, որոնք չեն կարող երկիմաստ մեկնաբանվել: Դրանք գրված են որպես թվեր (5 > 3) կամ ձևակերպված են ծանոթ բառերով (փիղը ամենամեծ կաթնասունն է)։ Միևնույն ժամանակ, «ընձուղտը վիզ չունի» արտահայտությունը նույնպես իրավունք ունի գոյության, միայն Բուլյան հանրահաշիվը այն կսահմանի որպես «կեղծ»:
Բոլոր պնդումները պետք է լինեն միանշանակ, բայց դրանք կարող են լինել տարրական և բարդ: Վերջիններս օգտագործում են տրամաբանական կապեր։ Այսինքն՝ դատողությունների հանրահաշիվում բաղադրյալ պնդումները կազմվում են տարրական դրույթներ ավելացնելով տրամաբանական գործողությունների միջոցով։
Բուլյան հանրահաշվի գործողություններ
Մենք արդեն հիշում ենք, որ դատողությունների հանրահաշիվում գործողությունները տրամաբանական են: Ինչպես թվերի հանրահաշիվն օգտագործում է թվաբանությունը՝ թվեր ավելացնելու, հանելու կամ համեմատելու համար, այնպես էլ մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերը թույլ են տալիս բարդ հայտարարություններ անել, ժխտել կամ հաշվարկել վերջնական արդյունքը:
Պաշտոնականացման և պարզության տրամաբանական գործողությունները գրվում են թվաբանության մեջ մեզ ծանոթ բանաձևերով: Բուլյան հանրահաշվի հատկությունները հնարավորություն են տալիս գրել հավասարումներ և հաշվարկել անհայտները։ Տրամաբանական գործողությունները սովորաբար գրվում են ճշմարտության աղյուսակի միջոցով: Նրա սյուներըսահմանել հաշվարկի տարրերը և դրանց վրա կատարվող գործողությունը, իսկ տողերը ցույց են տալիս հաշվարկի արդյունքը։
Հիմնական տրամաբանական գործողություններ
Բուլյան հանրահաշիվում ամենատարածված գործողություններն են ժխտումը (NOT) և տրամաբանական AND և OR: Դատողությունների հանրահաշիվում գրեթե բոլոր գործողությունները կարելի է նկարագրել այսպես. Եկեք ավելի մանրամասն ուսումնասիրենք երեք գործողություններից յուրաքանչյուրը։
Ժխտումը (ոչ) վերաբերում է միայն մեկ տարրի (օպերանդի): Հետևաբար, ժխտման գործողությունը կոչվում է միանման: «Ոչ A» հասկացությունը գրելու համար օգտագործեք հետևյալ նշանները՝ ¬A, A¯¯¯ կամ !A: Աղյուսակային տեսքով այն ունի հետևյալ տեսքը՝
Բացասական ֆունկցիան բնութագրվում է հետևյալ հայտարարությամբ. եթե A-ն ճիշտ է, ապա B-ն կեղծ է: Օրինակ, Լուսինը պտտվում է Երկրի շուրջը - ճիշտ է; Երկիրը պտտվում է լուսնի շուրջը՝ կեղծ։
Տրամաբանական բազմապատկում և գումարում
Տրամաբանական AND-ը կոչվում է կապի գործողություն: Ինչ է դա նշանակում? Նախ, որ այն կարող է կիրառվել երկու օպերանդների վրա, այսինքն և երկուական գործողություն է: Երկրորդ, որ միայն երկու օպերանդների ճշմարտացիության դեպքում է (և A, և B) արտահայտությունն ինքնին ճշմարիտ է։ «Համբերությունն ու աշխատանքը ամեն ինչ կփշրեն» ասացվածքը հուշում է, որ միայն երկու գործոններն էլ կօգնեն մարդուն հաղթահարել դժվարությունները։
Գրելու համար օգտագործվող խորհրդանիշներ՝ A∧B, A⋅B կամ A&&B:
Կապը թվաբանության մեջ նման է բազմապատկմանը: Երբեմն ասում են՝ տրամաբանական բազմապատկում։ Եթե աղյուսակի տարրերը բազմապատկենք տող առ տող, ապա կստանանք տրամաբանական հիմնավորման նման արդյունք։
Disjunction-ը տրամաբանական ԿԱՄ գործողություն է: Դա պահանջում է ճշմարտության արժեքըերբ պնդումներից առնվազն մեկը ճշմարիտ է (կամ A կամ B): Գրված է այսպես՝ A∨B, A+B կամ A||B. Այս գործողությունների համար ճշմարտության աղյուսակներն են՝
Դիսյունկցիան նման է թվաբանական գումարման: Տրամաբանական գումարման գործողությունը միայն մեկ սահմանափակում ունի՝ 1+1=1։ Բայց մենք հիշում ենք, որ թվային ձևաչափով մաթեմատիկական տրամաբանությունը սահմանափակվում է 0-ով և 1-ով (որտեղ 1-ը ճիշտ է, 0-ը՝ կեղծ): Օրինակ, «թանգարանում դուք կարող եք տեսնել գլուխգործոց կամ հանդիպել հետաքրքիր զրուցակցի» արտահայտությունը նշանակում է, որ դուք կարող եք տեսնել արվեստի գործեր, կամ կարող եք հանդիպել հետաքրքիր մարդու: Միևնույն ժամանակ, չի բացառվում, որ երկու իրադարձությունները միաժամանակ տեղի ունենան։
Գործառույթներ և օրենքներ
Այսպիսով, մենք արդեն գիտենք, թե ինչ տրամաբանական գործողություններ է օգտագործում Բուլյան հանրահաշիվը: Ֆունկցիաները նկարագրում են մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերի բոլոր հատկությունները և թույլ են տալիս պարզեցնել խնդիրների բարդ բարդ պայմանները: Ամենահասկանալի և պարզ հատկությունը թվում է, որ ածանցյալ գործողությունների մերժումն է: Ածանցյալները բացառիկ ԿԱՄ են, ենթատեքստ և համարժեքություն: Քանի որ մենք ուսումնասիրել ենք միայն հիմնական գործողությունները, մենք կդիտարկենք նաև միայն դրանց հատկությունները։
Ասոցիատիվությունը նշանակում է, որ «և A, և B, և C» արտահայտություններում օպերանդների հերթականությունը նշանակություն չունի: Բանաձևը գրված է այսպես՝
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Ինչպես տեսնում եք, սա բնորոշ է ոչ միայն շաղկապին, այլ նաև դիսյունկցիային։
Կոմուտատիվությունը նշում է, որ արդյունքըկապը կամ անջատումը կախված չէ նրանից, թե որ տարրն է առաջինը դիտարկվել:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Բաշխվածությունը թույլ է տալիս ընդլայնել փակագծերը բարդ տրամաբանական արտահայտություններում: Կանոնները նման են հանրահաշվում բազմապատկման և գումարման փակագծերի բացմանը.
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Մեկի և զրոյի հատկությունները, որոնք կարող են լինել օպերանդներից մեկը, նույնպես նման են հանրահաշվական բազմապատկմանը զրոյով կամ մեկով և գումարմանը մեկով:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Իդեմպոտենցիան մեզ ասում է, որ եթե երկու հավասար օպերանդների դեպքում գործողության արդյունքը նման է, ապա մենք կարող ենք «դեն նետել» դատողությունների ընթացքը բարդացնող լրացուցիչ օպերանդները: Ե՛վ շաղկապը, և՛ անջատումը անիմաստ գործողություններ են:
B∧B=B; B∨B=B.
Կլանումը նաև թույլ է տալիս մեզ պարզեցնել հավասարումները: Կլանումը նշանակում է, որ երբ նույն տարրով մեկ այլ գործողություն կիրառվում է մեկ օպերանդով արտահայտության վրա, արդյունքը կլանող գործողության օպերանդն է:
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Գործողությունների հաջորդականություն
Գործողությունների հաջորդականությունը փոքր նշանակություն չունի։ Փաստորեն, ինչ վերաբերում է հանրահաշիվին, ապա կա բուլյան հանրահաշվի գործառույթների առաջնահերթություն: Բանաձևերը կարելի է պարզեցնել միայն այն դեպքում, եթե դիտարկվի գործողությունների նշանակությունը։ Դասակարգվելով ամենակարևորից մինչև նվազագույնը՝ մենք ստանում ենք հետևյալ հաջորդականությունը՝
1. Մերժում.
2. Կապակցում.
3. Անջատում, բացառիկԿԱՄ.
4. Եզրակացություն, համարժեքություն։
Ինչպես տեսնում եք, միայն ժխտումն ու կապը հավասար գերակայություն չունեն: Եվ դիզյունցիայի և XOR-ի առաջնահերթությունը հավասար են, ինչպես նաև ենթատեքստի և համարժեքության առաջնահերթությունները:
Արդյունք և համարժեք գործառույթներ
Ինչպես արդեն ասացինք, հիմնական տրամաբանական գործողություններից բացի, մաթեմատիկական տրամաբանությունը և ալգորիթմների տեսությունը օգտագործում են ածանցյալներ։ Առավել հաճախ օգտագործվում են ենթատեքստը և համարժեքությունը:
Արդյունքը կամ տրամաբանական հետևանքը հայտարարություն է, որտեղ մի գործողությունը պայման է, իսկ մյուսը՝ դրա իրականացման հետևանք։ Այլ կերպ ասած, սա նախադասություն է «եթե … ապա» նախադասություններով: «Եթե սիրում եք ձիավարել, սիրեք սահնակներ կրել»: Այսինքն, դահուկներով սահելու համար անհրաժեշտ է սահնակը սահնակով սեղմել բլրի վրա: Եթե սարից իջնելու ցանկություն չկա, ապա պետք չէ սահնակը կրել: Գրված է այսպես՝ A→B կամ A⇒B։
Համաարժեքությունը ենթադրում է, որ արդյունքում գործողությունը տեղի է ունենում միայն այն դեպքում, երբ երկու օպերանդներն էլ ճշմարիտ են: Օրինակ, գիշերը վերածվում է ցերեկային, երբ (և միայն երբ) արևը բարձրանում է հորիզոնից: Մաթեմատիկական տրամաբանության լեզվով այս պնդումը գրված է հետևյալ կերպ՝ A≡B, A⇔B, A==B.
Բուլյան հանրահաշվի այլ օրենքներ
Դատողությունների հանրահաշիվը զարգանում է, և շատ հետաքրքրված գիտնականներ նոր օրենքներ են ձևակերպել: Ամենահայտնին համարվում են շոտլանդացի մաթեմատիկոս Օ.դե Մորգանի պոստուլատները։ Նա նկատել և սահմանել է այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են սերտ ժխտումը, լրացումը և կրկնակի ժխտումը:
Փակ ժխտումը նշանակում է, որ փակագծից առաջ ժխտում չկա.ոչ (A կամ B)=ոչ A կամ NOT B:
Երբ օպերանդը ժխտվում է, անկախ դրա արժեքից, խոսվում է լրացման մասին:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Եվ վերջապես, կրկնակի ժխտումը փոխհատուցում է ինքն իրեն։ Նրանք. կամ ժխտումը անհետանում է օպերանդից առաջ, կամ մնում է միայն մեկը:
Ինչպես լուծել թեստեր
Մաթեմատիկական տրամաբանությունը ենթադրում է տրված հավասարումների պարզեցում։ Ինչպես հանրահաշիվում, դուք նախ պետք է հնարավորինս հեշտացնեք պայմանը (ազատվեք դրանցով բարդ մուտքագրումներից և գործողություններից), այնուհետև սկսեք փնտրել ճիշտ պատասխանը:
Ի՞նչ կարելի է անել պարզեցնելու համար: Բոլոր ստացված գործողությունները փոխարկեք պարզի: Այնուհետև բացեք բոլոր փակագծերը (կամ հակառակը, հանեք այն փակագծերից՝ այս տարրը կրճատելու համար): Հաջորդ քայլը պետք է լինի Բուլյան հանրահաշվի հատկությունների գործնական կիրառումը (կլանում, զրոյի և մեկի հատկությունները և այլն):
Ի վերջո, հավասարումը պետք է բաղկացած լինի պարզ գործողություններով համակցված անհայտների նվազագույն քանակից: Լուծում գտնելու ամենադյուրին ճանապարհը մեծ թվով մոտ բացասականների հասնելն է: Այնուհետև պատասխանը կհայտնվի, կարծես ինքնին:
