Մատրիցներ. Գաուսի մեթոդ: Գաուսի մատրիցայի հաշվարկ. Օրինակներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Գծային հանրահաշիվը, որը դասավանդվում է համալսարաններում տարբեր մասնագիտությունների գծով, միավորում է բազմաթիվ բարդ թեմաներ։ Դրանցից մի քանիսը կապված են մատրիցների, ինչպես նաև Գաուսի և Գաուս-Հորդանանի մեթոդներով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման հետ։ Ոչ բոլոր ուսանողներին է հաջողվում հասկանալ այս թեմաները, տարբեր խնդիրների լուծման ալգորիթմները։ Եկեք միասին հասկանանք Գաուսի և Գաուս-Հորդանանի մատրիցներն ու մեթոդները։

Հիմնական հասկացություններ

Գծային հանրահաշիվում մատրիցը տարրերի ուղղանկյուն զանգված է (աղյուսակ): Ստորև բերված են փակագծերում փակցված տարրերի հավաքածուներ: Սրանք մատրիցներ են: Վերոնշյալ օրինակից երևում է, որ ուղղանկյուն զանգվածների տարրերը միայն թվեր չեն։ Մատրիցը կարող է բաղկացած լինել մաթեմատիկական ֆունկցիաներից, հանրահաշվական նշաններից։

Որոշ հասկացություններ հասկանալու համար a_ij տարրերից կազմենք A մատրիցա: Ինդեքսները պարզապես տառեր չեն. i-ն աղյուսակի տողի թիվն է, իսկ j-ն այն սյունակի թիվն է, որի հատման տարածքում գտնվում է տարրը։a_ij. Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ մենք ունենք այնպիսի տարրերի մատրիցա, ինչպիսիք են a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ և այլն: n տառը ցույց է տալիս սյունակների քանակը, իսկ m տառը նշանակում է տողերի քանակը: m × n նշանը նշանակում է մատրիցայի չափը։ Սա այն հայեցակարգն է, որը սահմանում է տողերի և սյունակների քանակը տարրերի ուղղանկյուն զանգվածում:

Ըստ ցանկության, մատրիցը պետք է ունենա մի քանի սյունակ և տող: 1 × n չափսերով տարրերի զանգվածը մեկ տող է, իսկ m × 1 չափսով՝ միասյուն զանգված։ Երբ տողերի թիվը և սյունակների թիվը հավասար են, մատրիցը կոչվում է քառակուսի: Յուրաքանչյուր քառակուսի մատրիցա ունի որոշիչ (det A): Այս տերմինը վերաբերում է թվին, որը վերագրված է A մատրիցին:

Մատրիցները հաջողությամբ լուծելու համար պետք է հիշել ևս մի քանի կարևոր հասկացություն՝ հիմնական և երկրորդական անկյունագծերը: Մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը այն անկյունագիծն է, որը վերևի ձախ անկյունից իջնում է սեղանի աջ անկյուն: Կողքի անկյունագիծը ներքևից գնում է դեպի աջ անկյուն՝ ձախ անկյունից վերև։

Քայլային մատրիցային դիտում

Նայեք ստորև ներկայացված նկարին: Դրա վրա կտեսնեք մատրիցա և դիագրամ: Եկեք նախ զբաղվենք մատրիցով: Գծային հանրահաշիվում նման մատրիցը կոչվում է քայլային մատրիցա։ Այն ունի մեկ հատկություն. եթե a_ij-ը i-րդ շարքի առաջին ոչ զրոյական տարրն է, ապա բոլոր մյուս տարրերը մատրիցից ներքևում և a_{ij-ից ձախ:} , զրոյական են (այսինքն՝ բոլոր այն տարրերը, որոնց կարող է տրվել a_kl, որտեղ k>i ևl<j).

Այժմ դիտարկեք դիագրամը: Այն արտացոլում է մատրիցայի աստիճանական ձևը: Սխեման ցույց է տալիս 3 տեսակի բջիջներ. Յուրաքանչյուր տեսակ նշանակում է որոշակի տարրեր.

• դատարկ բջիջներ - մատրիցայի զրոյական տարրեր;
• ստվերավորված բջիջները կամայական տարրեր են, որոնք կարող են լինել և՛ զրո, և՛ ոչ զրոյական;
• սև քառակուսիները ոչ զրոյական տարրեր են, որոնք կոչվում են անկյունային տարրեր, «քայլեր» (դրանց կողքին ցուցադրված մատրիցայում այդպիսի տարրեր են –1, 5, 3, 8 թվերը):

Մատրիցներ լուծելիս երբեմն արդյունքն այն է, որ քայլի «երկարությունը» 1-ից մեծ է: Սա թույլատրվում է: Կարեւոր է միայն քայլերի «բարձրությունը»։ Քայլ մատրիցում այս պարամետրը միշտ պետք է հավասար լինի մեկի:

Մատրիցայի կրճատում դեպի քայլ ձև

Ցանկացած ուղղանկյուն մատրիցա կարող է փոխարկվել աստիճանավոր ձևի: Դա արվում է տարրական փոխակերպումների միջոցով։ Դրանք ներառում են՝

• տողերի վերադասավորում;
• Մեկ տողին ևս մեկ տող ավելացնել՝ անհրաժեշտության դեպքում բազմապատկելով որոշ թվով (կարող եք նաև կատարել հանման գործողություն):

Եկեք դիտարկենք տարրական փոխակերպումները կոնկրետ խնդրի լուծման ժամանակ: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս A մատրիցը, որը պետք է վերածվի աստիճանական ձևի:

Խնդիրը լուծելու համար մենք կհետևենք ալգորիթմին.

• Հարմար է մատրիցով փոխակերպումներ կատարելվերևի ձախ անկյունում գտնվող առաջին տարրը (այսինքն, «առաջատար» տարրը) 1 կամ -1 է: Մեր դեպքում վերևի տողում առաջին տարրը 2-ն է, ուստի եկեք փոխենք առաջին և երկրորդ տողերը:
• Եկեք կատարենք հանման գործողություններ՝ ազդելով 2-րդ, 3-րդ և 4-րդ տողերի վրա: Առաջին սյունակում մենք պետք է զրոներ ստանանք «առաջատար» տարրի տակ: Այս արդյունքին հասնելու համար՝ թիվ 2 տողի տարրերից մենք հաջորդաբար հանում ենք թիվ 1 տողի տարրերը՝ 2-ով բազմապատկված; Թիվ 3 տողի տարրերից հաջորդաբար հանում ենք թիվ 1 տողի տարրերը՝ 4-ով բազմապատկված; Թիվ 4 տողի տարրերից հաջորդաբար հանում ենք թիվ 1 տողի տարրերը։
• Հաջորդը մենք կաշխատենք կտրված մատրիցով (առանց 1 սյունակով և առանց 1 տողի): Նոր «առաջատար» տարրը, որը կանգնած է երկրորդ սյունակի և երկրորդ շարքի խաչմերուկում, հավասար է -1-ի: Տողերը վերադասավորելու կարիք չկա, ուստի առաջին սյունակը և առաջին և երկրորդ տողերը վերագրում ենք առանց փոփոխությունների։ Կատարենք հանման գործողություններ, որպեսզի երկրորդ սյունակում զրոներ ստանանք «առաջատար» տարրի տակ. երրորդ տողի տարրերից հաջորդաբար հանում ենք երկրորդ տողի տարրերը՝ 3-ով բազմապատկված; չորրորդ տողի տարրերից հանել երկրորդ տողի 2-ով բազմապատկած տարրերը։
• Մնում է փոխել վերջին տողը։ Նրա տարրերից մենք հաջորդաբար հանում ենք երրորդ շարքի տարրերը։ Այսպիսով, մենք ստացանք աստիճանական մատրիցա։

Մատրիցների կրճատումը փուլային ձևի օգտագործվում է Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի (SLE) լուծման ժամանակ։ Նախքան այս մեթոդը դիտարկելը, եկեք հասկանանք SLN-ի հետ կապված որոշ տերմիններ:

Գծային հավասարումների մատրիցներ և համակարգեր

Մատրիցներն օգտագործվում են տարբեր գիտություններում: Օգտագործելով թվերի աղյուսակները, դուք կարող եք, օրինակ, լուծել գծային հավասարումներ, որոնք միավորված են համակարգում, օգտագործելով Գաուսի մեթոդը: Նախ, եկեք ծանոթանանք մի քանի տերմինների և դրանց սահմանումների, ինչպես նաև տեսնենք, թե ինչպես է ձևավորվում մատրիցա մի համակարգից, որը միավորում է մի քանի գծային հավասարումներ:

SLU – մի քանի համակցված հանրահաշվական հավասարումներ առաջին հզորության անհայտներով և առանց արտադրյալի տերմինների:

SLE լուծում – անհայտների հայտնաբերված արժեքներ, որոնց փոխարինելով համակարգի հավասարումները դառնում են նույնականություն:

Համատեղ SLE-ը հավասարումների համակարգ է, որն ունի առնվազն մեկ լուծում:

Անհետևողական SLE-ը հավասարումների համակարգ է, որը չունի լուծումներ:

Ինչպե՞ս է ձևավորվում մատրիցը գծային հավասարումներ միավորող համակարգի հիման վրա: Կան այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են համակարգի հիմնական և ընդլայնված մատրիցները: Համակարգի հիմնական մատրիցը ստանալու համար անհրաժեշտ է աղյուսակում դնել անհայտների բոլոր գործակիցները։ Ընդլայնված մատրիցը ստացվում է հիմնական մատրիցին ազատ տերմինների սյունակ ավելացնելով (այն ներառում է հայտնի տարրեր, որոնց հավասարվում է համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը): Դուք կարող եք հասկանալ այս ամբողջ գործընթացը՝ ուսումնասիրելով ստորև ներկայացված նկարը։

Առաջին բանը, որ մենք տեսնում ենք նկարում, համակարգ է, որը ներառում է գծային հավասարումներ: Դրա տարրերը՝ a_ij - թվային գործակիցներ, x_j - անհայտ արժեքներ, b_i - հաստատուն անդամներ (որտեղ i=1, 2, …, m, և j=1, 2, …, n): Նկարում երկրորդ տարրը գործակիցների հիմնական մատրիցն է։ Յուրաքանչյուր հավասարումից գործակիցները գրվում են անընդմեջ։ Արդյունքում մատրիցայում այնքան տող կա, որքան համակարգում հավասարումներ: Սյունակների թիվը հավասար է ցանկացած հավասարման գործակիցների ամենամեծ թվին: Նկարի երրորդ տարրը ընդլայնված մատրից է՝ ազատ տերմինների սյունակով։

Ընդհանուր տեղեկություններ Գաուսի մեթոդի մասին

Գծային հանրահաշիվում Գաուսի մեթոդը SLE-ի լուծման դասական եղանակն է: Այն կրում է Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի անունը, ով ապրել է 18-19-րդ դարերում։ Սա բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկն է։ Գաուսի մեթոդի էությունը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի վրա տարրական փոխակերպումներ կատարելն է։ Փոխակերպումների օգնությամբ SLE-ը վերածվում է եռանկյունաձև (աստիճանային) ձևի համարժեք համակարգի, որտեղից կարելի է գտնել բոլոր փոփոխականները։

Հարկ է նշել, որ Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը գծային հավասարումների համակարգի լուծման դասական մեթոդի հայտնագործողը չէ։ Մեթոդը շատ ավելի վաղ է հորինվել։ Դրա առաջին նկարագրությունը գտնվում է հին չինացի մաթեմատիկոսների գիտելիքների հանրագիտարանում, որը կոչվում է «Մաթեմատիկան 9 գրքում»:

Գաուսի մեթոդով SLE-ի լուծման օրինակ

Եկեք դիտարկենք Գաուսի մեթոդով համակարգերի լուծումը կոնկրետ օրինակով: Մենք կաշխատենք նկարում ցուցադրված SLU-ի հետ։

Լուծման ալգորիթմ՝

1. Մենք համակարգը կնվազեցնենք փուլային ձևի Գաուսի մեթոդի ուղղակի շարժումով, բայց նախ.մենք կկազմենք թվային գործակիցների և ազատ անդամների ընդլայնված մատրիցա։
2. Գաուսի մեթոդով մատրիցը լուծելու համար (այսինքն՝ աստիճանական ձևի բերել), երկրորդ և երրորդ տողերի տարրերից մենք հաջորդաբար հանում ենք առաջին շարքի տարրերը։ Առաջին սյունակում զրոներ ենք ստանում «առաջատար» տարրի տակ։ Հաջորդը, հարմարության համար մենք կփոխենք երկրորդ և երրորդ տողերը տեղերում: Վերջին շարքի տարրերին հաջորդաբար ավելացրեք երկրորդ շարքի տարրերը՝ բազմապատկելով 3-ով։
3. Գաուսի մեթոդով մատրիցայի հաշվարկման արդյունքում ստացանք տարրերի աստիճանավոր զանգված։ Դրա հիման վրա մենք կկազմենք գծային հավասարումների նոր համակարգ։ Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքով մենք գտնում ենք անհայտ տերմինների արժեքները: Վերջին գծային հավասարումից երևում է, որ x₃-ը հավասար է 1-ի: Մենք այս արժեքը փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ տողով: Դուք ստանում եք x₂ – 4=–4 հավասարումը: Հետևում է, որ x₂-ը հավասար է 0-ի: Փոխարինեք x₂ և x₃ համակարգի առաջին հավասարման մեջ. x1 _{+ 0 +3=2. Անհայտ անդամը -1 է։}

Պատասխան. օգտագործելով մատրիցը, Գաուսի մեթոդը, մենք գտանք անհայտների արժեքները. x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Գաուս-Հորդանանի մեթոդ

Գծային հանրահաշիվում կա նաև Գաուս-Հորդանանի մեթոդ: Այն համարվում է Գաուսի մեթոդի փոփոխություն և օգտագործվում է հակադարձ մատրիցը գտնելու, հանրահաշվական գծային հավասարումների քառակուսի համակարգերի անհայտ անդամները հաշվարկելու համար։ Գաուս-Հորդանանի մեթոդը հարմար է նրանով, որ թույլ է տալիս SLE-ը լուծել մեկ քայլով (առանց ուղղակի և հակադարձի օգտագործմանշարժումներ).

Սկսենք «հակադարձ մատրիցա» տերմինից։ Ենթադրենք, որ մենք ունենք A մատրիցա: Դրա հակադարձը կլինի A^-1 մատրիցը, մինչդեռ պայմանը անպայմանորեն բավարարված է. A × A^-1=A -1 ^{× A=E, այսինքն՝ այս մատրիցների արտադրյալը հավասար է նույնական մատրիցին (նույնականության մատրիցայի հիմնական անկյունագծային տարրերը մեկ են, իսկ մնացած տարրերը՝ զրո).}

Կարևոր նրբերանգ. գծային հանրահաշիվում կա հակադարձ մատրիցայի գոյության թեորեմ: A^-1 մատրիցի գոյության բավարար և անհրաժեշտ պայմանն այն է, որ A մատրիցը ոչ եզակի է:

Հիմնական քայլեր, որոնց վրա հիմնված է Գաուս-Հորդանանի մեթոդը.

1. Նայեք որոշակի մատրիցայի առաջին շարքին: Gauss-Jordan մեթոդը կարող է սկսվել, եթե առաջին արժեքը հավասար չէ զրոյի: Եթե առաջին տեղը 0 է, ապա տողերը փոխեք այնպես, որ առաջին տարրը ունենա ոչ զրոյական արժեք (ցանկալի է, որ թիվը մեկին մոտ լինի):
2. Առաջին շարքի բոլոր տարրերը բաժանեք առաջին թվին: Դուք կստանաք տող, որը սկսվում է մեկով:
3. Երկրորդ տողից հանեք առաջին տողը, որը բազմապատկված է երկրորդ տողի առաջին տարրով, այսինքն՝ վերջում կստանաք զրոյից սկսվող տող։ Նույնը արեք մնացած տողերի համար: Յուրաքանչյուր տող բաժանեք իր առաջին ոչ զրոյական տարրի վրա՝ 1-ի անկյունագծով ստանալու համար:
4. Արդյունքում դուք կստանաք վերին եռանկյունի մատրիցը՝ օգտագործելով Գաուս-Ջորդան մեթոդը: Դրանում հիմնական անկյունագիծը ներկայացված է միավորներով։ Ներքևի անկյունը լցված է զրոներով, ևվերին անկյուն՝ տարբեր արժեքներ։
5. Նախավերջին տողից հանեք վերջին տողը բազմապատկած պահանջվող գործակցով։ Դուք պետք է ստանաք զրոյական և մեկ տող: Մնացած տողերի համար կրկնեք նույն գործողությունը: Բոլոր փոխակերպումներից հետո կստացվի նույնականացման մատրիցը:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու օրինակ Գաուս-Հորդանանի մեթոդով

Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու համար հարկավոր է գրել A|E մեծացված մատրիցը և կատարել անհրաժեշտ փոխակերպումները։ Դիտարկենք մի պարզ օրինակ. Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս A մատրիցը.

Լուծում՝

1. Նախ, եկեք գտենք մատրիցային որոշիչը՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը (det A): Եթե այս պարամետրը հավասար չէ զրոյի, ապա մատրիցը կհամարվի ոչ եզակի: Սա թույլ կտա մեզ եզրակացնել, որ A-ն հաստատ ունի A^-1: Որոշիչը հաշվարկելու համար տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը վերածում ենք աստիճանական ձևի: Հաշվենք K թիվը, որը հավասար է տողերի փոխարկումների թվին։ Մենք փոխել ենք տողերը ընդամենը 1 անգամ։ Եկեք հաշվարկենք որոշիչը. Դրա արժեքը հավասար կլինի հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալին՝ բազմապատկած (–1)^K-ով։ Հաշվարկի արդյունքը՝ det A=2.
2. Կազմեք ընդլայնված մատրիցը՝ ավելացնելով նույնականության մատրիցը սկզբնական մատրիցին: Ստացված տարրերի զանգվածը կօգտագործվի Գաուս-Հորդանանի մեթոդով հակադարձ մատրիցը գտնելու համար։
3. Առաջին շարքի առաջին տարրը հավասար է մեկի: Սա մեզ հարմար է, քանի որ կարիք չկա տողերը վերադասավորել և տրված տողը բաժանել ինչ-որ թվի։ Սկսենք աշխատելերկրորդ և երրորդ տողերով։ Երկրորդ շարքի առաջին տարրը 0-ի դարձնելու համար երկրորդ շարքից հանեք 3-ով բազմապատկած առաջին տողը, երրորդ շարքից հանեք առաջին շարքը (բազմապատկում չի պահանջվում):
4. Ստացված մատրիցում երկրորդ տողի երկրորդ տարրը -4 է, իսկ երրորդ շարքի երկրորդ տարրը -1 է։ Փոխենք տողերը հարմարության համար: Երրորդ շարքից հանում ենք 4-ով բազմապատկած երկրորդ շարքը: Երկրորդ շարքը բաժանում ենք -1-ի, իսկ երրորդը 2-ի: Ստանում ենք վերին եռանկյունաձև մատրիցը:
5. Եկեք երկրորդ տողից հանենք 4-ով բազմապատկած վերջին տողը, իսկ առաջին տողից 5-ով բազմապատկած վերջին տողը: Այնուհետև առաջին տողից հանենք 2-ով բազմապատկած երկրորդ տողը: Ձախ կողմում ստացանք. ինքնության մատրիցա. Աջ կողմում հակադարձ մատրիցն է։

Գաուս-Հորդանանի մեթոդով SLE-ի լուծման օրինակ

Նկարը ցույց է տալիս գծային հավասարումների համակարգ: Պահանջվում է գտնել անհայտ փոփոխականների արժեքները՝ օգտագործելով մատրիցը՝ Գաուս-Հորդանան մեթոդով:

Լուծում՝

1. Եկեք ստեղծենք ընդլայնված մատրիցա։ Դա անելու համար աղյուսակում կդնենք գործակիցներն ու ազատ անդամները։
2. Լուծեք մատրիցը Գաուս-Հորդանանի մեթոդով: Թիվ 2 տողից հանում ենք 1-ին տողը, 3-րդ տողից հանում ենք 1-ին տողը՝ նախկինում 2-ով բազմապատկած։
3. Փոխանակեք 2-րդ և 3-րդ տողերը:
4. 3 տողից հանել 2 տողը՝ բազմապատկված 2-ով: Ստացված երրորդ տողը բաժանեք –1-ով։
5. 2-րդ տողից հանել 3-րդ տողը:
6. 1 տողից հանել 1 տողը2 անգամ -1. Կողքի վրա մենք ստացանք սյունակ, որը բաղկացած է 0, 1 և -1 թվերից: Դրանից մենք եզրակացնում ենք, որ x₁=0, x₂=1 և x₃ =–1.

Ցանկության դեպքում կարող եք ստուգել լուծման ճիշտությունը՝ փոխարինելով հաշվարկված արժեքները հավասարումների մեջ՝

• 0 – 1=–1, համակարգից առաջին նույնականացումը ճիշտ է;
• 0 + 1 + (–1)=0, համակարգից երկրորդ նույնականացումը ճիշտ է;
• 0 – 1 + (–1)=–2, համակարգից երրորդ նույնականացումը ճիշտ է։

Եզրակացություն. օգտագործելով Գաուս-Հորդանանի մեթոդը, մենք գտել ենք քառակուսի համակարգի ճիշտ լուծումը, որը միավորում է գծային հանրահաշվական հավասարումները:

Առցանց հաշվիչներ

Բուհերում սովորող և գծային հանրահաշիվ ուսումնասիրող այսօրվա երիտասարդության կյանքը շատ պարզեցվել է: Մի քանի տարի առաջ մենք ստիպված էինք ինքնուրույն լուծումներ գտնել Գաուսի և Գաուս-Հորդանանի մեթոդով համակարգերի համար: Որոշ ուսանողներ հաջողությամբ կատարել են առաջադրանքները, իսկ մյուսները շփոթվել են լուծման մեջ, սխալներ թույլ տվել, օգնություն խնդրել դասընկերներից: Այսօր տնային աշխատանք կատարելիս կարող եք օգտվել առցանց հաշվիչներից։ Գծային հավասարումների համակարգերի, հակադարձ մատրիցների որոնման համար գրվել են ծրագրեր, որոնք ցույց են տալիս ոչ միայն ճիշտ պատասխանները, այլև ցույց են տալիս որոշակի խնդրի լուծման առաջընթացը։

Ինտերնետում կան բազմաթիվ ռեսուրսներ՝ ներկառուցված առցանց հաշվիչներով: Գաուսի մատրիցները, հավասարումների համակարգերը այս ծրագրերով լուծվում են մի քանի վայրկյանում։ Ուսանողները պետք է միայն նշեն պահանջվող պարամետրերը (օրինակ՝ հավասարումների քանակը,փոփոխականների թիվը).