Գոլդբախի խնդիրը բոլոր մաթեմատիկայի պատմության ամենահին և ամենահայտնի խնդիրներից մեկն է:
Այս ենթադրությունն ապացուցված է, որ ճշմարիտ է 4 × 1018-ից փոքր բոլոր ամբողջ թվերի համար, սակայն մնում է չապացուցված՝ չնայած մաթեմատիկոսների զգալի ջանքերին:
համար
Գոլդբախի թիվը դրական զույգ ամբողջ թիվ է, որը կենտ պարզերի զույգի գումարն է: Գոլդբախի ենթադրության մեկ այլ ձևն այն է, որ չորսից մեծ բոլոր զույգ ամբողջ թվերը Գոլդբախի թվեր են:
Նման թվերի տարանջատումը կոչվում է Գոլդբախի բաժանում (կամ բաժանում): Ստորև բերված են նմանատիպ բաժինների օրինակներ որոշ զույգ թվերի համար.
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Վիպոթեզի բացահայտում
Գոլդբախն ուներ Էյլեր անունով մի գործընկեր, ով սիրում էր հաշվել, գրել բարդ բանաձևեր և առաջ քաշել անլուծելի տեսություններ: Դրանով նրանք նման էին Գոլդբախին։ Նման մաթեմատիկական հանելուկ Էյլերը արել է դեռ Գոլդբախից առաջ, ում հետ նամշտական նամակագրություն. Այնուհետև նա առաջարկեց երկրորդ առաջարկը իր ձեռագրի լուսանցքում, ըստ որի 2-ից մեծ ամբողջ թիվը կարող է գրվել որպես երեք պարզ թվերի գումար։ Նա 1-ը համարում էր պարզ թիվ։
Այժմ հայտնի է, որ երկու վարկածները նման են, բայց դա այն ժամանակ կարծես խնդիր չէր: Գոլդբախի խնդրի ժամանակակից տարբերակն ասում է, որ 5-ից մեծ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է գրել որպես երեք պարզ թվերի գումար։ Էյլերը պատասխանել է 1742 թվականի հունիսի 30-ով թվագրված նամակում և հիշեցրել Գոլդբախին իրենց ունեցած ավելի վաղ զրույցի մասին («…այսպես, մենք խոսում ենք հետևյալ հայտարարությունից բխող բնօրինակի (և ոչ մարգինալ) վարկածի մասին»):
Էյլեր-Գոլդբախի խնդիր
2 և նրա զույգ թվերը կարելի է գրել որպես երկու պարզ թվերի գումար, որը նույնպես Գոլդբախի ենթադրությունն է։ 1742 թվականի հունիսի 30-ի նամակում Էյլերը նշել է, որ յուրաքանչյուր զույգ ամբողջ թիվ երկու պարզ թվերի գումարման արդյունք է, որը նա համարում է լավ սահմանված թեորեմ, թեև չի կարող դա ապացուցել։
Երրորդ տարբերակ
Գոլդբախի խնդրի երրորդ տարբերակը (համարժեք մյուս երկու տարբերակներին) այն ձևն է, որով ենթադրությունը սովորաբար տրվում է այսօր։ Այն նաև հայտնի է որպես «ուժեղ», «զույգ» կամ «երկուական» Գոլդբախի ենթադրություն՝ այն տարբերելու ավելի թույլ հիպոթեզից, որն այսօր հայտնի է որպես «թույլ», «կենտ» կամ «եռակի» Գոլդբախի ենթադրություն։ Թույլ ենթադրությունն ասում է, որ 7-ից մեծ բոլոր կենտ թվերը երեք կենտ պարզ թվերի գումարն են: Թույլ ենթադրությունն ապացուցվել է 2013թ. Թույլ վարկածն էուժեղ վարկածի հետևանք. Հակառակ հետևանքը և Գոլդբախի ուժեղ ենթադրությունը մինչ օրս մնում են չապացուցված:
Ստուգում
n-ի փոքր արժեքների համար Գոլդբախի խնդիրը (և հետևաբար Գոլդբախի ենթադրությունը) կարող է ստուգվել: Օրինակ, Նիլս Փիփինգը 1938 թվականին ուշադիր փորձարկեց վարկածը մինչև n ≦ 105: Առաջին համակարգիչների հայտնվելով n-ի շատ ավելի շատ արժեքներ են հաշվարկվել:
Օլիվեյրա Սիլվան կատարեց բաշխված համակարգչային որոնում, որը հաստատեց n ≦ 4 × 1018 (և կրկնակի ստուգված մինչև 4 × 1017) վարկածը 2013 թվականի դրությամբ: Այս որոնումից մեկն այն է, որ 3,325,581,707,333,960,528-ը ամենափոքր թիվն է, որը չունի Գոլդբախի բաժանում 9781-ից ցածր պարզով:
Հեւրիստիկա
Գոլդբախի ենթադրության ուժեղ ձևի տարբերակը հետևյալն է. քանի որ մեծությունը ձգտում է դեպի անվերջություն, երբ n-ն աճում է, մենք ակնկալում ենք, որ յուրաքանչյուր մեծ զույգ ամբողջ թիվ մեկից ավելի ներկայացում ունի որպես երկու պարզ թվերի գումար: Բայց իրականում նման ներկայացուցչություններ շատ կան։ Ո՞վ լուծեց Գոլդբախի խնդիրը: Ավաղ, դեռ ոչ ոք։
Այս էվրիստիկ փաստարկն իրականում որոշ չափով անճշտություն է, քանի որ այն ենթադրում է, որ m-ը վիճակագրորեն անկախ է n-ից: Օրինակ, եթե m-ը կենտ է, ապա n-m-ը նույնպես կենտ է, իսկ եթե m-ն զույգ է, ապա n-m-ն զույգ է, և սա ոչ տրիվիալ (բարդ) հարաբերություն է, քանի որ բացի 2 թվից, միայն կենտ է. թվերը կարող են պարզ լինել: Նմանապես, եթե n-ը բաժանվում է 3-ի և m-ն արդեն պարզ է, քան 3-ը, ապա n-m-ը նույնպես փոխադարձաբար է:պարզ թիվ 3-ով, ուստի ավելի հավանական է, որ լինի պարզ թիվ, ի տարբերություն ընդհանուր թվի: Իրականացնելով այս տեսակի վերլուծությունն ավելի ուշադիր՝ Հարդին և Լիթլվուդը 1923 թվականին, որպես իրենց հայտնի Hardy-Littlewood պարզ բազմակի ենթադրության մաս, կատարեցին ամբողջ տեսության վերը նշված ճշգրտումը: Բայց դա մինչ այժմ չի օգնել լուծել խնդիրը։
Ուժեղ վարկած
Ուժեղ Գոլդբախի ենթադրությունը շատ ավելի բարդ է, քան թույլ Գոլդբախի ենթադրությունը: Հետագայում Շնիրելմանը ապացուցեց, որ 1-ից մեծ ցանկացած բնական թիվ կարելի է գրել որպես C պարզ թվերի գումար, որտեղ C-ն արդյունավետորեն հաշվարկելի հաստատուն է։ Շատ մաթեմատիկոսներ փորձել են լուծել այն՝ հաշվելով և բազմապատկելով թվերը, առաջարկելով բարդ բանաձևեր և այլն։ Բայց նրանց երբեք չի հաջողվել, քանի որ վարկածը չափազանց բարդ է։ Ոչ մի բանաձև չօգնեց:
Բայց արժե մի փոքր հեռանալ Գոլդբախի խնդիրն ապացուցելու հարցից։ Շնիրելման հաստատունը այս հատկությամբ C ամենափոքր թիվն է։ Ինքը՝ Շնիրելմանը, ստացավ C <800 000: Այս արդյունքը հետագայում լրացվեց բազմաթիվ հեղինակների կողմից, օրինակ՝ Օլիվիե Ռամարետի կողմից, որը 1995 թվականին ցույց տվեց, որ n ≧ 4 յուրաքանչյուր զույգ թիվ իրականում առավելագույնը վեց պարզ թվերի գումարն է: Ամենահայտնի արդյունքը, որը ներկայումս կապված է Հարալդ Հելֆգոտի Գոլդբախի տեսության հետ:
Հետագա զարգացում
1924 թվականին Հարդին և Լիթլվուդը ստանձնեցին Գ. Ռ. Հ. ցույց տվեց, որ մինչև X զույգ թվերի թիվը, որը խախտում է երկուական Գոլդբախի խնդիրը, շատ ավելի քիչ է, քան փոքր c-ի համար:
1973-ին Չեն ՋինգյունՓորձեցի լուծել այս խնդիրը, բայց չստացվեց։ Նա նաև մաթեմատիկոս էր, ուստի շատ էր սիրում հանելուկներ լուծել և թեորեմներ ապացուցել։
1975 թվականին երկու ամերիկացի մաթեմատիկոսներ ցույց տվեցին, որ կան c և C դրական հաստատուններ, որոնց համար N-ը բավական մեծ է: Մասնավորապես, զույգ ամբողջ թվերի բազմությունն ունի զրոյական խտություն: Այս ամենը օգտակար էր եռակի Գոլդբախի խնդրի լուծման ուղղությամբ աշխատանքի համար, որը տեղի կունենա ապագայում։
1951թ.-ին Լիննիկն ապացուցեց K հաստատունի գոյությունն այնպիսին, որ յուրաքանչյուր բավական մեծ զույգ թիվ մեկ պարզ թիվ և մեկ այլ պարզ թիվ գումարելու արդյունք է: Ռոջեր Հիթ-Բրաունը և Յան-Քրիստոֆ Շլագե-Պուչտան 2002 թվականին գտան, որ K=13 աշխատում է։ Սա շատ հետաքրքիր է բոլոր այն մարդկանց համար, ովքեր սիրում են իրար գումարել, տարբեր թվեր գումարել և տեսնել, թե ինչ է տեղի ունենում:
Գոլդբախի խնդրի լուծում
Ինչպես մաթեմատիկայի շատ հայտնի ենթադրությունների դեպքում, կան Գոլդբախի ենթադրության մի շարք ենթադրյալ ապացույցներ, որոնցից ոչ մեկը չի ընդունվում մաթեմատիկական հանրության կողմից:
Չնայած Գոլդբախի ենթադրությունը ենթադրում է, որ մեկից մեծ յուրաքանչյուր դրական ամբողջ թիվ կարող է գրվել որպես առավելագույնը երեք պարզ թվերի գումար, միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել այդպիսի գումար՝ օգտագործելով ագահ ալգորիթմը, որն օգտագործում է հնարավոր ամենամեծ պարզ թիվը։ յուրաքանչյուր քայլին. Pillai հաջորդականությունը հետևում է թվերին, որոնք պահանջում են ամենաշատ պարզ թվերը իրենց ագահ ներկայացումներում: Ուստի Գոլդբախի խնդրի լուծումըդեռ հարցականի տակ. Այնուամենայնիվ, վաղ թե ուշ այն, ամենայն հավանականությամբ, կլուծվի։
Կան Գոլդբախի խնդրին նման տեսություններ, որոնցում պարզ թվերը փոխարինվում են թվերի այլ հատուկ բազմություններով, օրինակ՝ քառակուսիներով:
Քրիստիան Գոլդբախ
Քրիստիան Գոլդբախը գերմանացի մաթեմատիկոս էր, ով ևս սովորում էր իրավունք։ Նրան այսօր հիշում են Գոլդբախի ենթադրությամբ։
Նա ամբողջ կյանքում աշխատել է որպես մաթեմատիկոս. նա շատ էր սիրում թվեր գումարել, նոր բանաձևեր հորինել։ Նա նաև գիտեր մի քանի լեզուներ, որոնցից յուրաքանչյուրում պահում էր իր անձնական օրագիրը։ Այդ լեզուներն էին գերմաներենը, ֆրանսերենը, իտալերենը և ռուսերենը։ Նաև, ըստ որոշ աղբյուրների, նա խոսում էր անգլերեն և լատիներեն: Նա իր կենդանության օրոք հայտնի էր որպես բավականին հայտնի մաթեմատիկոս։ Գոլդբախը նույնպես բավականին սերտ կապված էր Ռուսաստանի հետ, քանի որ ուներ բազմաթիվ ռուս գործընկերներ և թագավորական ընտանիքի անձնական բարեհաճությունը։
Նա շարունակեց աշխատել 1725 թվականին Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների նորաբաց ակադեմիայում՝ որպես մաթեմատիկայի պրոֆեսոր և ակադեմիայի պատմաբան։ 1728 թվականին, երբ Պետրոս II-ը դարձավ Ռուսաստանի ցար, Գոլդբախը դարձավ նրա դաստիարակը։ 1742 թվականին ընդունվել է Ռուսաստանի արտաքին գործերի նախարարություն։ Այսինքն՝ նա իրականում աշխատել է մեր երկրում։ Այն ժամանակ Ռուսաստան եկան բազմաթիվ գիտնականներ, գրողներ, փիլիսոփաներ, զինվորականներ, քանի որ Ռուսաստանն այն ժամանակ Ամերիկայի նման հնարավորությունների երկիր էր։ Շատերն այստեղ կարիերա են արել։ Եվ մեր հերոսը բացառություն չէ։
Քրիստիան Գոլդբախը բազմալեզու էր. նա գրում էր օրագիր գերմաներեն և լատիներեն, իր նամակներըգրվել են գերմաներեն, լատիներեն, ֆրանսերեն և իտալերեն, իսկ պաշտոնական փաստաթղթերի համար նա օգտագործել է ռուսերեն, գերմաներեն և լատիներեն:
Մահացել է 1764 թվականի նոյեմբերի 20-ին 74 տարեկան հասակում Մոսկվայում։ Այն օրը, երբ կլուծվի Գոլդբախի խնդիրը, արժանի հարգանքի տուրք կլինի նրա հիշատակին:
Եզրակացություն
Գոլդբախը մեծ մաթեմատիկոս էր, ով մեզ տվեց այս գիտության ամենամեծ առեղծվածներից մեկը: Հայտնի չէ՝ երբևէ կլուծվի՞, թե՞ ոչ։ Մենք միայն գիտենք, որ դրա ենթադրյալ լուծումը, ինչպես Ֆերմայի թեորեմի դեպքում, նոր հեռանկարներ կբացի մաթեմատիկայի համար։ Մաթեմատիկոսները շատ են սիրում այն լուծել և վերլուծել։ Այն շատ հետաքրքիր և հետաքրքիր է էվրիստիկայի տեսանկյունից: Նույնիսկ մաթեմատիկայի ուսանողները սիրում են լուծել Գոլդբախի խնդիրը։ Էլ ինչպե՞ս։ Չէ՞ որ երիտասարդներին անընդհատ գրավում է ամեն ինչ պայծառ, հավակնոտ ու չլուծված, քանի որ դժվարությունները հաղթահարելով կարելի է ինքնահաստատվել։ Հուսանք, որ շուտով այս խնդիրը կլուծվի երիտասարդ, հավակնոտ, հետաքրքրասեր ուղեղների կողմից։
