Մաթեմատիկայում կա «բազմություն» հասկացությունը, ինչպես նաև այս նույն բազմությունները միմյանց հետ համեմատելու օրինակներ։ Կոմպլեկտների համեմատության տեսակների անվանումները հետևյալ բառերն են՝ բիեկցիա, ներարկում, սրսկում։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ավելի մանրամասն նկարագրված է ստորև։
Բիեկցիան է… ինչ է դա:
Առաջին հավաքածուի տարրերի մի խումբ համընկնում է այս ձևով երկրորդ խմբի տարրերի երկրորդ խմբի հետ. առաջին խմբի յուրաքանչյուր տարր ուղղակիորեն համընկնում է երկրորդ խմբի մեկ այլ տարրի հետ, և այնտեղ իրավիճակ չէ որևէ կամ երկու խմբերի տարրերի պակասի կամ թվարկման հետ:
Հիմնական հատկությունների ձևակերպում.
- Մեկ տարր մեկին։
- Համապատասխանության ժամանակ հավելյալ տարրեր չկան, և առաջին հատկությունը պահպանվում է:
- Հնարավոր է շրջել քարտեզագրումը` պահպանելով ընդհանուր տեսքը:
- Բիեկցիան ֆունկցիա է, որը և՛ ներարկային է, և՛ երևակայական:
Բիեկցիա գիտական տեսանկյունից
Բիեկտիվ ֆունկցիաները հենց իզոմորֆիզմներ են «գործառույթների բազմություն և բազմություն» կատեգորիայում։ Այնուամենայնիվ, բիեկցիաները միշտ չէ, որ իզոմորֆիզմներ են ավելի բարդ կատեգորիաների համար: Օրինակ՝ խմբերի որոշակի կատեգորիայում մորֆիզմները պետք է լինեն հոմոմորֆիզմներ, քանի որ դրանք պետք է պահպանեն խմբի կառուցվածքը։ Հետևաբար, իզոմորֆիզմները խմբային իզոմորֆիզմներ են, որոնք բիեկտիվ հոմոմորֆիզմներ են։
«Մեկ առ մեկ համապատասխանություն» հասկացությունը ընդհանրացված է մասնակի ֆունկցիաների վրա, որտեղ դրանք կոչվում են մասնակի բիեկցիա, թեև մասնակի բիեկցիան այն է, ինչ պետք է լինի ներարկում: Այս թուլացման պատճառն այն է, որ մասնակի (պատշաճ) ֆունկցիան այլևս սահմանված չէ իր տիրույթի մի մասի համար: Այսպիսով, չկա որևէ հիմնավոր պատճառ՝ սահմանափակելու դրա հակադարձ ֆունկցիան ամբողջականով, այսինքն՝ սահմանված իր տիրույթում ամենուր: Տրված բազային բազմության բոլոր մասնակի բիեկցիաների բազմությունը կոչվում է սիմետրիկ հակադարձ կիսախումբ:
Նույն հայեցակարգը սահմանելու մեկ այլ եղանակ. արժե ասել, որ A-ից B բազմությունների մասնակի բիեկցիան ցանկացած R (մասնակի ֆունկցիա) հարաբերությունն է այն հատկության հետ, որ R-ը բիեկցիոն գրաֆիկ է f:A'→B: 'որտեղ A'-ը A-ի ենթաբազմություն է, իսկ B'-ը B-ի ենթաբազմություն է:
Երբ մասնակի բիեկցիան գտնվում է նույն բազմության վրա, այն երբեմն կոչվում է մեկ առ մեկ մասնակի փոխակերպում: Օրինակ՝ Մոբիուսի փոխակերպումն է հենց նոր սահմանված բարդ հարթության վրա, այլ ոչ թե դրա ավարտը ընդլայնված բարդ հարթությունում:
Ներարկում
Առաջին հավաքածուի տարրերի մի խումբ համընկնում է այս ձևով երկրորդ խմբի տարրերի երկրորդ խմբի հետ. առաջին խմբի յուրաքանչյուր տարր համընկնում է երկրորդի մեկ այլ տարրի հետ, բայց ոչ բոլորը: դրանք վերածվում են զույգերի։ Չզուգակցված տարրերի թիվը կախված է հենց այս տարրերի քանակի տարբերությունից յուրաքանչյուր հավաքածուում. եթե մի հավաքածուն բաղկացած է երեսունմեկ տարրից, իսկ մյուսն ունի ևս յոթ, ապա չզուգակցված տարրերի թիվը յոթն է: Ուղղորդված ներարկում հավաքածուի մեջ: Բիեկցիան և ներարկումը նման են, բայց ոչ ավելին, քան նման:
Վիրահատություն
Առաջին հավաքածուի տարրերի մեկ խումբը համընկնում է երկրորդ խմբի տարրերի երկրորդ խմբի հետ այս կերպ. ցանկացած խմբի յուրաքանչյուր տարր կազմում է զույգ, նույնիսկ եթե տարրերի քանակի միջև տարբերություն կա: Հետևում է, որ մի խմբի մեկ տարրը կարող է զուգակցվել մեկ այլ խմբի մի քանի տարրերի հետ:
Ոչ բիեկտիվ, ոչ ներարկային, ոչ էլ սուբյեկտիվ ֆունկցիա
Սա բիեկտիվ և սուբյեկտիվ ձևի ֆունկցիա է, բայց մնացորդով (չզույգված)=> ներարկումով: Նման ֆունկցիայի դեպքում հստակ կապ կա բիյեկցիայի և սպիրեկցիայի միջև, քանի որ այն ուղղակիորեն ներառում է այս երկու տեսակի հավաքածուների համեմատությունները: Այսպիսով, այս բոլոր տեսակի գործառույթների ամբողջությունը դրանցից չէ առանձին:
Բացատրություն բոլոր տեսակի գործառույթների
Օրինակ, դիտորդը հիացած է հետևյալով. Կան նետաձգության մրցումներ։ Յուրաքանչյուրըմասնակիցները ցանկանում են հարվածել թիրախին (խնդիրը հեշտացնելու համար. հաշվի չի առնվում հենց այն տեղը, որտեղ նետը դիպչում է): Ընդամենը երեք մասնակից և երեք թիրախ՝ սա մրցաշարի առաջին կայքն է (կայքը): Հետագա հատվածներում պահպանվում է նետաձիգների թիվը, սակայն թիրախների թիվը փոխվում է՝ երկրորդում՝ չորս թիրախ, հաջորդում՝ նույնպես չորս, իսկ չորրորդում՝ հինգ։ Յուրաքանչյուր մասնակից կրակում է յուրաքանչյուր թիրախի վրա։
- Մրցաշարի առաջին վայրը. Առաջին նետաձիգը խոցում է միայն մեկ թիրախ։ Երկրորդը խոցում է միայն մեկ թիրախ. Երրորդը կրկնվում է մյուսների հետևից, և բոլոր նետաձիգները խոցում են տարբեր թիրախներ՝ նրանց դիմացը։ Արդյունքում 1-ը (առաջին նետաձիգը) հարվածել է թիրախին (ա), 2-ը՝ (բ), 3-ը՝ (գ)-ում: Դիտարկվում է հետևյալ կախվածությունը՝ 1 – (ա), 2 – (բ), 3 – (գ): Եզրակացությունը կլինի այն դատողությունը, որ բազմությունների նման համեմատությունը բիեկցիա է։
- Մրցաշարի երկրորդ հարթակը. Առաջին նետաձիգը խոցում է միայն մեկ թիրախ։ Երկրորդը նույնպես խոցում է միայն մեկ թիրախ։ Երրորդն իրականում չի փորձում և ամեն ինչ կրկնում է մյուսներից հետո, բայց պայմանը նույնն է՝ բոլոր նետաձիգները տարբեր թիրախներ են խոցում։ Բայց, ինչպես նշվեց ավելի վաղ, երկրորդ հարթակում արդեն չորս թիրախ կա։ Կախվածություն՝ 1 - (ա), 2 - (բ), 3 - (գ), (դ) - բազմության չզույգացված տարր: Այս դեպքում եզրակացությունը կլինի այն դատողությունը, որ նման հավաքածուի համեմատությունը ներարկում է։
- Մրցաշարի երրորդ վայրը. Առաջին նետաձիգը խոցում է միայն մեկ թիրախ։ Երկրորդը կրկին խոցում է միայն մեկ թիրախ։ Երրորդը որոշում է իրեն քաշել և խոցում է երրորդ և չորրորդ թիրախները: Արդյունքում կախվածությունը՝ 1 -(ա), 2 - (բ), 3 - (գ), 3 - (դ): Այստեղ եզրակացությունը կլինի այն դատողությունը, որ բազմությունների նման համեմատությունը կասկածանք է։
- Մրցաշարի չորրորդ հարթակը. Առաջինի հետ ամեն ինչ արդեն պարզ է, նա խոցում է միայն մեկ թիրախ, որում շուտով տեղ չի մնա առանց այն էլ ձանձրալի հարվածների համար։ Այժմ երկրորդը ստանձնում է դեռևս վերջերս գտնվող երրորդի դերը և կրկին խոցում է միայն մեկ թիրախ՝ կրկնելով առաջինից հետո։ Երրորդը շարունակում է կառավարել իրեն և չի դադարում իր նետը ներկայացնել երրորդ և չորրորդ թիրախներին։ Հինգերորդը, սակայն, դեռ նրա վերահսկողությունից դուրս էր։ Այսպիսով, կախվածությունը՝ 1 - (ա), 2 - (բ), 3 - (գ), 3 - (դ), (ե) - թիրախների հավաքածուի չզույգված տարր: Եզրակացություն. Կոմպլեկտների նման համեմատությունը վիրահատություն չէ, ոչ ներարկում և ոչ բիեկցիա:
Այժմ բիեկցիա, ներարկում կամ վիրահատություն կառուցելը խնդիր չի լինի, ինչպես նաև դրանց միջև տարբերություններ գտնելը:
