Կետից հարթություն կամ ուղիղ գիծ հեռավորությունն իմանալը թույլ է տալիս հաշվարկել տարածության մեջ թվերի ծավալը և մակերեսը: Երկրաչափության մեջ այս հեռավորության հաշվարկն իրականացվում է նշված երկրաչափական օբյեկտների համար համապատասխան հավասարումների միջոցով: Հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչ բանաձևերով կարելի է որոշել այն։
Գծի և հարթության հավասարումներ
Նախքան կետից հարթություն և ուղիղ հեռավորությունը որոշելու բանաձևեր տալը, եկեք ցույց տանք, թե ինչ հավասարումներ են նկարագրում այս առարկաները:
Կետ սահմանելու համար կոորդինատների առանցքների տվյալ համակարգում օգտագործվում է կոորդինատների բազմություն։ Այստեղ մենք կդիտարկենք միայն դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգը, որտեղ առանցքներն ունեն նույն միավոր վեկտորները և փոխադարձ ուղղահայաց են: Հարթության վրա կամայական կետը նկարագրվում է երկու կոորդինատներով, տարածության մեջ՝ երեքով։
Ուղիղ գիծ սահմանելու համար օգտագործվում են տարբեր տեսակի հավասարումներ: Հոդվածի թեմային համապատասխան ներկայացնում ենքդրանցից միայն երկուսը, որոնք օգտագործվում են երկչափ տարածության մեջ՝ գծեր սահմանելու համար։
Վեկտորային հավասարում. Այն ունի հետևյալ նշումը՝
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Այստեղ առաջին անդամը ներկայացնում է գծի վրա ընկած հայտնի կետի կոորդինատները: Երկրորդ անդամը ուղղության վեկտորի կոորդինատներն են, որոնք բազմապատկվում են կամայական λ թվով:
Ընդհանուր հավասարում. Դրա նշումը հետևյալն է.
Ax + By + C=0;
որտեղ A, B, C որոշ գործակիցներ են:
Ընդհանուր հավասարումն ավելի հաճախ օգտագործվում է հարթության վրա գծերը որոշելու համար, սակայն հարթության վրա կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը գտնելու համար ավելի հարմար է աշխատել վեկտորային արտահայտության հետ:
Եռաչափ տարածության հարթությունը կարող է գրվել նաև մի քանի մաթեմատիկական ձևերով: Այնուամենայնիվ, ամենից հաճախ խնդիրներում կա ընդհանուր հավասարում, որը գրված է հետևյալ կերպ..
Ax + By + Cz + D=0.
Այս նշումի առավելությունը մյուսների նկատմամբ այն է, որ այն բացահայտորեն պարունակում է հարթությանը ուղղահայաց վեկտորի կոորդինատները: Այս վեկտորը կոչվում է նրա համար ուղեցույց, այն համընկնում է նորմալի ուղղության հետ, և նրա կոորդինատները հավասար են (A; B; C):
Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված արտահայտությունը համընկնում է երկչափ տարածության մեջ ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը գրելու ձևի հետ, ուստի խնդիրներ լուծելիս պետք է զգույշ լինել, որպեսզի չշփոթեք այս երկրաչափական առարկաները:
Կետի և տողի միջև հեռավորությունը
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ուղիղ գծի ևկետ երկչափ տարածության մեջ։
Թող լինի մի կետ Q(x1; y1) և տող տրված՝-ով:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Ուղի և կետի միջև հեռավորությունը հասկացվում է որպես այս ուղղին ուղղահայաց հատվածի երկարություն՝ իջեցված դրա վրա Q կետից:
Այս հեռավորությունը հաշվարկելուց առաջ դուք պետք է փոխարինեք Q կոորդինատները այս հավասարման մեջ: Եթե բավարարում են, ապա Q-ն պատկանում է տվյալ ուղղին, իսկ համապատասխան հեռավորությունը հավասար է զրոյի։ Եթե կետի կոորդինատները չեն հանգեցնում հավասարության, ապա երկրաչափական առարկաների միջև հեռավորությունը զրոյական չէ։ Այն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը՝
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Այստեղ P-ն ուղիղ գծի կամայական կետն է, որը հանդիսանում է PQ¯ վեկտորի սկիզբը: Վեկտորը u¯ ուղեցույց է ուղիղ գծի համար, այսինքն՝ նրա կոորդինատներն են (a; b):
Այս բանաձևի օգտագործումը պահանջում է համարիչի խաչաձև արտադրյալը հաշվարկելու ունակություն:
Խնդիր կետով և գծով
Ենթադրենք, դուք պետք է գտնեք Q(-3; 1) և ուղիղ գծի միջև հեռավորությունը, որը բավարարում է հավասարումը.
y=5x -2.
Փոխարինելով Q-ի կոորդինատները արտահայտության մեջ՝ մենք կարող ենք համոզվել, որ Q-ն չի գտնվում գծի վրա: Դուք կարող եք կիրառել d-ի բանաձևը, որը տրված է վերը նշված պարբերությունում, եթե այս հավասարումը ներկայացնում եք վեկտորի տեսքով: Եկեք դա անենք այսպես.
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Հիմա վերցնենք այս ուղղի ցանկացած կետ, օրինակ (0; -2) և կառուցենք վեկտոր, որը սկսվում է դրանից և ավարտվում Q:-ով:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Այժմ կիրառեք հեռավորությունը որոշելու բանաձևը, մենք ստանում ենք՝
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Հեռավորությունը կետից հարթություն
Ինչպես ուղիղ գծի դեպքում, հարթության և տարածության կետի միջև հեռավորությունը հասկացվում է որպես հատվածի երկարություն, որը տվյալ կետից ուղղահայաց իջեցվում է հարթությանը և հատում այն։
Տիեզերքում կետը տրվում է երեք կոորդինատներով: Եթե դրանք հավասար են (x1; y1; z1), ապա միջև հեռավորությունը հարթությունը և այդ կետը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը՝
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Նշեք, որ բանաձևի օգտագործումը թույլ է տալիս գտնել միայն հարթությունից մինչև գիծ հեռավորությունը: Այն կետի կոորդինատները գտնելու համար, որտեղ ուղղահայաց հատվածը հատում է հարթությունը, անհրաժեշտ է գրել այն ուղիղի հավասարումը, որին պատկանում է այս հատվածը, այնուհետև գտնել ընդհանուր կետ այս ուղիղի և տրված հարթության համար:
Խնդիր ինքնաթիռի և կետի հետ
Գտեք կետից մինչև հարթության հեռավորությունը, եթե հայտնի է, որ կետն ունի կոորդինատներ (3; -1; 2), և հարթությունը տրված է՝-ով.
-y + 3z=0.
Համապատասխան բանաձևն օգտագործելու համար նախ գրում ենք գործակիցներըտրված ինքնաթիռը. Քանի որ x փոփոխականը և ազատ անդամը բացակայում են, A և D գործակիցները հավասար են զրոյի։ Մենք ունենք՝
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Հեշտ է ցույց տալ, որ այս հարթությունն անցնում է սկզբնակետով, և x-առանցքը պատկանում է դրան:
Կետի կոորդինատները և հարթության գործակիցները փոխարինեք d հեռավորության բանաձևով, կստանանք՝
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Նշեք, որ եթե փոխեք կետի x-կոորդինատը, ապա d հեռավորությունը չի փոխվի: Այս փաստը նշանակում է, որ կետերի բազմությունը (x; -1; 2) կազմում է տրված հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գիծ։
