Գծը և հարթությունը երկու ամենակարևոր երկրաչափական տարրերն են, որոնք կարող են օգտագործվել 2D և 3D տարածության մեջ տարբեր ձևեր կառուցելու համար: Մտածեք, թե ինչպես կարելի է գտնել զուգահեռ ուղիղների և զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը:
Մաթեմատիկական առաջադրանք ուղիղ գիծ
Դպրոցական երկրաչափության դասընթացից հայտնի է, որ երկչափ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում մի գիծ կարելի է նշել հետևյալ ձևով.
y=kx + b.
Որտեղ k և b թվեր են (պարամետրեր): Հարթության մեջ ուղիղը ներկայացնելու գրավոր ձևը հարթություն է, որը զուգահեռ է z առանցքին եռաչափ տարածության մեջ։ Հաշվի առնելով այս հանգամանքը, այս հոդվածում ուղիղ գծի մաթեմատիկական նշանակման համար մենք կօգտագործենք ավելի հարմար և ունիվերսալ ձև՝ վեկտոր:
Ենթադրենք, որ մեր ուղիղը զուգահեռ է որոշ վեկտորի u¯(a, b, c) և անցնում է P կետով (x0, y0, z0): Այս դեպքում, վեկտորի տեսքով, դրա հավասարումը կներկայացվի հետևյալ կերպ՝
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Ահա λ-ն ցանկացած թիվ է: Եթե բացահայտորեն ներկայացնենք կոորդինատները՝ ընդլայնելով գրավոր արտահայտությունը, ապա կստանանք ուղիղ գիծ գրելու պարամետրային ձև։
Հարմար է աշխատել վեկտորային հավասարման հետ տարբեր խնդիրներ լուծելիս, որոնցում անհրաժեշտ է որոշել զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը։
Գծեր և նրանց միջև հեռավորությունը
Գծերի միջև հեռավորության մասին խոսելն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ դրանք զուգահեռ են (եռաչափ դեպքում կա նաև ոչ զրոյական հեռավորություն թեք գծերի միջև): Եթե ուղիղները հատվում են, ապա ակնհայտ է, որ դրանք գտնվում են միմյանցից զրոյական հեռավորության վրա։
Զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը դրանք միացնող ուղղահայաց երկարությունն է: Այս ցուցանիշը որոշելու համար բավական է տողերից մեկի վրա ընտրել կամայական կետ և ուղղահայաց գցել նրանից մյուսին։
Եկեք համառոտ նկարագրենք ցանկալի հեռավորությունը գտնելու կարգը։ Ենթադրենք, որ մենք գիտենք երկու տողերի վեկտորային հավասարումներ, որոնք ներկայացված են հետևյալ ընդհանուր ձևով՝
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Կառուցեք զուգահեռագիծ այս ուղիղների վրա այնպես, որ կողմերից մեկը լինի PQ, իսկ մյուսը, օրինակ, u: Ակնհայտ է, որ այս ցուցանիշի բարձրությունը, որը կազմված է P կետից, պահանջվող ուղղահայաց երկարությունն է: Այն գտնելու համար կարող եք կիրառել հետևյալ պարզըբանաձև՝
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Քանի որ ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունը նրանց միջև ուղղահայաց հատվածի երկարությունն է, ապա ըստ գրավոր արտահայտության բավական է գտնել PQ¯ և u¯ վեկտորային արտադրյալի մոդուլը և արդյունքը բաժանել բ. u¯ վեկտորի երկարությունը.
Ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունը որոշելու առաջադրանքի օրինակ
Երկու ուղիղ գծեր տրված են հետևյալ վեկտորային հավասարումներով.
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Գրավոր արտահայտություններից պարզ է դառնում, որ ունենք երկու զուգահեռ ուղիղ։ Իսկապես, եթե առաջին տողի ուղղության վեկտորի կոորդինատները բազմապատկենք -1-ով, ապա կստանանք երկրորդ տողի ուղղության վեկտորի կոորդինատները, ինչը ցույց է տալիս դրանց զուգահեռությունը։
Ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունը կհաշվարկվի հոդվածի նախորդ պարբերությունում գրված բանաձևով։ Մենք ունենք՝
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Այնուհետև մենք ստանում ենք՝
|u¯|=√14 սմ;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 սմ։
Նշեք, որ P և Q կետերի փոխարեն, խնդիրը լուծելու համար կարող են օգտագործվել բացարձակապես ցանկացած կետ, որը պատկանում է այս տողերին: Այս դեպքում մենք կստանանք նույն հեռավորությունը d.
հարթության սահմանում երկրաչափության մեջ
Գծերի միջև հեռավորության հարցը վերը մանրամասն քննարկվեց: Հիմա եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է գտնել զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը:
Բոլորը ներկայացնում են, թե ինչ է ինքնաթիռը: Ըստ մաթեմատիկական սահմանման՝ նշված երկրաչափական տարրը միավորների հավաքածու է։ Ավելին, եթե դուք կազմեք բոլոր հնարավոր վեկտորները՝ օգտագործելով այս կետերը, ապա դրանք բոլորն ուղղահայաց կլինեն մեկ վեկտորի: Վերջինս սովորաբար կոչվում է հարթության նորմալ:
Եռաչափ տարածության մեջ հարթության հավասարումը նշելու համար ամենից հաճախ օգտագործվում է հավասարման ընդհանուր ձևը: Կարծես հետևյալն է՝
Ax + By + Cz + D=0.
Այնտեղ, որտեղ մեծ լատինատառերը որոշ թվեր են: Հարմար է օգտագործել այս տեսակի հարթության հավասարումը, քանի որ նորմալ վեկտորի կոորդինատները հստակորեն տրված են դրանում: Դրանք են՝ A, B, C։
Հեշտ է տեսնել, որ երկու հարթություններ զուգահեռ են միայն այն դեպքում, երբ նրանց նորմալները զուգահեռ են:
Ինչպե՞ս գտնել հեռավորությունը երկու զուգահեռ հարթությունների միջև:
Նշված հեռավորությունը որոշելու համար դուք պետք է հստակ հասկանաք, թե ինչն է վտանգված: Իրար զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը հասկացվում է որպես դրանց ուղղահայաց հատվածի երկարություն: Այս հատվածի ծայրերը պատկանում են հարթություններին։
Նման խնդիրների լուծման ալգորիթմը պարզ է. Դա անելու համար հարկավոր է գտնել բացարձակապես ցանկացած կետի կոորդինատները, որը պատկանում է երկու հարթություններից մեկին: Այնուհետև դուք պետք է օգտագործեք այս բանաձևը՝
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Քանի որ հեռավորությունը դրական արժեք է, մոդուլի նշանը գտնվում է համարիչում: Գրավոր բանաձևը ունիվերսալ է, քանի որ այն թույլ է տալիս հաշվարկել հարթությունից մինչև բացարձակ ցանկացած երկրաչափական տարր: Բավական է իմանալ այս տարրի մեկ կետի կոորդինատները։
Լրիվության համար մենք նշում ենք, որ եթե երկու հարթությունների նորմալները միմյանց զուգահեռ չեն, ապա այդպիսի հարթությունները կհատվեն: Նրանց միջև հեռավորությունը կլինի զրո:
Ինքնաթիռների միջև հեռավորությունը որոշելու խնդիրը
Հայտնի է, որ երկու հարթություն տրված է հետևյալ արտահայտություններով.
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Պետք է ապացուցել, որ հարթությունները զուգահեռ են, ինչպես նաև որոշել դրանց միջև եղած հեռավորությունը։
Խնդիրի առաջին մասին պատասխանելու համար անհրաժեշտ է առաջին հավասարումը բերել ընդհանուր ձևի: Նկատի ունեցեք, որ այն տրված է այսպես կոչված հատվածներով հավասարման տեսքով: Նրա ձախ և աջ մասերը բազմապատկեք 15-ով և բոլոր անդամները տեղափոխեք հավասարման մի կողմ, կստանանք՝
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Եկեք դուրս գրենք հարթությունների երկու նորմալ վեկտորների կոորդինատները.
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Կարելի է տեսնել, որ եթե n2¯ բազմապատկենք 5-ով, ապա մենք ճշգրիտ կստանանք n1¯ կոորդինատները: Այսպիսով, դիտարկվող ինքնաթիռներն ենզուգահեռ։
Զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը հաշվարկելու համար ընտրեք դրանցից առաջինի կամայական կետը և օգտագործեք վերը նշված բանաձևը: Օրինակ՝ վերցնենք այն կետը (0, 0, 1), որը պատկանում է առաջին հարթությանը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք՝
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 սմ.
Ցանկալի հեռավորությունը 31 մմ է։
Հեռավորությունը ինքնաթիռի և գծի միջև
Տրված տեսական գիտելիքները թույլ են տալիս լուծել նաև ուղիղ գծի և հարթության միջև հեռավորությունը որոշելու խնդիրը։ Վերևում արդեն նշվեց, որ այն բանաձևը, որը վավեր է հարթությունների միջև հաշվարկների համար, ունիվերսալ է։ Այն կարող է օգտագործվել նաև խնդիրը լուծելու համար։ Դա անելու համար պարզապես ընտրեք ցանկացած կետ, որը պատկանում է տվյալ տողին։
Դիտարկվող երկրաչափական տարրերի միջև հեռավորությունը որոշելու հիմնական խնդիրը դրանց զուգահեռության ապացույցն է (եթե ոչ, ապա d=0): Զուգահեռությունը հեշտ է ապացուցել, եթե հաշվարկում ենք նորմալի սկալյար արտադրյալը և ուղղության վեկտորի ուղղությունը: Եթե դիտարկվող տարրերը զուգահեռ են, ապա այս արտադրյալը հավասար կլինի զրոյի։
