Բուրգը երկրաչափական տարածական պատկեր է, որի բնութագրերը ուսումնասիրվում են ավագ դպրոցում՝ պինդ երկրաչափության կուրսում։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք եռանկյուն բուրգը, դրա տեսակները, ինչպես նաև դրա մակերեսը հաշվարկելու բանաձևերը:
Ո՞ր բուրգի մասին է խոսքը։
Եռանկյուն բուրգը այն պատկերն է, որը կարելի է ստանալ՝ կամայական եռանկյան բոլոր գագաթները միացնելով մեկ կետի հետ, որը չի գտնվում այս եռանկյան հարթությունում: Համաձայն այս սահմանման՝ դիտարկվող բուրգը պետք է բաղկացած լինի սկզբնական եռանկյունից, որը կոչվում է նկարի հիմք, և երեք կողային եռանկյուններից, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կողմ հիմքի հետ և կապված են միմյանց մի կետում։ Վերջինս կոչվում է բուրգի գագաթ։
Վերևի նկարը ցույց է տալիս կամայական եռանկյունաձև բուրգ:
Դիտարկվող պատկերը կարող է լինել թեք կամ ուղիղ: Վերջին դեպքում, բուրգի գագաթից դեպի հիմքը ընկած ուղղահայացը պետք է հատի այն երկրաչափական կենտրոնում: ցանկացածի երկրաչափական կենտրոնըեռանկյունը նրա միջնամասերի հատման կետն է: Երկրաչափական կենտրոնը համընկնում է ֆիզիկայի գործչի զանգվածի կենտրոնի հետ։
Եթե կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյունն ընկած է ուղիղ բուրգի հիմքում, ապա այն կոչվում է կանոնավոր եռանկյուն: Կանոնավոր բուրգում բոլոր կողմերը հավասար են միմյանց և հավասարակողմ եռանկյուններ են։
Եթե կանոնավոր բուրգի բարձրությունն այնպիսին է, որ նրա կողային եռանկյունները դառնում են հավասարակողմ, ապա այն կոչվում է քառանիստ: Տետրաեդրոնում բոլոր չորս երեսները հավասար են միմյանց, ուստի դրանցից յուրաքանչյուրը կարելի է համարել հիմք։
Բուրգի տարրեր
Այս տարրերը ներառում են գործչի դեմքերը կամ կողմերը, նրա եզրերը, գագաթները, բարձրությունը և ապոտեմները:
Ինչպես ցույց է տրված, եռանկյունաձև բուրգի բոլոր կողմերը եռանկյունիներ են: Նրանց թիվը 4 է (3 կողմ և մեկ հիմքում):
Վերթերը երեք եռանկյուն կողմերի հատման կետերն են: Դժվար չէ կռահել, որ դիտարկվող բուրգի համար կա դրանցից 4-ը (3-ը պատկանում է հիմքին և 1-ը՝ բուրգի գագաթին):
Եզրերը կարող են սահմանվել որպես ուղիղներ, որոնք հատում են երկու եռանկյուն կողմերը, կամ որպես գծեր, որոնք միացնում են յուրաքանչյուր երկու գագաթը: Ծայրերի թիվը համապատասխանում է հիմքի գագաթների թվի կրկնապատիկին, այսինքն՝ եռանկյուն բուրգի համար այն 6 է (3 եզրը պատկանում է հիմքին, իսկ 3 եզրը կազմված է կողային երեսներից):
Բարձրությունը, ինչպես նշվեց վերևում, բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը գծված ուղղահայաց երկարությունն է: Եթե այս գագաթից բարձրություններ գծենք եռանկյուն հիմքի յուրաքանչյուր կողմում,ապա դրանք կկոչվեն ապոտեմներ (կամ ապոթեմներ): Այսպիսով, եռանկյուն բուրգն ունի մեկ բարձրություն և երեք ապոտեմ: Վերջիններս հավասար են միմյանց կանոնավոր բուրգի համար։
Բուրգի հիմքը և դրա մակերեսը
Քանի որ դիտարկվող պատկերի հիմքը հիմնականում եռանկյուն է, դրա մակերեսը հաշվարկելու համար բավական է գտնել նրա բարձրությունը ho և հիմքի կողմի երկարությունը: ա, որի վրա իջեցված է. Հիմքի So տարածքի բանաձևն է՝
So=1/2hoa
Եթե հիմքի եռանկյունը հավասարակողմ է, ապա եռանկյունաձև բուրգի հիմքի մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.
So=√3/4a2
Այսինքն՝ So մակերեսը եզակիորեն որոշվում է եռանկյունաձև հիմքի a կողմի երկարությամբ:
Նկարի կողմն ու ընդհանուր մակերեսը
Եռանկյուն բուրգի մակերեսը դիտարկելուց առաջ օգտակար է ցույց տալ դրա զարգացումը: Նա պատկերված է ստորև։
Չորս եռանկյուններով ձևավորված այս մաքրման տարածքը բուրգի ընդհանուր մակերեսն է: Եռանկյուններից մեկը համապատասխանում է այն հիմքին, որի դիտարկված արժեքի բանաձևը գրվել է վերևում։ Երեք կողային եռանկյուն երես միասին կազմում են գործչի կողային տարածքը: Հետևաբար, այս արժեքը որոշելու համար բավական է կիրառել վերը նշված բանաձևը կամայական եռանկյունու համար նրանցից յուրաքանչյուրին, այնուհետև ավելացնել երեք արդյունքները։
Եթե բուրգը ճիշտ է, ապա հաշվարկըկողային մակերեսը հեշտացված է, քանի որ բոլոր կողային երեսները նույնական հավասարակողմ եռանկյուններ են: Նշեք hb ապոթեմի երկարությունը, ապա կողային մակերեսի մակերեսը Sb կարող է որոշվել հետևյալ կերպ.
Sb=3/2ahb
Այս բանաձևը բխում է եռանկյան մակերեսի ընդհանուր արտահայտությունից: Թիվ 3-ը հայտնվել է համարիչների մեջ այն պատճառով, որ բուրգն ունի երեք կողային երես։
Ապոմա hb կանոնավոր բուրգում կարելի է հաշվարկել, եթե հայտնի է h նկարի բարձրությունը: Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը՝ ստանում ենք՝
hb=√(h2+ a2/12)
Ակնհայտ է, որ նկարի մակերևույթի S ընդհանուր մակերեսը հավասար է նրա կողմի և հիմքի մակերեսների գումարին.
S=So+ Sb
Կանոնավոր բուրգի համար, որը փոխարինում է բոլոր հայտնի արժեքները, ստանում ենք բանաձևը՝
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
Եռանկյուն բուրգի մակերեսը կախված է միայն նրա հիմքի կողմի երկարությունից և բարձրությունից:
Օրինակ խնդիր
Հայտնի է, որ եռանկյուն բուրգի կողային եզրը 7 սմ է, իսկ հիմքի կողմը՝ 5 սմ։ Պետք է գտնել նկարի մակերեսը, եթե գիտեք, որ բուրգը կանոնավոր է։
Օգտագործեք ընդհանուր հավասարություն.
S=So+ Sb
Տարածքը So հավասար է՝
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 սմ2.
Կողային մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել ապոտեմա: Դժվար չէ ցույց տալ, որ կողային եզրի երկարությամբ ab որոշվում է բանաձևով.
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6,538 սմ.
Այնուհետև Sb-ի մակերեսը կազմում է՝
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49,035 սմ2.
Բուրգի ընդհանուր մակերեսը կազմում է՝
S=So+ Sb=10,825 + 49,035=59,86 սմ2 :
Նշենք, որ խնդիրը լուծելիս մենք չենք օգտագործել բուրգի բարձրության արժեքը հաշվարկներում։
