Հավանականությունների տեսության ուսումնասիրությունը սկսվում է հավանականությունների գումարման և բազմապատկման խնդիրների լուծումից: Հարկ է անմիջապես նշել, որ գիտելիքների այս ոլորտը յուրացնելիս ուսանողը կարող է բախվել մի խնդրի. փորձ։
Այնուամենայնիվ, խաղը արժանի է մոմին, քանի որ բանաձևերը, որոնք դիտարկված են այս հոդվածում և ավելի բարդ, այսօր օգտագործվում են ամենուր և կարող են օգտակար լինել աշխատանքում:
Ծագում
Բավական տարօրինակ է, բայց մաթեմատիկայի այս բաժնի զարգացման խթանը … մոլախաղն էր: Իրոք, զառերը, մետաղադրամների նետումը, պոկերը, ռուլետկան բնորոշ օրինակներ են, որոնք օգտագործում են հավանականությունների գումարում և բազմապատկում: Ցանկացած դասագրքի առաջադրանքների օրինակով դա պարզ երևում է: Մարդիկ հետաքրքրված էին սովորել, թե ինչպես մեծացնել հաղթելու իրենց հնարավորությունները, և պետք է ասեմ, որ ոմանց դա հաջողվեց:
Օրինակ, արդեն 21-րդ դարում մի մարդ, ում անունը մենք չենք հրապարակի,օգտագործեց դարերի ընթացքում կուտակված այս գիտելիքները՝ բառացիորեն «մաքրելու» խաղատունը՝ շահելով մի քանի տասնյակ միլիոն դոլար ռուլետկա:
Սակայն, չնայած առարկայի նկատմամբ աճող հետաքրքրությանը, միայն 20-րդ դարում ստեղծվեց տեսական շրջանակ, որը «theorver»-ը դարձրեց մաթեմատիկայի լիարժեք բաղադրիչ: Այսօր գրեթե ցանկացած գիտության մեջ կարելի է հաշվարկներ գտնել հավանականական մեթոդներով։
Կիրառելիություն
Կարևոր կետ հավանականությունների գումարման և բազմապատկման բանաձևեր օգտագործելիս պայմանական հավանականությունը կենտրոնական սահմանային թեորեմի բավարարվածությունն է: Հակառակ դեպքում, թեև ուսանողը կարող է դա չիրականանա, սակայն բոլոր հաշվարկները, որքան էլ դրանք արժանահավատ թվան, սխալ կլինեն:
Այո, բարձր մոտիվացիա ունեցող սովորողը գայթակղվում է օգտագործել նոր գիտելիքները ամեն հնարավորության դեպքում: Բայց այս դեպքում պետք է մի փոքր դանդաղեցնել և խստորեն ուրվագծել կիրառելիության շրջանակը։
Հավանականությունների տեսությունը վերաբերում է պատահական իրադարձություններին, որոնք էմպիրիկ առումով փորձերի արդյունք են. մենք կարող ենք գլորել վեցակողմ ձագը, տախտակամածից քարտ նկարել, գուշակել թերի մասերի քանակը խմբաքանակում: Այնուամենայնիվ, որոշ հարցերում կտրականապես անհնար է օգտագործել մաթեմատիկայի այս բաժնի բանաձևերը: Իրադարձության հավանականությունների դիտարկման առանձնահատկությունները, իրադարձությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմները կքննարկենք հոդվածի վերջում, սակայն առայժմ անդրադառնանք օրինակներին։
Հիմնական հասկացություններ
Պատահական իրադարձություն նշանակում է ինչ-որ գործընթաց կամ արդյունք, որը կարող է հայտնվել կամ չհայտնվելփորձի արդյունքում։ Օրինակ, մենք սենդվիչ ենք նետում. այն կարող է ընկնել կարագը վերև կամ կարագը ներքև: Երկու արդյունքներից որևէ մեկը պատահական կլինի, և մենք նախապես չգիտենք, թե դրանցից որն է տեղի ունենալու:
Հավանականությունների գումարումն ու բազմապատկումն ուսումնասիրելիս մեզ անհրաժեշտ է ևս երկու հասկացություն:
Համատեղ իրադարձություններն այն իրադարձություններն են, որոնցից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը։ Ենթադրենք, երկու մարդ միաժամանակ կրակում են թիրախի վրա։ Եթե նրանցից մեկը հաջող կրակոց արձակի, դա չի ազդի մյուսի հարվածելու կամ վրիպելու ունակության վրա:
Անհետևողական կլինեն այնպիսի իրադարձություններ, որոնց առաջացումը միաժամանակ անհնար է։ Օրինակ, տուփից դուրս քաշելով միայն մեկ գնդակ, դուք չեք կարող միանգամից ստանալ և՛ կապույտ, և՛ կարմիր:
Նշանակում
Հավանականության հասկացությունը նշվում է լատիներեն մեծատառ P-ով: Հաջորդ փակագծերում որոշ իրադարձություններ նշող փաստարկներ են:
Հավելման թեորեմի, պայմանական հավանականության, բազմապատկման թեորեմի բանաձևերում կտեսնեք փակագծերում արտահայտություններ, օրինակ՝ A+B, AB կամ A|B։ Դրանք կհաշվարկվեն տարբեր ձևերով, այժմ մենք կանդրադառնանք դրանց։
Ավելացում
Եկեք դիտարկենք դեպքերը, երբ օգտագործվում են գումարման և բազմապատկման բանաձևեր:
Անհամատեղելի իրադարձությունների համար ամենապարզ գումարման բանաձևը տեղին է. պատահական արդյունքներից որևէ մեկի հավանականությունը հավասար կլինի այս արդյունքներից յուրաքանչյուրի հավանականությունների գումարին:
Ենթադրենք կա տուփ 2 կապույտ, 3 կարմիր և 5 դեղին փուչիկներով։ Տուփում ընդհանուր առմամբ կա 10 հատ։ Որքա՞ն է այն պնդման ճշմարտացիության տոկոսը, որ մենք կապույտ կամ կարմիր գնդակ ենք նկարելու: Այն հավասար կլինի 2/10 + 3/10, այսինքն՝ հիսուն տոկոս:
Անհամատեղելի իրադարձությունների դեպքում բանաձևը ավելի է բարդանում, քանի որ ավելացվում է լրացուցիչ տերմին։ Մենք դրան կանդրադառնանք մեկ պարբերությամբ՝ ևս մեկ բանաձև դիտարկելուց հետո։
Բազմապատկում
Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների գումարումը և բազմապատկումը կիրառվում են տարբեր դեպքերում։ Եթե, ըստ փորձի պայմանի, մենք գոհ ենք երկու հնարավոր ելքերից որևէ մեկով, մենք կհաշվարկենք գումարը. Եթե մենք ցանկանում ենք մեկը մյուսի հետևից երկու որոշակի արդյունք ստանալ, մենք կդիմենք այլ բանաձևի:
Վերադառնալով նախորդ բաժնի օրինակին, մենք ուզում ենք նախ նկարել կապույտ գնդակը, ապա կարմիրը: Առաջին թիվը, որը մենք գիտենք, 2/10-ն է: Ի՞նչ կլինի հետո։ Մնացել է 9 գնդակ, մնացել է նույնքան կարմիր՝ երեք հատ։ Ըստ հաշվարկների՝ ստանում ես 3/9 կամ 1/3։ Բայց ի՞նչ անել հիմա երկու թվի հետ: Ճիշտ պատասխանն է՝ բազմապատկել և ստանալ 2/30:
Համատեղ միջոցառումներ
Այժմ մենք կարող ենք վերանայել համատեղ միջոցառումների գումարի բանաձևը: Ինչո՞ւ ենք շեղվում թեմայից։ Իմանալ, թե ինչպես են հավանականությունները բազմապատկվում: Այժմ այս գիտելիքը օգտակար կլինի:
Մենք արդեն գիտենք, թե որոնք են լինելու առաջին երկու անդամները (նույնը, ինչ նախկինում դիտարկված գումարման բանաձևում), այժմ մենք պետք է հանենքհավանականությունների արտադրյալը, որը մենք հենց նոր սովորեցինք հաշվել: Պարզության համար մենք գրում ենք բանաձևը. P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB): Ստացվում է, որ հավանականությունների և՛ գումարումը, և՛ բազմապատկումը օգտագործվում են մեկ արտահայտության մեջ։
Ենթադրենք, որ վարկ ստանալու համար պետք է լուծենք երկու խնդիրներից որևէ մեկը: Առաջինը կարող ենք լուծել 0,3 հավանականությամբ, իսկ երկրորդը՝ 0,6 Լուծում 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Նկատի ունեցեք, որ այստեղ թվերը պարզապես գումարելը բավարար չի լինի։
Պայմանական հավանականություն
Վերջապես կա պայմանական հավանականություն հասկացությունը, որի արգումենտները նշված են փակագծերում և առանձնացված ուղղահայաց տողով։ P(A|B) մուտքագրում ասվում է հետևյալը. «A իրադարձության հավանականությունը տրված իրադարձության B»:
Եկեք մի օրինակ նայենք. ընկերը ձեզ ինչ-որ սարք է տալիս, թող դա լինի հեռախոս: Այն կարող է կոտրվել (20%) կամ լավ (80%): Դուք կարողանում եք 0,4 հավանականությամբ ձեր ձեռքն ընկած ցանկացած սարք վերանորոգել կամ չեք կարողանում դա անել (0,6)։ Ի վերջո, եթե սարքը աշխատում է, կարող եք հասնել ճիշտ մարդուն 0,7 հավանականությամբ:
Հեշտ է տեսնել, թե այս դեպքում ինչպես է աշխատում պայմանական հավանականությունը. չես կարող մարդուն հասնել, եթե հեռախոսը կոտրված է, իսկ եթե այն լավ է, ապա պետք չէ այն շտկել: Այսպիսով, «երկրորդ մակարդակում» որևէ արդյունք ստանալու համար դուք պետք է իմանաք, թե ինչ իրադարձություն է իրականացվել առաջինում։
Հաշվարկներ
Դիտարկենք հավանականությունների գումարման և բազմապատկման վերաբերյալ խնդիրների լուծման օրինակներ՝ օգտագործելով նախորդ պարբերության տվյալները։
Նախ, եկեք գտնենք հավանականությունը, որ դուքվերանորոգեք ձեզ տրված սարքը. Դա անելու համար, նախ, այն պետք է լինի անսարք, և երկրորդ, դուք պետք է հաղթահարեք վերանորոգումը: Սա տիպիկ բազմապատկման խնդիր է՝ ստանում ենք 0.20.4=0.08.
Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դուք անմիջապես կհասնեք ճիշտ մարդուն: Ավելի հեշտ է, քան պարզը՝ 0,80,7=0,56: Այս դեպքում դուք հայտնաբերեցիք, որ հեռախոսն աշխատում է և հաջողությամբ զանգահարեցիք:
Վերջապես դիտարկեք այս սցենարը. դուք ստացել եք կոտրված հեռախոս, ուղղել եք այն, ապա հավաքել եք համարը, իսկ հակառակ ծայրում գտնվող անձը պատասխանել է հեռախոսին: Այստեղ արդեն պահանջվում է երեք բաղադրիչների բազմապատկում՝ 0, 20, 40, 7=0, 056։
Իսկ եթե ունեք միանգամից երկու չաշխատող հեռախոս: Որքա՞ն հավանական է, որ դուք շտկեք դրանցից գոնե մեկը: Սա հավանականությունների գումարման և բազմապատկման խնդիր է, քանի որ օգտագործվում են համատեղ իրադարձություններ։ Լուծում. 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Զգույշ օգտագործում
Ինչպես նշվեց հոդվածի սկզբում, հավանականությունների տեսության օգտագործումը պետք է լինի կանխամտածված և գիտակցված:
Որքան մեծ լինի փորձերի շարքը, այնքան տեսականորեն կանխատեսված արժեքը մոտենում է գործնականին: Օրինակ՝ մետաղադրամ ենք նետում։ Տեսականորեն, իմանալով հավանականությունների գումարման և բազմապատկման բանաձևերի առկայության մասին, մենք կարող ենք կանխատեսել, թե քանի անգամ գլուխներն ու պոչերը կընկնեն, եթե փորձը կատարենք 10 անգամ։ Մենք փորձ արեցինք ևՊատահաբար, ընկած կողմերի հարաբերակցությունը եղել է 3-ը 7-ի: Բայց եթե դուք կատարում եք 100, 1000 կամ ավելի փորձերի շարք, ապա ստացվում է, որ բաշխման գրաֆիկը գնալով մոտենում է տեսականին. 44-ից 56-ը, 482-ից մինչև 518 և այլն։
Այժմ պատկերացրեք, որ այս փորձը կատարվում է ոչ թե մետաղադրամով, այլ ինչ-որ նոր քիմիական նյութի արտադրությամբ, որի հավանականությունը մենք չգիտենք։ Մենք 10 փորձ կկատարեինք, և եթե հաջող արդյունք չստանայինք, կարող էինք ընդհանրացնել՝ «նյութը հնարավոր չէ ստանալ»։ Բայց ո՞վ գիտի, եթե տասնմեկերորդ փորձն անեինք, կհասնեի՞նք նպատակին, թե՞ ոչ։
Այսպիսով, եթե դուք գնում եք դեպի անհայտ, չուսումնասիրված տիրույթ, հավանականության տեսությունը կարող է չկիրառվել: Այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ փորձ կարող է հաջող լինել, և ընդհանրացումները, ինչպիսիք են «X-ը գոյություն չունի» կամ «X-ն անհնար է», վաղաժամ կլինեն:
Փակող խոսք
Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք գումարման երկու տեսակ՝ բազմապատկման և պայմանական հավանականությունների: Այս ոլորտի հետագա ուսումնասիրությամբ անհրաժեշտ է սովորել տարբերակել իրավիճակները, երբ օգտագործվում է յուրաքանչյուր կոնկրետ բանաձև: Բացի այդ, դուք պետք է հասկանաք, թե արդյոք հավանական մեթոդները ընդհանուր առմամբ կիրառելի են ձեր խնդիրը լուծելու համար:
Եթե պարապեք, որոշ ժամանակ անց կսկսեք իրականացնել բոլոր անհրաժեշտ գործողությունները բացառապես ձեր մտքում։ Թղթախաղերի սիրահարների համար այս հմտությունը կարելի է համարելչափազանց արժեքավոր - դուք զգալիորեն կբարձրացնեք ձեր հաղթելու հնարավորությունները՝ պարզապես հաշվարկելով որոշակի քարտի կամ կոստյումի ընկնելու հավանականությունը: Այնուամենայնիվ, ձեռք բերված գիտելիքները հեշտությամբ կարող են կիրառվել գործունեության այլ ոլորտներում:
