Մեխանիկական համակարգը, որը բաղկացած է նյութական կետից (մարմնից), որը կախված է միատեսակ ձգողականության դաշտում անտարբեր անկշռելի թելից (նրա զանգվածը չնչին է մարմնի քաշի համեմատ), կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակ (մեկ այլ անուն՝ տատանվող): Այս սարքի այլ տեսակներ կան. Թելի փոխարեն կարելի է օգտագործել անկշիռ ձող։ Մաթեմատիկական ճոճանակը կարող է հստակ բացահայտել բազմաթիվ հետաքրքիր երեւույթների էությունը։ Տատանումների փոքր ամպլիտուդով նրա շարժումը կոչվում է ներդաշնակ։
Մեխանիկական համակարգի ակնարկ
Այս ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի բանաձևը ստացվել է հոլանդացի գիտնական Հյուգենսի կողմից (1629-1695): Ի. Նյուտոնի այս ժամանակակիցը շատ էր սիրում այս մեխանիկական համակարգը։ 1656 թվականին նա ստեղծեց առաջին ճոճանակով ժամացույցը։ Նրանք ժամանակը չափում էին բացառիկներովայդ ժամանակների ճշգրտության համար: Այս գյուտը դարձել է ֆիզիկական փորձերի և գործնական գործունեության զարգացման կարևորագույն իրադարձություն:
Եթե ճոճանակը գտնվում է հավասարակշռության մեջ (կախված ուղղահայաց), ապա ձգողության ուժը կհավասարակշռվի թելի ձգման ուժով: Հարթ ճոճանակը անտարբեր թելի վրա երկու աստիճանի ազատության համակարգ է միացումով: Երբ դուք փոխում եք միայն մեկ բաղադրիչ, փոխվում են դրա բոլոր մասերի բնութագրերը: Այսպիսով, եթե թելը փոխարինվի ձողով, ապա այս մեխանիկական համակարգը կունենա ընդամենը 1 աստիճան ազատություն։ Որո՞նք են մաթեմատիկական ճոճանակի հատկությունները: Այս ամենապարզ համակարգում քաոսն առաջանում է պարբերական շեղումների ազդեցության տակ։ Այն դեպքում, երբ կախման կետը չի շարժվում, այլ տատանվում է, ճոճանակն ունի նոր հավասարակշռության դիրք։ Արագ վեր ու վար տատանումներով այս մեխանիկական համակարգը ձեռք է բերում կայուն գլխիվայր դիրք: Նա նաև իր անունն ունի։ Այն կոչվում է Կապիցայի ճոճանակ։
Ճոճանակի հատկություններ
Մաթեմատիկական ճոճանակն ունի շատ հետաքրքիր հատկություններ։ Դրանք բոլորը հաստատված են հայտնի ֆիզիկական օրենքներով։ Ցանկացած այլ ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված է տարբեր հանգամանքներից, ինչպիսիք են մարմնի չափը և ձևը, կախվածության կետի և ծանրության կենտրոնի միջև եղած հեռավորությունը, զանգվածի բաշխումը այս կետի նկատմամբ: Այդ իսկ պատճառով կախված մարմնի ժամկետը որոշելը բավականին բարդ խնդիր է։ Շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը, որի բանաձևը կներկայացնենք ստորև։ Դիտարկումների արդյունքում համանմանմեխանիկական համակարգերը կարող են հաստատել հետևյալ օրինաչափությունները՝
• Եթե, պահպանելով ճոճանակի նույն երկարությունը, կախենք տարբեր կշիռներ, ապա դրանց տատանումների ժամանակաշրջանը կլինի նույնը, թեև դրանց զանգվածները շատ կտարբերվեն: Հետևաբար, նման ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ բեռի զանգվածից։
• Համակարգը գործարկելիս, եթե ճոճանակը շեղվում է ոչ շատ մեծ, բայց տարբեր անկյուններով, այն կսկսի տատանվել նույն պարբերությամբ, բայց տարբեր ամպլիտուդներով: Քանի դեռ հավասարակշռության կենտրոնից շեղումները չափազանց մեծ չեն, դրանց տեսքով տատանումները բավականին մոտ կլինեն ներդաշնակներին։ Նման ճոճանակի պարբերությունը ոչ մի կերպ կախված չէ տատանման ամպլիտուդից։ Այս մեխանիկական համակարգի այս հատկությունը կոչվում է իզոխրոնիզմ (թարգմանաբար հունարեն «chronos»-ից՝ ժամանակ, «isos»՝ հավասար):
Մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակաշրջան
Այս ցուցանիշը ներկայացնում է բնական տատանումների ժամանակաշրջանը։ Չնայած բարդ ձևակերպմանը, գործընթացն ինքնին շատ պարզ է: Եթե մաթեմատիկական ճոճանակի թելի երկարությունը L է, իսկ ազատ անկման արագացումը՝ g, ապա այս արժեքը՝
T=2π√L/g
Բնական փոքր տատանումների ժամանակաշրջանը ոչ մի կերպ կախված չէ ճոճանակի զանգվածից և տատանումների ամպլիտուդից։ Այս դեպքում ճոճանակը շարժվում է մաթեմատիկական ճոճանակի պես՝ կրճատված երկարությամբ։
Մաթեմատիկական ճոճանակի ճոճանակներ
Մաթեմատիկական ճոճանակը տատանվում է, որը կարելի է նկարագրել պարզ դիֆերենցիալ հավասարմամբ.
x + ω2 մեղք x=0, որտեղ x (t) անհայտ ֆունկցիա է (սա ստորինից շեղման անկյունն էհավասարակշռության դիրքը t ժամանակում, արտահայտված ռադիաններով); ω-ն դրական հաստատուն է, որը որոշվում է ճոճանակի պարամետրերից (ω=√g/L, որտեղ g-ը ազատ անկման արագացումն է, իսկ L-ն՝ մաթեմատիկական ճոճանակի երկարությունը (կախոց):
Հավասարակշռության դիրքի մոտ փոքր տատանումների հավասարումը (ներդաշնակ հավասարում) ունի հետևյալ տեսքը՝
x + ω2 մեղք x=0
Ճոճանակի տատանողական շարժումներ
Մաթեմատիկական ճոճանակ, որը փոքր տատանումներ է անում, շարժվում է սինուսոիդի երկայնքով: Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը համապատասխանում է նման շարժման բոլոր պահանջներին և պարամետրերին: Հետագիծը որոշելու համար դուք պետք է նշեք արագությունը և կոորդինատը, որից հետո որոշվում են անկախ հաստատունները՝
x=Մեղք (θ0 + ωt), որտեղ θ0-ը սկզբնական փուլն է, A-ն տատանման ամպլիտուդան է, ω-ն շարժման հավասարումից որոշված ցիկլային հաճախականությունն է:
Մաթեմատիկական ճոճանակ (բանաձևեր մեծ ամպլիտուդների համար)
Այս մեխանիկական համակարգը, որն իր տատանումները կատարում է զգալի ամպլիտուդով, ենթարկվում է շարժման ավելի բարդ օրենքներին։ Նման ճոճանակի համար դրանք հաշվարկվում են բանաձևով՝
sin x/2=usn(ωt/u), որտեղ sn-ը Jacobi սինուսն է, որը u-ի համար < 1 պարբերական ֆունկցիա է, իսկ փոքր u-ի համար այն համընկնում է պարզ եռանկյունաչափական սինուսի հետ։ u-ի արժեքը որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ՝
u=(ε + ω2)/2ω2, որտեղ ε=E/mL2 (mL2-ը ճոճանակի էներգիան է):
Ոչ գծային ճոճանակի տատանումների պարբերության որոշումըիրականացվում է ըստ բանաձևի՝
T=2π/Ω, որտեղ Ω=π/2ω/2K(u), K-ն էլիպսային ինտեգրալն է, π - 3, 14.
Ճոճանակի շարժում տարանջատման երկայնքով
Առանձնացումը դինամիկ համակարգի հետագիծ է՝ երկչափ փուլային տարածությամբ: Մաթեմատիկական ճոճանակը շարժվում է նրա երկայնքով ոչ պարբերական։ Ժամանակի անսահման հեռավոր պահին այն զրոյական արագությամբ ընկնում է ծայրահեղ վերին դիրքից դեպի կողմը, այնուհետև աստիճանաբար վերցնում է այն: Այն ի վերջո դադարում է՝ վերադառնալով իր սկզբնական դիրքին։
Եթե ճոճանակի տատանումների ամպլիտուդը մոտենում է π թվին, դա ցույց է տալիս, որ ֆազային հարթության վրա շարժումը մոտենում է բաժանարարին: Այս դեպքում, փոքր շարժիչ ուժի ազդեցության տակ, մեխանիկական համակարգը դրսևորում է քաոսային վարքագիծ:
Երբ մաթեմատիկական ճոճանակը շեղվում է հավասարակշռության դիրքից որոշակի φ անկյան տակ, առաջանում է ձգողականության շոշափող ուժ Fτ=–mg sin φ: Մինուս նշանը նշանակում է, որ այս շոշափող բաղադրիչն ուղղված է ճոճանակի շեղումից հակառակ ուղղությամբ: Երբ ճոճանակի տեղաշարժը L շառավղով շրջանագծի աղեղի երկայնքով նշանակվում է x-ով, նրա անկյունային տեղաշարժը հավասար է φ=x/L: Իսահակ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը, որը նախատեսված է արագացման վեկտորի և ուժի կանխատեսումների համար, կտա ցանկալի արժեքը՝
մգ τ=Fτ=–մգ մեղք x/L
Այս հարաբերակցության հիման վրա պարզ է դառնում, որ այս ճոճանակը ոչ գծային համակարգ է, քանի որ այն ուժը, որը ձգտում է վերադառնալ.այն հավասարակշռության դիրքին, միշտ համաչափ է ոչ թե x-ի տեղաշարժին, այլ sin x/L-ին:
Միայն այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական ճոճանակը կատարում է փոքր տատանումներ, այն ներդաշնակ տատանվող է: Այսինքն՝ այն դառնում է ներդաշնակ թրթռումներ կատարելու ունակ մեխանիկական համակարգ։ Այս մոտարկումը գործնականում վավեր է 15–20° անկյունների համար: Մեծ ամպլիտուդներով ճոճանակի տատանումները ներդաշնակ չեն։
Նյուտոնի օրենքը ճոճանակի փոքր տատանումների համար
Եթե այս մեխանիկական համակարգը կատարում է փոքր թրթռումներ, ապա Նյուտոնի 2-րդ օրենքը կունենա հետևյալ տեսքը՝
մգ τ=Fτ=–m g/L x.
Սրանից ելնելով կարող ենք եզրակացնել, որ մաթեմատիկական ճոճանակի շոշափելի արագացումը համաչափ է նրա տեղաշարժին մինուս նշանով։ Սա այն պայմանն է, որի պատճառով համակարգը դառնում է ներդաշնակ տատանվող: Տեղաշարժման և արագացման միջև համամասնական շահույթի մոդուլը հավասար է շրջանաձև հաճախականության քառակուսուն:
ω02=գ/լ; ω0=√ գ/լ.
Այս բանաձևը արտացոլում է այս տեսակի ճոճանակի փոքր տատանումների բնական հաճախականությունը։ Ելնելով դրանից՝
T=2π/ ω0=2π√ գ/լ.
Հաշվարկներ՝ հիմնված էներգիայի պահպանման օրենքի վրա
Ճոճանակի տատանողական շարժումների հատկությունները կարելի է նկարագրել նաև էներգիայի պահպանման օրենքի միջոցով։ Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ գրավիտացիոն դաշտում ճոճանակի պոտենցիալ էներգիան է՝
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Ընդհանուր մեխանիկական էներգիահավասար է կինետիկ կամ առավելագույն պոտենցիալին՝ Epmax=Ekmsx=E
Էներգիայի պահպանման օրենքը գրելուց հետո վերցրեք հավասարման աջ և ձախ կողմերի ածանցյալը՝
Ep + Ek=const
Քանի որ հաստատուն արժեքների ածանցյալը 0 է, ապա (Ep + Ek)'=0: Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին.
Ep'=(mg/Lx2/2)'=մգ/2L2xx'=մգ/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, հետևաբար՝
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Վերջին բանաձևի հիման վրա մենք գտնում ենք՝ α=- g/Lx.
Մաթեմատիկական ճոճանակի գործնական կիրառում
Ազատ անկման արագացումը կախված է աշխարհագրական լայնությունից, քանի որ երկրակեղևի խտությունը ամբողջ մոլորակում նույնը չէ: Այնտեղ, որտեղ ավելի մեծ խտությամբ ժայռեր են առաջանում, այն որոշ չափով ավելի բարձր կլինի: Մաթեմատիկական ճոճանակի արագացումը հաճախ օգտագործվում է երկրաբանական հետախուզման համար։ Այն օգտագործվում է տարբեր օգտակար հանածոների որոնման համար: Պարզապես, հաշվելով ճոճանակի ճոճանակների քանակը, դուք կարող եք ածուխ կամ հանքաքար գտնել Երկրի աղիքներում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման բրածոներն ունեն ավելի մեծ խտություն և զանգված, քան դրանց հիմքում ընկած չամրացված ապարները։
Մաթեմատիկական ճոճանակն օգտագործել են այնպիսի նշանավոր գիտնականներ, ինչպիսիք են Սոկրատեսը, Արիստոտելը, Պլատոնը, Պլուտարքոսը, Արքիմեդը: Նրանցից շատերը կարծում էին, որ այս մեխանիկական համակարգը կարող է ազդել մարդու ճակատագրի և կյանքի վրա։ Արքիմեդն իր հաշվարկներում օգտագործել է մաթեմատիկական ճոճանակ։ Մեր օրերում շատ օկուլտիստներ և էքստրասենսներօգտագործեք այս մեխանիկական համակարգը իրենց մարգարեությունները կատարելու կամ անհայտ կորած մարդկանց փնտրելու համար:
Հայտնի ֆրանսիացի աստղագետ և բնագետ Կ. Ֆլամարիոնը նույնպես իր հետազոտության համար օգտագործել է մաթեմատիկական ճոճանակ։ Նա պնդում էր, որ իր օգնությամբ կարողացել է գուշակել նոր մոլորակի հայտնաբերումը, Տունգուսկա երկնաքարի հայտնվելը և այլ կարևոր իրադարձություններ։ Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի տարիներին Գերմանիայում (Բեռլին) աշխատել է ճոճանակի մասնագիտացված ինստիտուտ։ Այսօր նմանատիպ հետազոտություններով է զբաղվում Մյունխենի պարահոգեբանության ինստիտուտը։ Այս հաստատության աշխատակիցները ճոճանակով իրենց աշխատանքը անվանում են «ռադիեսթեզիա»:
