Ոլորող մոմենտ. Ոլորող մոմենտ՝ բանաձև: Ուժի պահ. սահմանում

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Ռոտացիան մեխանիկական շարժման տիպիկ տեսակ է, որը հաճախ հանդիպում է բնության և տեխնիկայի մեջ: Ցանկացած պտույտ առաջանում է դիտարկվող համակարգի վրա ինչ-որ արտաքին ուժի գործողության արդյունքում։ Այս ուժը ստեղծում է այսպես կոչված ոլորող մոմենտ: Ինչ է դա, ինչից է կախված, քննարկվում է հոդվածում։

Ռոտացիայի գործընթաց

Մինչ ոլորող մոմենտ հասկացությունը քննարկելը, եկեք բնութագրենք այն համակարգերը, որոնց վրա կարող է կիրառվել այս հայեցակարգը: Պտտման համակարգը ենթադրում է իր մեջ առանցքի առկայություն, որի շուրջ կատարվում է շրջանաձև շարժում կամ պտույտ։ Այս առանցքից մինչև համակարգի նյութական կետերի հեռավորությունը կոչվում է պտտման շառավիղ։

Կինեմատիկայի տեսանկյունից գործընթացը բնութագրվում է երեք անկյունային արժեքներով.

պտտման անկյուն θ (չափված ռադիաններով);
անկյունային արագություն ω (չափված ռադիաններով վայրկյանում);
անկյունային արագացում α (չափված ռադիաններով մեկ քառակուսի վայրկյանում):

Այս մեծությունները միմյանց հետ կապված են հետևյալ կերպհավասար է՝

ω=dθ/dt;

α=dω/dt.

Բնության մեջ պտտման օրինակներ են մոլորակների շարժումներն իրենց ուղեծրերում և առանցքների շուրջ, տորնադոների շարժումները: Առօրյա կյանքում և տեխնիկայում խնդրո առարկա շարժումը բնորոշ է շարժիչի շարժիչներին, բանալիների, շինարարական ամբարձիչների, դռների բացմանը և այլն:

Ուժի պահի որոշում

Այժմ անցնենք հոդվածի բուն թեմային։ Ըստ ֆիզիկական սահմանման՝ ուժի մոմենտը ուժի կիրառման վեկտորի վեկտորային արտադրյալն է՝ պտտման առանցքի և բուն ուժի վեկտորի նկատմամբ։ Համապատասխան մաթեմատիկական արտահայտությունը կարելի է գրել այսպես՝

M¯=[r¯F¯].

Այստեղ r¯ վեկտորն ուղղված է պտտման առանցքից F¯ ուժի կիրառման կետ:

Այս ոլորող մոմենտ M¯ բանաձևում F¯ ուժը կարող է ուղղվել առանցքի ուղղության ցանկացած ուղղությամբ: Այնուամենայնիվ, առանցքի զուգահեռ ուժի բաղադրիչը չի ստեղծի պտույտ, եթե առանցքը կոշտ ամրացված է: Ֆիզիկայի խնդիրների մեծ մասում պետք է հաշվի առնել F¯ ուժերը, որոնք գտնվում են պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթություններում: Այս դեպքերում ոլորող մոմենտների բացարձակ արժեքը կարող է որոշվել հետևյալ բանաձևով.

|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).

Որտեղ β անկյունն է r¯ և F¯ վեկտորների միջև:

Ի՞նչ է լծակը:

Ուժի լծակը կարևոր դեր է խաղում ուժի պահի մեծությունը որոշելու հարցում։ Հասկանալու համար, թե ինչի մասին է խոսքը, հաշվի առեքհաջորդ նկարը։

Այստեղ մենք ցույց ենք տալիս L երկարությամբ մի ձող, որը ամրացված է առանցքի կետում իր ծայրերից մեկով: Մյուս ծայրի վրա գործում է F ուժը, որն ուղղված է φ սուր անկյան տակ: Ըստ ուժի պահի սահմանման կարելի է գրել՝

M=FLsin(180^o-φ).

Անկյուն (180^o-φ) հայտնվել է, քանի որ L¯ վեկտորն ուղղված է ֆիքսված ծայրից դեպի ազատ ծայրը: Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական սինուսի ֆունկցիայի պարբերականությունը՝ մենք կարող ենք այս հավասարությունը վերաշարադրել հետևյալ ձևով՝

M=FLsin(φ).

Այժմ ուշադրություն դարձնենք L, d և F կողմերի վրա կառուցված ուղղանկյուն եռանկյունին: Ըստ սինուսի ֆունկցիայի սահմանման, L հիպոթենուսի և φ անկյան սինուսի արտադրյալը տալիս է d ոտքի արժեքը: Հետո մենք հասնում ենք հավասարությանը.

M=Fd.

Գծային արժեքը d կոչվում է ուժի լծակ: Այն հավասար է F¯ ուժի վեկտորից մինչև պտտման առանցքի հեռավորությանը: Ինչպես երևում է բանաձևից, M մոմենտը հաշվարկելիս հարմար է օգտագործել ուժային լծակի գաղափարը: Ստացված բանաձևն ասում է, որ F որոշ ուժի առավելագույն ոլորող մոմենտը տեղի կունենա միայն այն դեպքում, երբ շառավիղի վեկտորի երկարությունը r¯ (L¯ վերևի նկարում) հավասար է ուժի լծակի, այսինքն, r¯ և F¯ միմյանց ուղղահայաց կլինեն:

M¯

ուղղություն

Վերևում ցույց տրվեց, որ ոլորող մոմենտը տվյալ համակարգի վեկտորային հատկանիշ է: Ո՞ւր է ուղղված այս վեկտորը: Պատասխանեք այս հարցին՝ ոչհատկապես դժվար է, եթե հիշենք, որ երկու վեկտորների արտադրյալի արդյունքը երրորդ վեկտորն է, որն ընկած է սկզբնական վեկտորների հարթությանը ուղղահայաց առանցքի վրա։

Մնում է որոշել, թե արդյոք ուժի պահը նշված հարթության նկատմամբ կուղղվի դեպի վեր, թե վար (դեպի ընթերցողից կամ հեռու): Դուք կարող եք դա որոշել կամ գիմլետի կանոնով, կամ օգտագործելով աջ ձեռքի կանոնը: Ահա երկու կանոններն էլ՝

Աջ ձեռքի կանոն. Եթե աջ ձեռքը դնեք այնպես, որ նրա չորս մատները շարժվեն r¯ վեկտորի սկզբից մինչև վերջ, իսկ հետո F¯ վեկտորի սկզբից մինչև վերջ, ապա բթամատը, դուրս ցցված, ցույց կտա. պահի ուղղությունը M¯.
Gimlet կանոն. Եթե երևակայական միջնապատի պտտման ուղղությունը համընկնում է համակարգի պտտման ուղղության հետ, ապա գիմլետի փոխադրական շարժումը ցույց կտա M¯ վեկտորի ուղղությունը: Հիշեցնենք, որ այն պտտվում է միայն ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։

Երկու կանոններն էլ հավասար են, այնպես որ յուրաքանչյուրը կարող է օգտագործել իր համար ավելի հարմարը։

Գործնական խնդիրներ լուծելիս հաշվի է առնվում պտտման տարբեր ուղղությունը (վեր - վար, ձախ - աջ) օգտագործելով «+» կամ «-» նշանները։ Պետք է հիշել, որ M¯ պահի դրական ուղղությունը համարվում է այն, որը հանգեցնում է համակարգի պտույտի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Համապատասխանաբար, եթե ինչ-որ ուժ հանգեցնի համակարգի պտույտին ժամացույցի ուղղությամբ, ապա դրա ստեղծած պահը բացասական արժեք կունենա։

Ֆիզիկական իմաստքանակություններ M¯

Պտտման ֆիզիկայում և մեխանիկայում M¯ արժեքը որոշում է ուժի կամ ուժերի գումարի պտտման կարողությունը: Քանի որ M¯ մեծության մաթեմատիկական սահմանումը պարունակում է ոչ միայն ուժ, այլ նաև դրա կիրառման շառավիղ վեկտորը, վերջինս մեծապես որոշում է նշված պտտման ունակությունը: Որպեսզի ավելի պարզ լինի, թե ինչ կարողության մասին է խոսքը, ահա մի քանի օրինակ՝

Յուրաքանչյուր մարդ կյանքում գոնե մեկ անգամ փորձել է դուռը բացել ոչ թե բռնելով, այլ այն ծխնիներին մոտեցնելով։ Վերջին դեպքում դուք պետք է զգալի ջանքեր գործադրեք ցանկալի արդյունքի հասնելու համար։
Պտուտակից ընկույզը հանելու համար օգտագործեք հատուկ բանալիներ: Որքան երկար է բանալին, այնքան ավելի հեշտ է թուլացնել ընկույզը:
Իշխանության լծակի կարևորությունը զգալու համար ընթերցողներին հրավիրում ենք կատարել հետևյալ փորձը՝ վերցնել աթոռը և փորձել այն պահել մի ձեռքով ծանրության վրա, մի դեպքում՝ ձեռքը հենել մարմնին. մյուսը կատարել առաջադրանքը ուղիղ ձեռքի վրա: Վերջինս շատերի համար ճնշող խնդիր կլինի, թեև աթոռի քաշը մնացել է նույնը։

Ուժի մոմենտի միավոր

Մի քանի խոսք պետք է ասել նաև SI միավորների մասին, որոնցում չափվում է ոլորող մոմենտը: Համաձայն դրա համար գրված բանաձևի, այն չափվում է նյուտոններով մեկ մետրի համար (Nm): Այնուամենայնիվ, այս միավորները չափում են նաև աշխատանքը և էներգիան ֆիզիկայում (1 Nm=1 ջուլ): M¯ պահի ջոուլը չի կիրառվում, քանի որ աշխատանքը սկալյար մեծություն է, մինչդեռ M¯-ը վեկտոր է:

ԱյնուամենայնիվՈւժի պահի միավորների համընկնումը էներգիայի միավորների հետ պատահական չէ։ Համակարգի պտույտի վրա կատարված աշխատանքը M պահով հաշվարկվում է բանաձևով՝

A=Mθ.

Որտեղ մենք ստանում ենք, որ M-ը կարող է նաև արտահայտվել ջոուլներով մեկ ռադիանի համար (J/rad):

Ռոտացիայի դինամիկա

Հոդվածի սկզբում մենք գրեցինք կինեմատիկական բնութագրերը, որոնք օգտագործվում են պտույտի շարժումը նկարագրելու համար: Պտտման դինամիկայի մեջ հիմնական հավասարումը, որն օգտագործում է այս բնութագրերը, հետևյալն է՝

M=Iα.

Մ մոմենտի գործողությունը I իներցիայի մոմենտ ունեցող համակարգի վրա հանգեցնում է α անկյունային արագացման:

Այս բանաձևը օգտագործվում է տեխնոլոգիայում պտտման անկյունային հաճախականությունները որոշելու համար: Օրինակ, իմանալով ասինխրոն շարժիչի ոլորող մոմենտը, որը կախված է ստատորի կծիկում հոսանքի հաճախականությունից և փոփոխվող մագնիսական դաշտի մեծությունից, ինչպես նաև իմանալով պտտվող ռոտորի իներցիոն հատկությունները, հնարավոր է որոշել. Ինչ պտտման արագությամբ ω շարժիչի ռոտորը պտտվում է հայտնի ժամանակում t։

Խնդիրների լուծման օրինակ

Անկշիռ լծակ, 2 մետր երկարությամբ, մեջտեղում ունի հենարան։ Ի՞նչ քաշ պետք է դնել լծակի մի ծայրին, որպեսզի այն գտնվի հավասարակշռության վիճակում, եթե հենարանի մյուս կողմում նրանից 0,5 մետր հեռավորության վրա ընկած է 10 կգ զանգված։

Ակնհայտ է, որ լծակի հավասարակշռությունը կգա, եթե բեռների կողմից ստեղծված ուժերի պահերը բացարձակ արժեքով հավասար լինեն։ Ստեղծող ուժըայս խնդրի պահը ներկայացնում է մարմնի քաշը: Ուժի լծակները հավասար են կշիռներից մինչև հենարան հեռավորություններին։ Գրենք համապատասխան հավասարությունը՝