Այս հոդվածում մեթոդը դիտարկվում է որպես գծային հավասարումների համակարգերի լուծման միջոց (SLAE): Մեթոդը վերլուծական է, այսինքն՝ թույլ է տալիս գրել լուծման ընդհանուր ալգորիթմ, այնուհետև այնտեղ փոխարինել արժեքները կոնկրետ օրինակներից: Ի տարբերություն մատրիցային մեթոդի կամ Քրամերի բանաձևերի, Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգ լուծելիս կարելի է աշխատել նաև անսահման շատ լուծումներ ունեցողների հետ։ Կամ ընդհանրապես չունեմ:
Ի՞նչ է նշանակում լուծել Գաուսի մեթոդով:
Նախ, մենք պետք է գրենք մեր հավասարումների համակարգը որպես մատրիցա: Կարծես սա է. Համակարգը վերցված է՝
Գործակիցները գրվում են աղյուսակի տեսքով, իսկ աջ կողմում՝ առանձին սյունակում՝ ազատ անդամներ։ Ազատ անդամներով սյունակը հարմարության համար առանձնացված է ուղղահայաց բարով: Այս սյունակը ներառող մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։
Հաջորդ, գործակիցներով հիմնական մատրիցը պետք է կրճատվի մինչև վերին եռանկյունի ձևը: Սա Գաուսի մեթոդով համակարգը լուծելու հիմնական կետն է։ Պարզ ասած՝ որոշակի մանիպուլյացիաներից հետո մատրիցը պետք է այսպիսի տեսք ունենա, որպեսզի նրա ներքևի ձախ մասում լինեն միայն զրոներ՝
Այնուհետև, եթե նորից գրեք նոր մատրիցը որպես հավասարումների համակարգ, կնկատեք, որ վերջին տողն արդեն պարունակում է արմատներից մեկի արժեքը, որն այնուհետև փոխարինվում է վերևի հավասարման մեջ, կգտնվի մեկ այլ արմատ. և այլն։
Սա Գաուսի լուծման նկարագրությունն է ամենաընդհանուր տերմիններով: Իսկ ի՞նչ կլինի, եթե հանկարծ համակարգը լուծում չունենա։ Թե՞ դրանք անսահման թվով են։ Այս և շատ այլ հարցերին պատասխանելու համար անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել Գաուսի մեթոդով լուծման մեջ օգտագործվող բոլոր տարրերը։
Մատրիցներ, դրանց հատկությունները
Մատրիցայում թաքնված իմաստ չկա: Դա պարզապես հարմար միջոց է տվյալների գրանցման համար հետագա գործողությունների համար: Անգամ դպրոցականները չպետք է վախենան նրանցից։
Մատրիցը միշտ ուղղանկյուն է, քանի որ այն ավելի հարմար է: Նույնիսկ Գաուսի մեթոդով, որտեղ ամեն ինչ հանգում է եռանկյունաձև մատրիցայի կառուցմանը, մուտքում հայտնվում է ուղղանկյուն, միայն զրոներով այն տեղում, որտեղ թվեր չկան: Զրոները կարող են բաց թողնել, բայց դրանք ենթադրվում են:
Մատրիցը չափ ունի: Դրա «լայնությունը» տողերի քանակն է (մ), «երկարությունը»՝ սյունակների թիվը (n): Այնուհետև A մատրիցի չափը (հիմնական լատինատառերը սովորաբար օգտագործվում են դրանց նշանակման համար) կնշանակվի որպես Am×n: Եթե m=n, ապա այս մատրիցը քառակուսի է ևm=n - դրա կարգը: Համապատասխանաբար, A մատրիցի ցանկացած տարր կարելի է նշել իր տողի և սյունակի թվով. axy; x - տողի համարը, փոխել [1, m], y - սյունակի համարը, փոխել [1, n]։
Գաուսի մեթոդում մատրիցները լուծման հիմնական կետը չեն: Սկզբունքորեն, բոլոր գործողությունները կարող են կատարվել ուղղակիորեն հենց հավասարումների միջոցով, սակայն նշումը շատ ավելի ծանր կլինի, և դրանում շատ ավելի հեշտ կլինի շփոթել:
Որակավորման
Մատրիցն ունի նաև որոշիչ: Սա շատ կարևոր հատկանիշ է։ Հիմա դրա իմաստը պարզելը չարժե, պարզապես կարող եք ցույց տալ, թե ինչպես է այն հաշվարկվում, ապա ասել, թե մատրիցայի ինչ հատկություններ է այն որոշում: Որոշիչը գտնելու ամենահեշտ ձևը անկյունագծերի միջոցով է: Մատրիցայում գծված են երևակայական անկյունագծեր. Նրանցից յուրաքանչյուրի վրա տեղակայված տարրերը բազմապատկվում են, այնուհետև ավելացվում են ստացված արտադրյալները՝ անկյունագծերը թեքությամբ դեպի աջ՝ «գումարած» նշանով, թեքությամբ դեպի ձախ՝ «մինուս» նշանով։
Չափազանց կարևոր է նշել, որ որոշիչը կարող է հաշվարկվել միայն քառակուսի մատրիցի համար: Ուղղանկյուն մատրիցայի համար կարող եք անել հետևյալը. տողերի քանակից և սյունակների քանակից ընտրել ամենափոքրը (թող լինի k), այնուհետև մատրիցում պատահականորեն նշեք k սյունակ և k տող: Ընտրված սյունակների և տողերի խաչմերուկում գտնվող տարրերը կկազմեն նոր քառակուսի մատրիցա: Եթե նման մատրիցի որոշիչը զրոյից տարբերվող թիվ է, ապա այն կկոչվի սկզբնական ուղղանկյուն մատրիցի հիմնական մինոր:
Առաջինչպես սկսել Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգը լուծել, դա չի խանգարում հաշվարկել որոշիչը: Եթե պարզվում է, որ այն զրո է, ապա անմիջապես կարող ենք ասել, որ մատրիցն ունի կամ անսահման թվով լուծումներ, կամ ընդհանրապես չկա: Նման տխուր դեպքում դուք պետք է ավելի հեռուն գնաք և իմանաք մատրիցայի աստիճանի մասին:
Համակարգերի դասակարգում
Կա այնպիսի բան, ինչպիսին է մատրիցայի աստիճանը: Սա նրա ոչ զրոյական որոշիչի առավելագույն կարգն է (հիշելով հիմնական մինորը, կարող ենք ասել, որ մատրիցայի աստիճանը բազային մինորի կարգն է):
Ինչպես դասակարգված են դասակարգման հետ կապված, SLOW-ը կարելի է բաժանել՝
- Համատեղ. Համատեղ համակարգերի համար հիմնական մատրիցայի աստիճանը (կազմված է միայն գործակիցներից) համընկնում է ընդլայնվածի աստիճանի հետ (ազատ տերմինների սյունակով): Նման համակարգերը լուծում ունեն, բայց պարտադիր չէ, որ մեկը, հետևաբար, համատեղ համակարգերը լրացուցիչ բաժանվում են՝
- - միանշանակ - ունենալով եզակի լուծում: Որոշ համակարգերում մատրիցայի աստիճանը և անհայտների թիվը հավասար են (կամ սյունակների թիվը, որը նույնն է);
- - անորոշ - անսահման թվով լուծումներով: Նման համակարգերում մատրիցների դասակարգումը փոքր է անհայտների թվից։
- Անհամատեղելի. Նման համակարգերի համար հիմնական և ընդլայնված մատրիցների շարքերը չեն համընկնում: Անհամատեղելի համակարգերը լուծում չունեն։
Գաուսի մեթոդը լավն է, քանի որ այն թույլ է տալիս ստանալ կա՛մ համակարգի անհամապատասխանության միանշանակ ապացույց (առանց մեծ մատրիցների որոշիչները հաշվարկելու), կա՛մ ընդհանուր լուծում անսահման թվով լուծումներ ունեցող համակարգի համար:
Տարրական փոխակերպումներ
Առաջինչպես ուղղակիորեն անցնել համակարգի լուծմանը, կարող եք այն դարձնել ավելի քիչ դժվար և ավելի հարմար հաշվարկների համար: Սա ձեռք է բերվում տարրական փոխակերպումների միջոցով, այնպես, որ դրանց իրականացումը ոչ մի կերպ չի փոխում վերջնական պատասխանը: Հարկ է նշել, որ վերը նշված տարրական փոխակերպումներից մի քանիսը վավեր են միայն մատրիցների համար, որոնց աղբյուրը հենց SLAE-ն էր։ Ահա այս փոխակերպումների ցանկը՝
- Փոխել տողերը: Ակնհայտ է, որ եթե համակարգային գրառումներում փոխենք հավասարումների հերթականությունը, ապա դա ոչ մի կերպ չի ազդի լուծման վրա։ Հետևաբար, այս համակարգի մատրիցայում հնարավոր է նաև տողեր փոխանակել՝ չմոռանալով, իհարկե, ազատ անդամների սյունակի մասին։
- Տարի բոլոր տարրերի բազմապատկում որոշ գործակցով: Շատ օգտակար! Դրանով դուք կարող եք նվազեցնել մեծ թվերը մատրիցայում կամ հեռացնել զրոները: Լուծումների հավաքածուն, ինչպես միշտ, չի փոխվի, և ավելի հարմար կդառնա հետագա գործողություններ կատարելը։ Գլխավորն այն է, որ գործակիցը չպետք է հավասար լինի զրոյի։
- Ջնջել համամասնական գործակիցներով տողերը: Սա մասամբ բխում է նախորդ պարբերությունից։ Եթե մատրիցում երկու կամ ավելի տողեր ունեն համամասնական գործակիցներ, ապա տողերից մեկը համամասնության գործակցով բազմապատկելիս/բաժանելիս ստացվում են երկու (կամ, կրկին, ավելի) բացարձակապես նույնական տողեր, և դուք կարող եք հեռացնել ավելորդները՝ թողնելով միայն. մեկ.
- Ջնջել զրոյական տողը: Եթե փոխակերպումների ընթացքում ինչ-որ տեղ ստացվի մի տող, որտեղ բոլոր տարրերը, ներառյալ ազատ անդամը, զրո են, ապա այդպիսի տողը կարելի է անվանել զրո և դուրս շպրտվել մատրիցից։
- Ավելացում մյուսի տարրերի մի շարքի տարրերին (ըստհամապատասխան սյունակներ) բազմապատկված որոշ գործակցով: Բոլորից ամենաանհասկանալի և ամենակարևոր կերպարանափոխությունը: Արժե դրա վրա ավելի մանրամասն անդրադառնալ։
Տողի ավելացում՝ բազմապատկած գործակցով
Հեշտ հասկանալու համար արժե քայլ առ քայլ ապամոնտաժել այս գործընթացը: Մատրիցից վերցված է երկու տող՝
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | բ2
Ենթադրենք, պետք է երկրորդին ավելացնել առաջինը բազմապատկած «-2» գործակցով։
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Այնուհետև մատրիցայի երկրորդ շարքը փոխարինվում է նորով, մինչդեռ առաջինը մնում է անփոփոխ:
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | բ2
Հարկ է նշել, որ բազմապատկման գործակիցը կարելի է ընտրել այնպես, որ երկու տողերի գումարման արդյունքում նոր տողի տարրերից մեկը հավասար լինի զրոյի։ Հետևաբար, համակարգում հնարավոր է ստանալ հավասարում, որտեղ կլինի մեկ անհայտ պակաս։ Եվ եթե դուք ստանում եք երկու նման հավասարումներ, ապա գործողությունը կարելի է նորից կատարել և ստանալ հավասարում, որն արդեն կպարունակի երկու պակաս անհայտ: Եվ եթե ամեն անգամ մենք դառնում ենք զրոյական մեկ գործակից բոլոր տողերի համար, որոնք ցածր են սկզբնականից, ապա մենք կարող ենք քայլերի պես իջնել մատրիցայի ամենաներքևը և ստանալ հավասարում մեկ անհայտով: Սա կոչվում էլուծել համակարգը Գաուսի մեթոդով։
Ընդհանուր առմամբ
Թող համակարգ լինի. Այն ունի m հավասարումներ և n անհայտ արմատներ: Կարող եք գրել այսպես՝
Հիմնական մատրիցը կազմված է համակարգի գործակիցներից։ Ազատ անդամների սյունակ ավելացվում է ընդլայնված մատրիցին և հարմարության համար առանձնացվում է բարով:
Հաջորդը՝
- մատրիցայի առաջին տողը բազմապատկվում է k=գործակցով (-a21/a11);
- Ավելացված են մատրիցայի առաջին փոփոխված և երկրորդ տողերը;
- երկրորդ տողի փոխարեն մատրիցայում զետեղվում է նախորդ պարբերության գումարման արդյունքը;
- այժմ նոր երկրորդ տողում առաջին գործակիցը a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Այժմ կատարվում է փոխակերպումների նույն շարքը, ներգրավված են միայն առաջին և երրորդ տողերը։ Համապատասխանաբար, ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլում a21 տարրը փոխարինվում է 31-ով: Այնուհետև ամեն ինչ կրկնվում է a41, … am1 համար: Ստացվում է մատրիցա, որտեղ [2, m] տողերի առաջին տարրը հավասար է զրոյի։ Այժմ դուք պետք է մոռանաք թիվ մեկ տողի մասին և կատարեք նույն ալգորիթմը՝ սկսած երկրորդ տողից՝
- k գործակից=(-a32/a22);
- երկրորդ փոփոխված տողը ավելացվել է «ընթացիկ» տողին;
- ավելացման արդյունքը փոխարինվում է երրորդ, չորրորդ և այլն տողերով, մինչդեռ առաջինը և երկրորդը մնում են անփոփոխ;
- մատրիցայի [3, m] տողերում առաջին երկու տարրերն արդեն հավասար են զրոյի։
Ալգորիթմը պետք է կրկնվի այնքան ժամանակ, մինչև k=(-am, m-1/amm հայտնվի) գործակիցը: Սա նշանակում է, որ ալգորիթմը վերջին անգամ գործարկվել է միայն ստորին հավասարման համար: Այժմ մատրիցը նման է եռանկյունի կամ ունի աստիճանավոր ձև: Ներքեւի տողը պարունակում է amn × x =bm հավասարումը: Հայտնի են գործակիցը և ազատ անդամը, և դրանց միջոցով արտահայտվում է արմատը՝ x =bm/amn. Ստացված արմատը փոխարինվում է վերին շարքում՝ գտնելու xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/aմn))÷aմ-1, n-1. Եվ այսպես շարունակ անալոգիայով. յուրաքանչյուր հաջորդ տողում կա մի նոր արմատ, և, հասնելով համակարգի «գագաթին», կարելի է գտնել լուծումների մի շարք [x1, … x: ]: Դա կլինի միակը։
Երբ լուծումներ չկան
Եթե մատրիցային տողերից մեկում բոլոր տարրերը, բացառությամբ ազատ անդամի, հավասար են զրոյի, ապա այս շարքին համապատասխանող հավասարումն ունի 0=b: Դա լուծում չունի։ Եվ քանի որ նման հավասարումը ներառված է համակարգում, ուրեմն ամբողջ համակարգի լուծումների բազմությունը դատարկ է, այսինքն՝ այլասերված։
Երբ կան անսահման թվով լուծումներ
Կարող է պարզվել, որ կրճատված եռանկյունաձև մատրիցում տողեր չկան մեկ տարրով՝ հավասարման գործակից, իսկ մեկը՝ ազատ անդամ։ Կան միայն տողեր, որոնք, երբ վերագրվեն, նման կլինեն երկու կամ ավելի փոփոխականներով հավասարման: Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Այս դեպքում պատասխանը կարող է տրվել ընդհանուր լուծման տեսքով. Ինչպե՞ս դա անել:
ԲոլորըՄատրիցայում փոփոխականները բաժանվում են հիմնական և անվճար: Հիմնական - սրանք նրանք են, որոնք կանգնած են աստիճանավոր մատրիցով տողերի «եզրին»: Մնացածն անվճար է։ Ընդհանուր լուծման մեջ հիմնական փոփոխականները գրվում են ազատների տեսքով։
Հարմարության համար մատրիցը նախ վերաշարադրվում է հավասարումների համակարգի մեջ: Հետո դրանցից վերջինում, որտեղ մնացել է միայն մեկ հիմնական փոփոխական, այն մնում է մի կողմում, իսկ մնացած ամեն ինչը փոխանցվում է մյուսին։ Սա արվում է մեկ հիմնական փոփոխականով յուրաքանչյուր հավասարման համար: Այնուհետև մնացած հավասարումների մեջ, որտեղ հնարավոր է, հիմնական փոփոխականի փոխարեն փոխարինվում է դրա համար ստացված արտահայտությունը։ Եթե արդյունքը կրկին միայն մեկ հիմնական փոփոխական պարունակող արտահայտություն է, այն նորից արտահայտվում է այնտեղից և այդպես շարունակ, մինչև յուրաքանչյուր հիմնական փոփոխական գրվի որպես ազատ փոփոխականներով արտահայտություն։ Սա SLAE-ի ընդհանուր լուծումն է։
Կարող եք նաև գտնել համակարգի հիմնական լուծումը՝ ազատ փոփոխականներին տվեք ցանկացած արժեք, այնուհետև հաշվարկեք հիմնական փոփոխականների արժեքները այս կոնկրետ դեպքի համար: Կան անսահման շատ կոնկրետ լուծումներ:
Լուծում կոնկրետ օրինակներով
Ահա հավասարումների համակարգ:
Հարմարության համար ավելի լավ է դրա մատրիցան պատրաստել անմիջապես
Հայտնի է, որ Գաուսի մեթոդով լուծելիս փոխակերպումների վերջում առաջին շարքին համապատասխան հավասարումը կմնա անփոփոխ։ Հետևաբար, ավելի ձեռնտու կլինի, եթե մատրիցայի վերին ձախ տարրը լինի ամենափոքրը, ապա առաջին տարրերը.մնացած տողերը գործողություններից հետո կվերածվեն զրոյի: Սա նշանակում է, որ կազմված մատրիցում ձեռնտու կլինի երկրորդ շարքը դնել առաջինի փոխարեն։
Հաջորդ, դուք պետք է փոխեք երկրորդ և երրորդ տողերը, որպեսզի առաջին տարրերը դառնան զրո: Դա անելու համար դրանք ավելացրեք առաջինին` բազմապատկելով գործակցով՝
երկրորդ տող՝ k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
երրորդ տող՝ k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Հիմա, որպեսզի չշփոթվեք, պետք է գրել մատրիցա՝ փոխակերպումների միջանկյալ արդյունքներով։
Ակնհայտ է, որ նման մատրիցը կարելի է ավելի ընթեռնելի դարձնել որոշ գործողությունների օգնությամբ: Օրինակ, դուք կարող եք հեռացնել բոլոր «մինուսները» երկրորդ տողից՝ յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկելով «-1»-ով։
Հարկ է նաև նշել, որ երրորդ տողում բոլոր տարրերը երեքի բազմապատիկ են: Ապա դուք կարող եքկտրեք տողը այս թվով, յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկելով «-1/3»-ով (մինուս - միևնույն ժամանակ բացասական արժեքները հեռացնելու համար):
Շատ ավելի գեղեցիկ տեսք ունի: Այժմ մենք պետք է հանգիստ թողնենք առաջին տողը և աշխատենք երկրորդի և երրորդի հետ: Խնդիրն է՝ ավելացնել երկրորդ տողը երրորդ տողին՝ բազմապատկելով այնպիսի գործակցով, որ a32 տարրը դառնա զրո:
:
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (եթե որոշ փոխակերպումների ժամանակ պատասխանում պարզվեց, որ ամբողջ թիվ չէ, խորհուրդ է տրվում թողնել «ինչպես կա», սովորական կոտորակի տեսքով և միայն այն ժամանակ, երբ պատասխանները ստացվեն, որոշեք կլորացնել և փոխարկել այլ ձևի: նշում)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Մատրիցը կրկին գրվում է նոր արժեքներով:
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Ինչպես տեսնում եք, ստացված մատրիցն արդեն ունի աստիճանական ձև: Ուստի Գաուսի մեթոդով համակարգի հետագա փոխակերպումներ չեն պահանջվում։ Ինչ կարելի է անել այստեղ՝ երրորդ տողից հանել «-1/7» ընդհանուր գործակիցը։
Այժմ բոլորըգեղեցիկ. Կետը փոքր է. նորից գրեք մատրիցը հավասարումների համակարգի տեսքով և հաշվարկեք արմատները
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Ալգորիթմը, որով այժմ կգտնվեն արմատները, կոչվում է հակադարձ շարժում Գաուսի մեթոդով: Հավասարումը (3) պարունակում է z արժեքը:
z=61/9
Հաջորդ, վերադառնալ երկրորդ հավասարմանը.
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Եվ առաջին հավասարումը թույլ է տալիս գտնել x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Մենք իրավունք ունենք նման համակարգը անվանել միացյալ, և նույնիսկ որոշակի, այսինքն՝ յուրահատուկ լուծում ունենալ։ Պատասխանը գրված է հետևյալ ձևով՝
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Անորոշ համակարգի օրինակ
Վերլուծվել է Գաուսի մեթոդով որոշակի համակարգի լուծման տարբերակը, այժմ անհրաժեշտ է դիտարկել այն դեպքը, եթե համակարգը անորոշ է, այսինքն՝ դրա համար կարելի է գտնել անսահման շատ լուծումներ։
։
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Համակարգի ձևն արդեն տագնապալի է, քանի որ անհայտների թիվը n=5 է, իսկ համակարգի մատրիցայի աստիճանն արդեն իսկ այս թվից ուղիղ պակաս է, քանի որ տողերի քանակը m=4, այսինքն՝ քառակուսի որոշիչի ամենամեծ կարգը 4 է։ Այսպիսով,Կան անսահման թվով լուծումներ, և մենք պետք է փնտրենք դրա ընդհանուր ձևը: Գծային հավասարումների Գաուսի մեթոդը թույլ է տալիս դա անել:
Նախ, ինչպես միշտ, կազմվում է ընդլայնված մատրիցը:
Երկրորդ տող. գործակից k=(-a21/a11)=-3: Երրորդ տողում առաջին տարրը վերափոխումներից առաջ է, ուստի պետք չէ որևէ բանի դիպչել, պետք է թողնել այնպես, ինչպես կա։ Չորրորդ տող՝ k=(-a41/a11)=-5
Առաջին շարքի տարրերը հերթով բազմապատկելով նրանց յուրաքանչյուր գործակիցով և գումարելով դրանք պահանջվող տողերին՝ ստանում ենք հետևյալ ձևի մատրիցը՝
Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ շարքերը բաղկացած են միմյանց համաչափ տարրերից։ Երկրորդն ու չորրորդը հիմնականում նույնն են, ուստի դրանցից մեկը կարելի է անմիջապես հեռացնել, իսկ մնացածը բազմապատկել «-1» գործակցով և ստանալ 3-րդ տող: Եվ կրկին թողնել երկու նույնական տողերից մեկը:
Արդյունքը այսպիսի մատրիցա է։ Համակարգը դեռ չի գրվել, այստեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմնական փոփոխականները՝ կանգնած a11=1 և a22=1 գործակիցների վրա:, իսկ անվճար՝ մնացածը։
Երկրորդ հավասարման մեջ կա միայն մեկ հիմնական փոփոխական՝ x2: Այսպիսով, այն կարող է արտահայտվել այնտեղից՝ գրելով x3, x4, x5 փոփոխականների միջոցով, որոնք անվճար են։
Ստացված արտահայտությունը փոխարինեք առաջին հավասարման մեջ:
Պարզվեց մի հավասարում, որումմիակ հիմնական փոփոխականը x1 է: Եկեք անենք նույնը, ինչ x2.
Բոլոր հիմնական փոփոխականները, որոնցից երկուսը կա, արտահայտված են երեք ազատներով, այժմ պատասխանը կարող եք գրել ընդհանուր տեսքով:
Դուք կարող եք նաև նշել համակարգի կոնկրետ լուծումներից մեկը: Նման դեպքերում, որպես կանոն, զրոները ընտրվում են որպես արժեքներ անվճար փոփոխականների համար: Այնուհետև պատասխանը կլինի՝
-16, 23, 0, 0, 0.
Անհետևողական համակարգի օրինակ
Հավասարումների անհամապատասխան համակարգերի լուծումը Գաուսի մեթոդով ամենաարագն է: Այն ավարտվում է հենց փուլերից մեկում ստացվում է լուծում չունեցող հավասարում։ Այսինքն՝ արմատների հաշվարկով փուլը, որը բավական երկար է ու մռայլ, վերանում է։ Դիտարկվում է հետևյալ համակարգը՝
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Ինչպես միշտ, մատրիցը կազմված է.
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Եվ կրճատվել է աստիճանական ձևի.
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Առաջին փոխակերպումից հետո երրորդ տողը պարունակում է
ձևի հավասարում
0=7, լուծում չկա: Հետեւաբար, համակարգըանհամապատասխան է, և պատասխանը դատարկ բազմությունն է:
Մեթոդի առավելություններն ու թերությունները
Եթե ընտրում եք, թե որ մեթոդն է լուծելու SLAE-ն թղթի վրա գրիչով, ապա այս հոդվածում դիտարկված մեթոդը ամենագրավիչն է թվում: Տարրական փոխակերպումների ժամանակ շատ ավելի դժվար է շփոթվել, քան դա տեղի է ունենում, եթե դուք պետք է ձեռքով փնտրեք որոշիչ կամ ինչ-որ բարդ հակադարձ մատրիցա: Այնուամենայնիվ, եթե դուք օգտագործում եք ծրագրեր այս տեսակի տվյալների հետ աշխատելու համար, օրինակ՝ աղյուսակներ, ապա պարզվում է, որ այդպիսի ծրագրերն արդեն պարունակում են մատրիցների հիմնական պարամետրերի հաշվարկման ալգորիթմներ՝ որոշիչ, անչափահասներ, հակադարձ և փոխադրված մատրիցներ և այլն։. Եվ եթե վստահ եք, որ մեքենան ինքն է հաշվարկելու այդ արժեքները և չի սխալվի, ապա ավելի նպատակահարմար է օգտագործել մատրիցային մեթոդը կամ Քրամերի բանաձևերը, քանի որ դրանց կիրառումը սկսվում և ավարտվում է որոշիչների և հակադարձ մատրիցների հաշվարկով:
Դիմում
Քանի որ Գաուսի լուծումը ալգորիթմ է, իսկ մատրիցը, փաստորեն, երկչափ զանգված է, այն կարող է օգտագործվել ծրագրավորման մեջ։ Բայց քանի որ հոդվածն իրեն դասում է որպես «կեղծիքների համար» ուղեցույց, ապա պետք է ասել, որ մեթոդը տեղադրելու ամենահեշտ տեղը աղյուսակներն են, օրինակ՝ Excel-ը։ Կրկին, ցանկացած SLAE, որը մուտքագրված է աղյուսակում մատրիցայի տեսքով, Excel-ի կողմից կդիտարկվի որպես երկչափ զանգված: Իսկ նրանց հետ գործառնությունների համար կան շատ գեղեցիկ հրամաններ՝ գումարում (կարող եք ավելացնել միայն նույն չափի մատրիցաներ), բազմապատկում թվով, մատրիցային բազմապատկում (նաևորոշակի սահմանափակումներ), գտնելով հակադարձ և փոխադրված մատրիցները և, ամենակարևորը, որոշիչի հաշվարկը: Եթե այս ժամանակատար առաջադրանքը փոխարինվի մեկ հրամանով, ապա շատ ավելի արագ է որոշվում մատրիցայի դասակարգումը և, հետևաբար, դրա համատեղելիությունը կամ անհամապատասխանությունը:
