Մաթեմատիկայի այն ճյուղերից մեկը, որով դպրոցականները հաղթահարում են ամենամեծ դժվարությունները, եռանկյունաչափությունն է։ Զարմանալի չէ. այս գիտելիքի ոլորտը ազատորեն տիրապետելու համար ձեզ անհրաժեշտ է տարածական մտածողություն, սինուսներ, կոսինուսներ, շոշափողներ, կոտանգենսներ բանաձևերի միջոցով գտնելու ունակություն, պարզեցնել արտահայտությունները և կարողանալ օգտագործել pi թիվը հաշվարկներում: Բացի այդ, դուք պետք է կարողանաք կիրառել եռանկյունաչափությունը թեորեմներն ապացուցելիս, և դա պահանջում է կամ զարգացած մաթեմատիկական հիշողություն, կամ բարդ տրամաբանական շղթաներ դուրս բերելու կարողություն:
Եռանկյունաչափության ծագումը
Այս գիտության ներածությունը պետք է սկսվի անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի սահմանմամբ, բայց նախ պետք է պարզել, թե ընդհանրապես ինչ է անում եռանկյունաչափությունը:
Պատմականորեն ուղղանկյուն եռանկյունները եղել են մաթեմատիկական գիտության այս բաժնում հետազոտության հիմնական առարկան: 90 աստիճանի անկյան առկայությունը հնարավորություն է տալիս իրականացնել տարբեր գործողություններ, որոնք թույլ են տալիս երկուսըկողմերը և մեկ անկյունը կամ երկու անկյունը և մի կողմը, որպեսզի որոշեն տվյալ գործչի բոլոր պարամետրերի արժեքները: Նախկինում մարդիկ նկատեցին այս օրինաչափությունը և սկսեցին ակտիվորեն օգտագործել այն շենքերի կառուցման, նավիգացիայի, աստղագիտության և նույնիսկ արվեստի մեջ։
Սկզբունք
Սկզբում մարդիկ խոսում էին անկյունների և կողմերի փոխհարաբերությունների մասին բացառապես ուղղանկյուն եռանկյունների օրինակով: Այնուհետեւ հայտնաբերվեցին հատուկ բանաձեւեր, որոնք հնարավորություն տվեցին ընդլայնել մաթեմատիկայի այս բաժնի առօրյա կյանքում օգտագործման սահմանները։
Եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունը դպրոցում այսօր սկսվում է ուղղանկյուն եռանկյուններով, որից հետո ստացած գիտելիքներն օգտագործվում են ֆիզիկայի և վերացական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեջ, որոնցով աշխատանքը սկսվում է ավագ դպրոցից:
Գնդաձև եռանկյունաչափություն
Հետագայում, երբ գիտությունը հասավ զարգացման հաջորդ մակարդակին, սինուսով, կոսինուսով, տանգենսով, կոտանգենսով բանաձևերը սկսեցին կիրառվել գնդային երկրաչափության մեջ, որտեղ գործում են այլ կանոններ, և եռանկյան անկյունների գումարը միշտ ավելին է։ քան 180 աստիճան: Այս բաժինը դպրոցում չի ուսումնասիրվում, բայց անհրաժեշտ է իմանալ դրա գոյության մասին, թեկուզ այն պատճառով, որ երկրի մակերեսը և ցանկացած այլ մոլորակի մակերեսը ուռուցիկ է, ինչը նշանակում է, որ մակերևույթի ցանկացած գծանշում կլինի «աղեղաձև։ «եռաչափ տարածության մեջ։
Վերցրու գլոբուս և թել: Կցեք թելը գլոբուսի ցանկացած երկու կետի վրա, որպեսզի այն ձգվի: Ուշադրություն դարձրեք՝ այն ձեռք է բերել աղեղի ձև։ Այն վերաբերում է նման ձևերինգնդաձև երկրաչափություն, որն օգտագործվում է գեոդեզիայի, աստղագիտության և այլ տեսական և կիրառական ոլորտներում:
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Մի փոքր սովորելով եռանկյունաչափության կիրառման եղանակներին՝ վերադառնանք հիմնական եռանկյունաչափությանը, որպեսզի հետագայում հասկանանք, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, ինչ հաշվարկներ կարելի է կատարել դրանց օգնությամբ և ինչ բանաձևեր օգտագործել։
Առաջին հերթին պետք է հասկանալ ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված հասկացությունները: Նախ, հիպոթենուսը 90 աստիճանի անկյան հակառակ կողմն է: Նա ամենաերկարն է: Հիշում ենք, որ Պյութագորասի թեորեմի համաձայն նրա թվային արժեքը հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարի արմատին։
Օրինակ, եթե երկու կողմերը համապատասխանաբար 3 և 4 սանտիմետր են, հիպոթենուսի երկարությունը կլինի 5 սանտիմետր: Ի դեպ, հին եգիպտացիներն այս մասին գիտեին մոտ չորսուկես հազար տարի առաջ։
Մնացած երկու կողմերը, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն, կոչվում են ոտքեր: Բացի այդ, պետք է հիշել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է։
Սահմանում
Վերջապես, լավ հասկանալով երկրաչափական հիմքը, կարող ենք դիմել անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի սահմանմանը:
Անկյան սինուսը հակառակ ոտքի (այսինքն՝ ցանկալի անկյան հակառակ կողմի) հարաբերությունն է հիպոթենուսին: Անկյան կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է։
Հիշեք, որ ոչ սինուսը, ոչ կոսինուսը չեն կարող մեկից մեծ լինել: Ինչո՞ւ։Քանի որ հիպոթենուսը լռելյայնորեն ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմն է: Անկախ նրանից, թե որքան երկար է ոտքը, այն ավելի կարճ կլինի, քան հիպոթենուսը, ինչը նշանակում է, որ նրանց հարաբերակցությունը միշտ կլինի մեկից պակաս: Այսպիսով, եթե խնդրի պատասխանում ստանում եք 1-ից մեծ արժեք ունեցող սինուս կամ կոսինուս, ապա փնտրեք սխալ հաշվարկներում կամ հիմնավորումներում: Այս պատասխանն ակնհայտորեն սխալ է։
Վերջապես, անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է: Նույն արդյունքը կտա սինուսի բաժանումը կոսինուսով։ Նայեք՝ ըստ բանաձևի՝ կողմի երկարությունը բաժանում ենք հիպոթենուսի վրա, որից հետո բաժանում ենք երկրորդ կողմի երկարության վրա և բազմապատկում ենք հիպոթենուսով։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն հարաբերակցությունը, ինչ շոշափողի սահմանման մեջ:
Կոտանգենսը, համապատասխանաբար, անկյունին հարող կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությունն է: Մենք ստանում ենք նույն արդյունքը՝ բաժանելով միավորը շոշափողի վրա։
Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները, և կարող ենք գործ ունենալ բանաձևերի հետ:
Պարզ բանաձևեր
Եռանկյունաչափության մեջ չի կարելի անել առանց բանաձևերի՝ ինչպե՞ս գտնել սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս առանց դրանց: Բայց սա հենց այն է, ինչ պահանջվում է խնդիրներ լուծելիս։
Առաջին բանաձևը, որը դուք պետք է իմանաք, երբ սկսում եք ուսումնասիրել եռանկյունաչափությունը, ասում է, որ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի: Այս բանաձևը Պյութագորասի թեորեմի ուղղակի հետևանքն է, բայց այն ժամանակ է խնայում, եթե անհրաժեշտ է պարզել անկյան արժեքը, ոչ թե կողմը:
Շատ ուսանողներ չեն կարողանում հիշել երկրորդ բանաձեւը, նույնպես շատհանրաճանաչ դպրոցական խնդիրներ լուծելիս. մեկի և անկյան տանգենսի քառակուսու գումարը հավասար է մեկին, որը բաժանվում է անկյան կոսինուսի քառակուսու վրա: Ուշադիր նայեք. ի վերջո, սա նույն պնդումն է, ինչ առաջին բանաձևում, միայն ինքնության երկու կողմերն են բաժանվել կոսինուսի քառակուսու վրա: Պարզվում է, որ պարզ մաթեմատիկական գործողությունը եռանկյունաչափական բանաձեւը դարձնում է բոլորովին անճանաչելի։ Հիշեք. իմանալով, թե ինչ է սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, փոխակերպման կանոնները և մի քանի հիմնական բանաձևերը, կարող եք ցանկացած պահի ինքնուրույն դուրս բերել պահանջվող ավելի բարդ բանաձևերը թղթի վրա:
Կրկնակի անկյան բանաձևեր և արգումենտների ավելացում
Սովորելու ևս երկու բանաձև կապված են անկյունների գումարի և տարբերության սինուսի և կոսինուսի արժեքների հետ: Դրանք ներկայացված են ստորև բերված նկարում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ առաջին դեպքում սինուսը և կոսինուսը բազմապատկվում են երկու անգամ, իսկ երկրորդ դեպքում գումարվում է սինուսի և կոսինուսի զույգ արտադրյալը։
Կան նաև բանաձևեր, որոնք կապված են կրկնակի անկյան արգումենտների հետ: Դրանք ամբողջությամբ վերցված են նախորդներից. որպես պրակտիկա, փորձեք ձեռք բերել դրանք ինքներդ՝ հաշվի առնելով ալֆայի անկյունը հավասար բետա անկյան:
Վերջապես նշեք, որ կրկնակի անկյան բանաձևերը կարող են փոխարկվել՝ նվազեցնելու սինուսի, կոսինուսի, շոշափող ալֆայի աստիճանը:
Թեորեմներ
Հիմնական եռանկյունաչափության երկու հիմնական թեորեմներն են սինուսի թեորեմը և կոսինուսի թեորեմը: Այս թեորեմների օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես գտնել սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հետևաբար՝ նկարի տարածքը և մեծությունը:յուրաքանչյուր կողմ և այլն:
Սինուսների թեորեմն ասում է, որ եռանկյան կողմերից յուրաքանչյուրի երկարությունը հակառակ անկյան արժեքի վրա բաժանելու արդյունքում ստանում ենք նույն թիվը։ Ընդ որում, այս թիվը հավասար կլինի շրջագծված շրջանագծի երկու շառավղին, այսինքն՝ շրջանագծին, որը պարունակում է տվյալ եռանկյան բոլոր կետերը։
Կոսինուսների թեորեմն ընդհանրացնում է Պյութագորասի թեորեմը՝ այն նախագծելով ցանկացած եռանկյունիների վրա։ Ստացվում է, որ երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանեք դրանց արտադրյալը, բազմապատկած նրանց հարակից անկյան կրկնակի կոսինուսով, ստացված արժեքը հավասար կլինի երրորդ կողմի քառակուսուն: Այսպիսով, պարզվում է, որ Պյութագորասի թեորեմը կոսինուսի թեորեմի հատուկ դեպք է։
Սխալներ անուշադրության պատճառով
Նույնիսկ իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հեշտ է սխալվել անսխալության կամ ամենապարզ հաշվարկների սխալի պատճառով: Նման սխալներից խուսափելու համար եկեք դիտենք ամենահայտնիները։
Նախ, ընդհանուր կոտորակները մի փոխարկեք տասնորդականի մինչև վերջնական արդյունքը ստանալը. պատասխանը կարող եք թողնել որպես ընդհանուր կոտորակ, եթե պայմանում այլ բան նշված չէ: Նման վերափոխումը չի կարելի սխալ անվանել, բայց պետք է հիշել, որ առաջադրանքի յուրաքանչյուր փուլում կարող են հայտնվել նոր արմատներ, որոնք, հեղինակի մտահղացմամբ, պետք է կրճատվեն։ Այս դեպքում դուք ժամանակ կկորցնեք անհարկի մաթեմատիկական գործողությունների վրա։ Սա հատկապես ճիշտ է այնպիսի արժեքների համար, ինչպիսիք են երեք կամ երկուսի արմատը, քանի որ դրանք առաջանում են առաջադրանքների մեջ ամեն քայլափոխի: Նույնը վերաբերում է կլորացմանը:«Տգեղ» թվեր.
Հաջորդ, նշեք, որ կոսինուսի թեորեմը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու, բայց ոչ Պյութագորասի թեորեմին: Եթե սխալմամբ մոռանաք երկու անգամ պակասեցնել կողմերի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսով, դուք ոչ միայն լիովին սխալ արդյունք կստանաք, այլև կցուցադրեք թեմայի ամբողջական թյուրիմացություն: Սա ավելի վատ է, քան անզգույշ սխալը:
Երրորդ, մի շփոթեք սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների, կոտանգենսների համար 30 և 60 աստիճանի անկյունների արժեքները: Հիշեք այս արժեքները, քանի որ 30 աստիճանի սինուսը հավասար է 60-ի կոսինուսին և հակառակը։ Հեշտ է դրանք խառնել, և դուք անխուսափելիորեն սխալ արդյունք կստանաք։
Դիմում
Շատ ուսանողներ չեն շտապում սկսել եռանկյունաչափություն ուսումնասիրել, քանի որ չեն հասկանում դրա կիրառական նշանակությունը։ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ինժեների կամ աստղագետի համար: Սրանք հասկացություններ են, որոնց շնորհիվ կարելի է հաշվարկել հեռավոր աստղերը, կանխատեսել երկնաքարի անկումը, հետազոտական զոնդ ուղարկել այլ մոլորակ։ Առանց դրանց անհնար է շենք կառուցել, մեքենա նախագծել, հաշվարկել մակերեսի ծանրաբեռնվածությունը կամ օբյեկտի հետագիծը։ Եվ սրանք ընդամենը ամենաակնառու օրինակներն են։ Ի վերջո, եռանկյունաչափությունը այս կամ այն ձևով կիրառվում է ամենուր՝ երաժշտությունից մինչև բժշկություն։
Եզրակացություն
Այսպիսով, դուք գիտեք, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը: Դուք կարող եք դրանք օգտագործել հաշվարկներում և հաջողությամբ լուծել դպրոցական խնդիրները։
Ամբողջ կետըեռանկյունաչափությունը կրճատվում է նրանով, որ ըստ եռանկյան հայտնի պարամետրերի, անհրաժեշտ է հաշվարկել անհայտները: Ընդհանուր առմամբ կան վեց պարամետրեր՝ երեք կողմերի երկարություններ և երեք անկյունների մեծություններ։ Առաջադրանքների ամբողջ տարբերությունը կայանում է նրանում, որ տրված են տարբեր մուտքային տվյալներ։
Ինչպես գտնել սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ոտքերի հայտնի երկարությունների կամ հիպոթենուսի հիման վրա, դուք այժմ գիտեք: Քանի որ այս տերմինները ոչ այլ ինչ են նշանակում, քան հարաբերակցություն, իսկ հարաբերակցությունը կոտորակ է, եռանկյունաչափական խնդրի հիմնական նպատակն է գտնել սովորական հավասարման կամ հավասարումների համակարգի արմատները: Եվ ահա սովորական դպրոցական մաթեմատիկան ձեզ կօգնի։
