Վայրկյաններ, շոշափողներ - այս ամենը կարելի էր լսել հարյուրավոր անգամներ երկրաչափության դասերին: Բայց դպրոցն ավարտելն ավարտվել է, տարիներ են անցնում, և այս բոլոր գիտելիքները մոռացվում են։ Ի՞նչ պետք է հիշել:
Էություն
«Շրջանակին շոշափող» տերմինը հավանաբար ծանոթ է բոլորին: Բայց դժվար թե բոլորը կարողանան արագ ձևակերպել դրա սահմանումը։ Մինչդեռ շոշափողն այնպիսի ուղիղ գիծ է, որն ընկած է միևնույն հարթության մեջ այն շրջանագծի հետ, որը հատում է այն միայն մեկ կետում: Կարող է լինել դրանց հսկայական բազմազանությունը, բայց նրանք բոլորն ունեն նույն հատկությունները, որոնք կքննարկվեն ստորև: Ինչպես կարող եք կռահել, շփման կետը շրջանի և գծի հատման վայրն է: Յուրաքանչյուր դեպքում այն մեկ է, բայց եթե ավելին լինի, ապա դա կլինի սեկանտ։
Հայտնաբերման և ուսումնասիրության պատմություն
Տանգենս հասկացությունը ի հայտ է եկել հին ժամանակներում: Քանոնի և կողմնացույցի օգնությամբ այս ուղիղ գծերի՝ սկզբում շրջանագծի, այնուհետև էլիպսների, պարաբոլների և հիպերբոլաների կառուցումն իրականացվել է երկրաչափության զարգացման նույնիսկ սկզբնական փուլերում։ Իհարկե, պատմությունը չի պահպանել հայտնագործողի անունը, բայցԱկնհայտ է, որ նույնիսկ այն ժամանակ մարդիկ լավ տեղյակ էին շրջանագծին շոշափողի հատկություններին։
Ժամանակակից ժամանակներում այս երևույթի նկատմամբ հետաքրքրությունը կրկին բորբոքվեց. սկսվեց այս հայեցակարգի ուսումնասիրության նոր փուլը՝ զուգորդված նոր կորերի հայտնաբերմամբ: Այսպիսով, Գալիլեոն ներկայացրեց ցիկլոիդ հասկացությունը, և Ֆերմատն ու Դեկարտը շոշափեցին դրան: Ինչ վերաբերում է շրջանակներին, ապա կարծես թե այս տարածքում հների համար գաղտնիքներ չեն մնացել։
Հատկություններ
Հատման կետին գծված շառավիղը ուղղահայաց կլինի: Սա
է
գլխավոր, բայց ոչ միակ հատկությունը, որն ունի շրջանագծի շոշափողը: Մեկ այլ կարևոր հատկանիշ ներառում է արդեն երկու ուղիղ գիծ։ Այսպիսով, շրջանագծից դուրս գտնվող մեկ կետի միջով կարելի է գծել երկու շոշափողներ, մինչդեռ դրանց հատվածները հավասար կլինեն։ Այս թեմայի վերաբերյալ կա ևս մեկ թեորեմ, բայց այն հազվադեպ է լուսաբանվում ստանդարտ դպրոցական դասընթացի շրջանակներում, թեև չափազանց հարմար է որոշ խնդիրներ լուծելու համար։ Այն հնչում է այսպես. Շրջանակից դուրս գտնվող մի կետից դրան ձգվում է շոշափող և սեկանտ: Ձևավորվում են AB, AC և AD հատվածները: A-ն գծերի հատումն է, B-ն շփման կետն է, C-ն և D-ն խաչմերուկներն են: Այս դեպքում կգործի հետևյալ հավասարությունը՝ շրջանագծի շոշափողի երկարությունը քառակուսիով հավասար կլինի AC և AD հատվածների արտադրյալին։
։
Վերոնշյալից կա մի կարևոր հետևանք. Շրջանակի յուրաքանչյուր կետի համար կարող եք կառուցել շոշափող, բայց միայն մեկը: Սրա ապացույցը բավականին պարզ է՝ տեսականորեն շառավղից ուղղահայաց գցելով դրա վրա՝ պարզում ենք, որ ձևավորված.եռանկյունը չի կարող գոյություն ունենալ: Իսկ սա նշանակում է, որ շոշափողը միակն է։
շենք
Երկրաչափության այլ խնդիրների թվում կա հատուկ կատեգորիա, որպես կանոն, ոչ թե
սիրված աշակերտների և ուսանողների կողմից: Այս կատեգորիայի առաջադրանքները լուծելու համար անհրաժեշտ է միայն կողմնացույց և քանոն: Սրանք շինարարական առաջադրանքներ են: Կան նաև շոշափողներ կառուցելու մեթոդներ։
Այսպիսով, տրված է շրջան և կետ, որը գտնվում է դրա սահմաններից դուրս: Եվ դրանց միջով անհրաժեշտ է շոշափել։ Ինչպե՞ս դա անել: Նախ պետք է հատված գծել O շրջանագծի կենտրոնի և տվյալ կետի միջև։ Այնուհետև, օգտագործելով կողմնացույց, բաժանեք այն կիսով չափ: Դա անելու համար հարկավոր է սահմանել շառավիղը՝ սկզբնական շրջանագծի կենտրոնի և տվյալ կետի միջև հեռավորության կեսից մի փոքր ավելին: Դրանից հետո դուք պետք է կառուցեք երկու հատվող աղեղներ: Ընդ որում, կողմնացույցի շառավիղը փոփոխության կարիք չունի, և շրջանագծի յուրաքանչյուր մասի կենտրոնը կլինի համապատասխանաբար սկզբնական կետը և O-ը։ Պետք է միացված լինեն կամարների խաչմերուկները, որոնք հատվածը կիսով չափ կբաժանեն: Այս հեռավորությանը հավասար շառավիղ դրեք կողմնացույցի վրա: Հաջորդը, կենտրոնով խաչմերուկում, նկարեք ևս մեկ շրջան: Ե՛վ սկզբնական կետը, և՛ O-ն ընկած կլինեն դրա վրա։Այս դեպքում խնդրի մեջ տրված շրջանագծի հետ կլինեն ևս երկու հատվողներ։ Դրանք կլինեն սկզբնական տրված կետի հպման կետերը:
Հետաքրքիր
Շրջանակին շոշափողների կառուցումն էր, որը հանգեցրեց
-ի ծնունդին
դիֆերենցիալ հաշվարկ. Այս թեմայով առաջին աշխատանքը եղել էհրատարակել է գերմանացի հայտնի մաթեմատիկոս Լայբնիցը։ Նա նախատեսում էր առավելագույն, նվազագույն և շոշափողներ գտնելու հնարավորություն՝ անկախ կոտորակային և իռացիոնալ արժեքներից։ Դե, հիմա այն օգտագործվում է նաև շատ այլ հաշվարկների համար։
Բացի այդ, շրջանագծի շոշափումը կապված է շոշափողի երկրաչափական նշանակության հետ։ Այստեղից էլ ծագել է նրա անունը։ Լատիներենից թարգմանաբար՝ tangens նշանակում է «շոշափող»։ Այսպիսով, այս հասկացությունը կապված է ոչ միայն երկրաչափության և դիֆերենցիալ հաշվարկի, այլև եռանկյունաչափության հետ։
Երկու շրջան
Միշտ չէ, որ շոշափողը ազդում է միայն մեկ ձևի վրա: Եթե մեկ շրջանագծի վրա կարելի է գծել հսկայական թվով ուղիղ գծեր, ապա ինչու ոչ հակառակը: Կարող է. Բայց խնդիրն այս դեպքում լրջորեն բարդ է, քանի որ երկու շրջանագծի շոշափողը կարող է չանցնի ոչ մի կետով, և այս բոլոր թվերի հարաբերական դիրքը կարող է լինել շատ
:
տարբեր.
Տեսակներ և սորտեր
Երբ խոսքը վերաբերում է երկու շրջանագծի և մեկ կամ ավելի գծերի, նույնիսկ եթե հայտնի է, որ դրանք շոշափողներ են, անմիջապես պարզ չի դառնում, թե ինչպես են այս բոլոր թվերը տեղակայված միմյանց նկատմամբ: Դրա հիման վրա կան մի քանի սորտեր. Այսպիսով, շրջանակները կարող են ունենալ մեկ կամ երկու ընդհանուր կետ կամ ընդհանրապես չունենալ: Առաջին դեպքում դրանք կհատվեն, իսկ երկրորդում՝ կդիպչեն։ Եվ այստեղ կան երկու սորտեր. Եթե մի շրջանակը, կարծես, ներդրված է երկրորդում, ապա հպումը կոչվում է ներքին, եթե ոչ, ապա արտաքին: փոխադարձ հասկանալՆկարների գտնվելու վայրը հնարավոր է ոչ միայն գծագրի հիման վրա, այլև տեղեկություններ ունենալով դրանց շառավիղների գումարի և կենտրոնների միջև հեռավորության մասին: Եթե այս երկու մեծությունները հավասար են, ապա շրջանակները շոշափվում են: Եթե առաջինն ավելի մեծ է, դրանք հատվում են, իսկ եթե ավելի փոքր է, ապա ընդհանուր կետեր չունեն։
Նույնը ուղիղ գծերով: Ցանկացած երկու շրջանագծի համար, որոնք չունեն ընդհանուր կետեր, կարող եք
կառուցել չորս շոշափողներ. Դրանցից երկուսը հատվելու են ֆիգուրների միջև, դրանք կոչվում են ներքին։ Մի քանի ուրիշներ արտաքին են։
Եթե մենք խոսում ենք մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանակների մասին, ապա խնդիրը մեծապես պարզեցված է։ Փաստն այն է, որ ցանկացած փոխադարձ պայմանավորվածության դեպքում այս դեպքում նրանք կունենան միայն մեկ շոշափող։ Եվ այն կանցնի նրանց հատման կետով։ Այսպիսով, դժվարության կառուցումը չի առաջացնի:
Եթե պատկերներն ունեն երկու հատման կետ, ապա նրանց համար կարելի է ուղիղ գիծ կառուցել՝ շոշափող շրջանագծին և՛ մեկին, և՛ երկրորդին, բայց միայն արտաքինին: Այս խնդրի լուծումը նման է նրան, ինչ կքննարկվի ստորև։
Խնդիրի լուծում
Ե՛վ ներքին, և՛ արտաքին շոշափողները երկու շրջանագծին այնքան էլ հեշտ չեն կառուցել, թեև այս խնդիրը կարելի է լուծել: Փաստն այն է, որ դրա համար օգտագործվում է օժանդակ գործիչ, այնպես որ ինքներդ մտածեք այս մեթոդի մասին
բավականին խնդրահարույց. Այսպիսով, տրված են O1 և O2 տարբեր շառավիղներով և կենտրոններով երկու շրջան: Նրանց համար դուք պետք է կառուցեք երկու զույգ շոշափողներ:
Առաջին հերթին մեծի կենտրոնի մոտշրջանակները պետք է կառուցվեն օժանդակ: Այս դեպքում կողմնացույցի վրա պետք է հաստատվի երկու սկզբնական թվերի շառավիղների տարբերությունը: Օժանդակ շրջանագծի շոշափումները կառուցված են փոքր շրջանի կենտրոնից: Դրանից հետո O1-ից և O2-ից ուղղահայացներ են գծվում այս գծերի վրա, մինչև դրանք հատվեն սկզբնական թվերի հետ: Ինչպես հետևում է շոշափողի հիմնական հատկությանը, երկու շրջանագծերի ցանկալի կետերը գտնվել են: Խնդիրը լուծված է, գոնե դրա առաջին մասը։
Ներքին շոշափողներ կառուցելու համար դուք պետք է գործնականում լուծեք
նման առաջադրանք: Կրկին անհրաժեշտ է օժանդակ գործիչ, բայց այս անգամ դրա շառավիղը հավասար կլինի սկզբնականների գումարին։ Նրա վրա շոշափումներ են կառուցվում տրված օղակներից մեկի կենտրոնից։ Լուծման հետագա ընթացքը կարելի է հասկանալ նախորդ օրինակից։
Շոշափող շրջանակը կամ նույնիսկ երկուսը կամ ավելին այնքան էլ բարդ խնդիր չէ: Իհարկե, մաթեմատիկոսները վաղուց դադարել են ձեռքով լուծել նման խնդիրները և հաշվարկները վստահել հատուկ ծրագրերին։ Բայց մի կարծեք, որ հիմա պարտադիր չէ, որ դուք կարողանաք դա անել ինքներդ, քանի որ համակարգչի համար առաջադրանքը ճիշտ ձևակերպելու համար պետք է շատ բան անել և հասկանալ: Ցավոք, մտավախություն կա, որ գիտելիքների վերահսկման թեստային ձևին վերջնական անցնելուց հետո շինարարական առաջադրանքները ավելի ու ավելի շատ դժվարություններ կառաջացնեն ուսանողների համար:
Ինչ վերաբերում է ավելի շատ շրջանակների համար ընդհանուր շոշափողներ գտնելուն, ապա դա միշտ չէ, որ հնարավոր է, նույնիսկ եթե դրանք ընկած են նույն հարթության վրա: Բայց որոշ դեպքերում դուք կարող եք գտնել նման ուղիղ գիծ:
Կյանքի օրինակներ
Երկու շրջանագծի ընդհանուր շոշափում հաճախ հանդիպում է գործնականում, թեև դա միշտ չէ, որ նկատելի է: Փոխակրիչներ, բլոկ համակարգեր, ճախարակի փոխանցման գոտիներ, կարի մեքենայի թելերի լարվածությունը և նույնիսկ հեծանիվների շղթան, այս ամենը կյանքի օրինակներ են: Այսպիսով, մի կարծեք, որ երկրաչափական խնդիրները մնում են միայն տեսականորեն. ճարտարագիտության, ֆիզիկայի, շինարարության և շատ այլ ոլորտներում դրանք գործնական կիրառություն են գտնում:
