Որո՞նք են իռացիոնալ թվերը: Ինչո՞ւ են այդպես կոչվում։ Որտեղ են դրանք օգտագործվում և ինչ են դրանք: Քչերը կարող են առանց վարանելու պատասխանել այս հարցերին: Բայց իրականում դրանց պատասխանները բավականին պարզ են, չնայած ոչ բոլորին են պետք դրանք և շատ հազվադեպ իրավիճակներում
Էություն և նշանակում
Իռացիոնալ թվերը անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակներ են։ Այս հայեցակարգի ներդրման անհրաժեշտությունը պայմանավորված է նրանով, որ նախկինում գոյություն ունեցող իրական կամ իրական, ամբողջ թվեր, բնական և ռացիոնալ թվեր հասկացություններն այլևս բավարար չէին նոր առաջացող խնդիրներ լուծելու համար: Օրինակ՝ 2-ի քառակուսին հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել չկրկնվող անսահման տասնորդականներ: Բացի այդ, ամենապարզ հավասարումներից շատերը նույնպես լուծում չունեն առանց իռացիոնալ թվի հայեցակարգի ներդրման:
Այս բազմությունը նշվում է որպես I: Եվ, ինչպես արդեն պարզ է, այս արժեքները չեն կարող ներկայացվել որպես պարզ կոտորակ, որի համարիչում կլինի ամբողջ, իսկ հայտարարում՝ բնական թիվ:.
Առաջին անգամՀակառակ դեպքում, հնդիկ մաթեմատիկոսները հանդիպել են այս երևույթին մ.թ.ա. 7-րդ դարում, երբ պարզվել է, որ որոշ քանակությունների քառակուսի արմատները չեն կարող հստակ նշվել: Իսկ նման թվերի գոյության առաջին ապացույցը վերագրվում է Պյութագորաս Հիպասոսին, ով դա արել է հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյունի ուսումնասիրության ընթացքում։ Այս հավաքածուի ուսումնասիրության մեջ լուրջ ներդրում են ունեցել մի քանի այլ գիտնականներ, ովքեր ապրել են մեր դարաշրջանից առաջ: Իռացիոնալ թվերի հայեցակարգի ներդրումը ենթադրում էր գոյություն ունեցող մաթեմատիկական համակարգի վերանայում, այդ իսկ պատճառով դրանք այդքան կարևոր են։
Անվան ծագումը
Եթե ratio լատիներեն նշանակում է «կոտորակ», «հարաբերակցություն», ապա «ir»
նախածանցը այս բառին տալիս է հակառակ նշանակություն: Այսպիսով, այս թվերի բազմության անվանումը ցույց է տալիս, որ դրանք չեն կարող փոխկապակցվել ամբողջ թվի կամ կոտորակի հետ, դրանք առանձին տեղ ունեն։ Սա բխում է դրանց էությունից։
Տեղը ընդհանուր դասակարգման մեջ
Իռացիոնալ թվերը ռացիոնալ թվերի հետ միասին պատկանում են իրական կամ իրական թվերի խմբին, որոնք իրենց հերթին պատկանում են բարդ թվերին։ Չկան ենթաբազմություններ, սակայն կան հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ տարատեսակներ, որոնք կքննարկվեն ստորև։
Հատկություններ
Քանի որ իռացիոնալ թվերը իրական թվերի բազմության մաս են կազմում, դրանց վրա կիրառվում են դրանց բոլոր հատկությունները, որոնք ուսումնասիրվում են թվաբանության մեջ (դրանք կոչվում են նաև հիմնական հանրահաշվական օրենքներ):
a + b=b + a (փոխադարձություն);
(ա + բ) + գ=ա + (բ + գ)(ասոցիատիվություն);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (հակառակ թվի առկայությունը);
ab=ba (տեղաշարժման օրենք);
(ab)c=a(bc) (բաշխվածություն);
a(b+c)=ab + ac (բաշխիչ օրենք);
a x 1=a
a x 1/a=1 (հակադարձ թվի առկայությունը);
Համեմատությունն իրականացվում է նաև ընդհանուր օրենքների և սկզբունքների համաձայն.
Եթե a > b և b > c, ապա a > c (հարաբերակցության անցողիկություն) և. և այլն։
Իհարկե, բոլոր իռացիոնալ թվերը կարելի է փոխարկել՝ օգտագործելով հիմնական թվաբանությունը: Դրա համար հատուկ կանոններ չկան։
Բացի այդ, Արքիմեդի աքսիոմը վերաբերում է իռացիոնալ թվերին: Այն ասում է, որ ցանկացած երկու մեծությունների համար a և b, պնդումը ճշմարիտ է, որ բավականաչափ անգամ ընդունելով a որպես անդամ, դուք կարող եք գերազանցել b-ին:
Օգտագործել
Չնայած այն հանգամանքին, որ սովորական կյանքում դուք հաճախ ստիպված չեք լինում նրանց հետ գործ ունենալ, իռացիոնալ թվերը հնարավոր չէ հաշվել։ Դրանք շատ են, բայց գրեթե անտեսանելի են։ Մենք ամենուր շրջապատված ենք իռացիոնալ թվերով։ Բոլորին ծանոթ օրինակներ են pi թիվը, որը հավասար է 3-ի, 1415926 …, կամ e, որն ըստ էության բնական լոգարիթմի հիմքն է, 2, 718281828… Հանրահաշվում, եռանկյունաչափության և երկրաչափության մեջ դրանք պետք է անընդհատ օգտագործվեն:. Ի դեպ, «ոսկե հատվածի» հայտնի արժեքը, այսինքն՝ և՛ մեծ մասի հարաբերակցությունը փոքրին, և՛ հակառակը, նույնպես
է։
-ը պատկանում է այս հավաքածուին: Քիչ հայտնի «արծաթ»-ը նույնպես։
Դրանք գտնվում են շատ խիտ թվային գծի վրա, ուստի ռացիոնալների բազմության հետ կապված ցանկացած երկու արժեքի միջև անպայման տեղի կունենա իռացիոնալ:
Այս հավաքածուի հետ կապված դեռ շատ չլուծված խնդիրներ կան։ Կան այնպիսի չափանիշներ, ինչպիսիք են իռացիոնալության չափը և թվի նորմալությունը։ Մաթեմատիկոսները շարունակում են ուսումնասիրել այս կամ այն խմբին պատկանելու ամենանշանակալի օրինակները: Օրինակ, ենթադրվում է, որ e-ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվանշանների հայտնվելու հավանականությունը նույնն է։ Ինչ վերաբերում է pi-ին, ապա դրա վերաբերյալ հետազոտությունները դեռ շարունակվում են։ Իռացիոնալության չափը կոչվում է նաև արժեք, որը ցույց է տալիս, թե որքան լավ է այս կամ այն թիվը մոտավոր ռացիոնալ թվերով։
Հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ
Ինչպես արդեն նշվեց, իռացիոնալ թվերը պայմանականորեն բաժանվում են հանրահաշվականի և տրանսցենդենտալի։ Պայմանականորեն, քանի որ, խստորեն ասած, այս դասակարգումն օգտագործվում է C բազմությունը բաժանելու համար.
Այս նշանակումը թաքցնում է բարդ թվեր, որոնք ներառում են իրական կամ իրական թվեր:
Այսպիսով, հանրահաշվական արժեքն այն արժեքն է, որը բազմանդամի արմատն է, որը նույնականորեն հավասար չէ զրոյի: Օրինակ, 2-ի քառակուսի արմատը կլինի այս կատեգորիայում, քանի որ դա x2 - 2=0.
հավասարման լուծումն է:
Բոլոր մյուս իրական թվերը, որոնք չեն բավարարում այս պայմանին, կոչվում են տրանսցենդենտալ: Այս բազմազանությանըներառեք ամենահայտնի և արդեն հիշատակված օրինակները՝ pi թիվը և e բնական լոգարիթմի հիմքը։
Հետաքրքիր է, որ մաթեմատիկոսները ի սկզբանե չեն եզրակացրել ոչ մեկը, ոչ էլ երկրորդը, նրանց իռացիոնալությունն ու տրանսցենդենտալությունը ապացուցվել են դրանց բացահայտումից տարիներ անց: Pi-ի համար ապացույցը տրվել է 1882 թվականին և պարզեցվել է 1894 թվականին, ինչը վերջ դրեց 2500-ամյա վեճին շրջանագծի քառակուսացման խնդրի շուրջ։ Այն դեռ լիովին հասկանալի չէ, ուստի ժամանակակից մաթեմատիկոսները աշխատելու բան ունեն։ Ի դեպ, այս արժեքի առաջին բավական ճշգրիտ հաշվարկը կատարել է Արքիմեդը։ Նրանից առաջ բոլոր հաշվարկները չափազանց մոտավոր էին։
E-ի (Էյլերի կամ Նապիերի թվերի) համար դրա գերազանցության ապացույցը գտնվել է 1873 թվականին։ Այն օգտագործվում է լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար։
Այլ օրինակներ ներառում են սինուս, կոսինուս և շոշափող արժեքներ ցանկացած հանրահաշվական ոչ զրոյական արժեքների համար:
