Տարածական պատկերների ծավալների հաշվարկը ստերեոմետրիայի կարևոր խնդիրներից է։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք նման բազմանկյուն բուրգի ծավալը որոշելու հարցը, ինչպես նաև կտանք կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալի բանաձևը:
վեցանկյուն բուրգ
Նախ, եկեք տեսնենք, թե որն է այն ցուցանիշը, որը կքննարկվի հոդվածում:
Եկեք ունենանք կամայական վեցանկյուն, որի կողմերը պարտադիր չէ, որ հավասար լինեն միմյանց: Ենթադրենք նաև, որ մենք ընտրել ենք տարածության մի կետ, որը վեցանկյան հարթությունում չէ: Վերջինիս բոլոր անկյունները միացնելով ընտրված կետին՝ ստանում ենք բուրգ։ Ստորև բերված նկարում ներկայացված են վեցանկյուն հիմքով երկու տարբեր բուրգեր:
Երևում է, որ վեցանկյունից բացի, պատկերը բաղկացած է վեց եռանկյունից, որոնց միացման կետը կոչվում է գագաթ։ Պատկերված բուրգերի տարբերությունն այն է, որ դրանցից աջ կողմի h բարձրությունը չի հատում վեցանկյուն հիմքը իր երկրաչափական կենտրոնում, և ձախ պատկերի բարձրությունն ընկնում է։հենց այդ կենտրոնում: Այս չափանիշի շնորհիվ ձախ բուրգը կոչվեց ուղիղ, իսկ աջը՝ թեք։
Քանի որ նկարի ձախ պատկերի հիմքը կազմված է հավասար կողմերով և անկյուններով վեցանկյունով, այն կոչվում է ճիշտ։ Հետագայում հոդվածում կխոսենք միայն այս բուրգի մասին։
Վեցանկյուն բուրգի ծավալը
Կամայական բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար գործում է հետևյալ բանաձևը՝
V=1/3hSo
Այստեղ h-ը գործչի բարձրության երկարությունն է, So-ը նրա հիմքի մակերեսն է: Եկեք այս արտահայտությունն օգտագործենք կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալը որոշելու համար։
Քանի որ դիտարկվող պատկերը հիմնված է հավասարակողմ վեցանկյունի վրա, դրա մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ ընդհանուր արտահայտությունը n-անկյունի համար.
S=n/4a2ctg(pi/n)
Այստեղ n-ն ամբողջ թիվ է, որը հավասար է բազմանկյան կողմերի (անկյունների) թվին, a-ն նրա կողմի երկարությունն է, կոտանգենս ֆունկցիան հաշվարկվում է համապատասխան աղյուսակների միջոցով:
Կիրառելով n=6 արտահայտությունը, մենք ստանում ենք՝
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Այժմ մնում է այս արտահայտությունը փոխարինել V ծավալի ընդհանուր բանաձևով:
V6=S6h=√3/2ha2
Այսպիսով, դիտարկվող բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա երկու գծային պարամետրերը՝ հիմքի կողմի երկարությունը և պատկերի բարձրությունը։
Խնդիրների լուծման օրինակ
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է V6-ի ստացված արտահայտությունը օգտագործել հետևյալ խնդիրը լուծելու համար։
Հայտնի է, որ կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալը 100 սմ է3։ Անհրաժեշտ է որոշել հիմքի կողմը և պատկերի բարձրությունը, եթե հայտնի է, որ դրանք միմյանց հետ կապված են հետևյալ հավասարությամբ՝.
a=2h
Քանի որ միայն a-ն և h-ն ընդգրկված են ծավալի բանաձևում, այս պարամետրերից որևէ մեկը կարող է փոխարինվել դրանում՝ արտահայտված մյուսով: Օրինակ, փոխարինելով a-ն, մենք ստանում ենք՝
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Գծի բարձրության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է ծավալից վերցնել երրորդ աստիճանի արմատը, որը համապատասխանում է երկարության չափմանը։ Խնդրի դրույթից փոխարինում ենք բուրգի V6 ծավալի արժեքը, ստանում ենք բարձրությունը՝
ժ=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 սմ
Քանի որ հիմքի կողմը, խնդրի պայմանին համապատասխան, կրկնակի է գտնված արժեքից, մենք ստանում ենք դրա արժեքը.
a=2h=23, 0676=6, 1352 սմ
Վեցանկյուն բուրգի ծավալը կարելի է գտնել ոչ միայն պատկերի բարձրության և նրա հիմքի կողմի արժեքի միջոցով: Այն հաշվարկելու համար բավական է իմանալ բուրգի երկու տարբեր գծային պարամետր, օրինակ՝ ապոտեմա և կողային եզրի երկարությունը։
