Պլանաչափությունը երկրաչափության ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է հարթ պատկերների հատկությունները։ Դրանք ներառում են ոչ միայն հայտնի եռանկյուններ, քառակուսիներ, ուղղանկյուններ, այլև ուղիղ գծեր և անկյուններ: Պլանաչափության մեջ կան նաև այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են անկյունները շրջանագծի մեջ՝ կենտրոնական և ներգծված։ Բայց ի՞նչ են նրանք նշանակում:
Ո՞րն է կենտրոնական անկյունը:
Որպեսզի հասկանաք, թե ինչ է կենտրոնական անկյունը, դուք պետք է սահմանեք շրջան: Շրջանակը տրված կետից (շրջանի կենտրոնից) հավասար հեռավորության վրա գտնվող բոլոր կետերի հավաքածուն է։
Շատ կարևոր է այն տարբերել շրջանագծից։ Պետք է հիշել, որ շրջանագիծը փակ գիծ է, իսկ շրջանագիծը դրանով սահմանափակված հարթության մի մասն է։ Բազմանկյունը կամ անկյունը կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ։
Կենտրոնական անկյունը այն անկյունն է, որի գագաթը համընկնում է շրջանագծի կենտրոնի հետ, և որի կողմերը հատում են շրջանագիծը երկու կետով: Այն աղեղը, որը անկյունը սահմանափակում է հատման կետերով, կոչվում է աղեղ, որի վրա հենվում է տվյալ անկյունը։
Դիտարկենք օրինակ 1.
Նկարում AOB անկյունը կենտրոնական է, քանի որ անկյան գագաթը և շրջանագծի կենտրոնը մեկ կետ են O: Այն հենված է AB աղեղի վրա, որը չի պարունակում C կետ:
Ինչպե՞ս է ներգծված անկյունը տարբերվում կենտրոնականից:
Սակայն, բացի կենտրոնականներից, կան նաև ներգծված անկյուններ։ Ո՞րն է նրանց տարբերությունը: Ինչպես կենտրոնականը, այնպես էլ շրջանագծի մեջ ներգծված անկյունը հենվում է որոշակի աղեղի վրա։ Բայց նրա գագաթը չի համընկնում շրջանագծի կենտրոնի հետ, այլ ընկած է դրա վրա։
Վերցնենք հետևյալ օրինակը։
Անկյուն ACB կոչվում է անկյուն, որը ներգծված է շրջանագծի մեջ՝ կենտրոնացած O կետում: C կետը պատկանում է շրջանագծին, այսինքն՝ ընկած է դրա վրա: Անկյունը հենվում է AB աղեղի վրա։
Ո՞րն է կենտրոնական անկյունը
Երկրաչափության խնդիրներին հաջողությամբ հաղթահարելու համար բավական չէ կարողանալ տարբերել ներգծված և կենտրոնական անկյունները: Որպես կանոն, դրանք լուծելու համար դուք պետք է հստակ իմանաք, թե ինչպես գտնել կենտրոնական անկյունը շրջանագծի մեջ և կարողանաք հաշվարկել դրա արժեքը աստիճաններով:
Այսպիսով, կենտրոնական անկյունը հավասար է այն աղեղի աստիճանի չափմանը, որի վրա հենված է:
Նկարում AOB անկյունը հենված է AB աղեղի վրա, որը հավասար է 66°: Այսպիսով, AOB անկյունը նույնպես հավասար է 66°-ի:
Այսպիսով, հավասար աղեղների վրա հիմնված կենտրոնական անկյունները հավասար են։
Նկարում DC աղեղը հավասար է AB աղեղին: Այսպիսով, AOB անկյունը հավասար է DOC անկյունին:
Ինչպես գտնել ներգծված անկյուն
Կարող է թվալ, որ շրջանագծի մեջ ներգծված անկյունը հավասար է կենտրոնական անկյան,որը հենվում է նույն աղեղի վրա։ Այնուամենայնիվ, սա կոպիտ սխալ է։ Իրականում, նույնիսկ պարզապես նայելով գծագրին և համեմատելով այս անկյունները միմյանց հետ, դուք կարող եք տեսնել, որ դրանց աստիճանի չափումները տարբեր արժեքներ կունենան: Այսպիսով, ո՞րն է շրջանագծի մեջ գրված անկյունը:
Ներգրված անկյան աստիճանի չափը աղեղի կեսն է, որի վրա հենվում է, կամ կենտրոնական անկյան կեսը, եթե դրանք հենվում են նույն աղեղի վրա:
Եկեք դիտարկենք մի օրինակ. ACB անկյունը հիմնված է 66°-ի հավասար աղեղի վրա:
Այսպիսով, անկյունը DIA=66°: 2=33°
Եկեք դիտարկենք այս թեորեմի որոշ հետևանքներ:
- Նշված անկյունները, եթե դրանք հիմնված են նույն աղեղի, ակորդի կամ հավասար աղեղների վրա, հավասար են։
- Եթե ներգծված անկյունները հիմնված են միևնույն ակորդի վրա, բայց դրանց գագաթները գտնվում են դրա հակառակ կողմերում, ապա այդպիսի անկյունների աստիճանի չափումների գումարը 180° է, քանի որ այս դեպքում երկու անկյուններն էլ հիմնված են աղեղների վրա, որի ընդհանուր աստիճանի չափումը 360 ° է (ամբողջ շրջան), 360 °: 2=180 °
- Եթե ներգծված անկյունը հիմնված է տվյալ շրջանագծի տրամագծի վրա, ապա դրա աստիճանի չափումը 90° է, քանի որ տրամագիծը հավասար է 180°, 180°: 2=90°:
- Եթե շրջանագծի կենտրոնական և ներգծված անկյունները հիմնված են նույն աղեղի կամ լարի վրա, ապա ներգծված անկյունը հավասար է կենտրոնականի կեսին։
Որտե՞ղ կարելի է գտնել այս թեմայով խնդիրներ: Դրանց տեսակներն ու լուծումները
Քանի որ շրջանագիծը և նրա հատկությունները երկրաչափության ամենակարևոր բաժիններից են, մասնավորապես պլանաչափությունը, շրջանագծի ներգծված և կենտրոնական անկյունները լայն և մանրամասն թեմա են։սովորել է դպրոցական ծրագրում։ Նրանց հատկություններին նվիրված առաջադրանքները գտնվում են հիմնական պետական քննության (OGE) և միասնական պետական քննության (USE) ժամանակ: Որպես կանոն, այս խնդիրները լուծելու համար պետք է շրջանագծի անկյունները գտնել աստիճաններով։
Անկյուններ՝ հիմնված նույն աղեղի վրա
Խնդիրների այս տեսակը թերևս ամենահեշտներից է, քանի որ այն լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն երկու պարզ հատկություն. կենտրոնական, ապա համապատասխան ներգծված անկյունը հավասար է դրա կեսին։ Սակայն դրանք լուծելիս պետք է չափազանց զգույշ լինել. երբեմն դժվար է նկատել այս հատկությունը, իսկ ուսանողները նման պարզ խնդիրներ լուծելիս հայտնվում են փակուղու մեջ։ Դիտարկենք մի օրինակ։
Խնդիր 1
Տրված է O կետում կենտրոնացած շրջան: AOB անկյունը 54° է: Գտե՛ք DIA անկյան աստիճանի չափը։
Այս խնդիրը լուծվում է մեկ քայլով։ Միակ բանը, որ անհրաժեշտ է դրա պատասխանն արագ գտնելու համար, նկատելն է, որ աղեղը, որի վրա հենվում են երկու անկյունները, ընդհանուր է։ Տեսնելով դա՝ կարող եք կիրառել արդեն ծանոթ հատկությունը։ ACB անկյունը AOB անկյան կեսն է: Այսպիսով, 1) AOB=54°: 2=27°։
Պատասխան՝ 54°.
Անկյուններ՝ հիմնված նույն շրջանի տարբեր կամարների վրա
Երբեմն այն աղեղի չափը, որի վրա հենվում է պահանջվող անկյունը, ուղղակիորեն չի նշվում խնդրի պայմաններում: Այն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է վերլուծել այս անկյունների մեծությունը և համեմատել դրանք շրջանագծի հայտնի հատկությունների հետ։
Խնդիր 2
Շրջանակում, որը կենտրոնացած է O, AOC անկյունում120° է, իսկ AOB անկյունը 30° է։ Գտեք անկյունը ԴՈՒ։
Սկզբից արժե ասել, որ այս խնդիրը հնարավոր է լուծել՝ օգտագործելով հավասարաչափ եռանկյունների հատկությունները, սակայն դրա համար ավելի շատ մաթեմատիկական գործողություններ կպահանջվեն։ Հետևաբար, այստեղ մենք կվերլուծենք լուծումը՝ օգտագործելով կենտրոնական և ներգծված անկյունների հատկությունները շրջանագծով:
Այսպիսով, AOC անկյունը հենված է AC աղեղի վրա և կենտրոնական է, ինչը նշանակում է, որ AC աղեղը հավասար է AOC անկյունին:
AC=120°
Նույն ձևով AOB անկյունը հենվում է AB աղեղի վրա։
AB=30°.
Իմանալով այս և ամբողջ շրջանագծի աստիճանի չափը (360°), դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել աղեղի մեծությունը մ.թ.ա.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB անկյան գագաթը՝ A կետը, ընկած է շրջանագծի վրա: Այսպիսով, CAB անկյունը գրված է և հավասար է CB աղեղի կեսին:
CAB անկյուն=210°: 2=110°
Պատասխան՝ 110°
Խնդիրներ՝ հիմնված աղեղային հարաբերակցության վրա
Որոշ խնդիրներ ընդհանրապես չեն պարունակում անկյունների վերաբերյալ տվյալներ, ուստի դրանք պետք է փնտրել միայն հայտնի թեորեմների և շրջանագծի հատկությունների հիման վրա:
Խնդիր 1
Գտեք շրջանագծի մեջ ներգծված անկյունը, որն ապահովված է տվյալ շրջանագծի շառավղին հավասար ակորդով:
Եթե մտովի գծեք հատվածի ծայրերը շրջանագծի կենտրոնի հետ կապող գծեր, կստանաք եռանկյուն: Ուսումնասիրելով այն՝ դուք կարող եք տեսնել, որ այս ուղիղները շրջանագծի շառավիղներն են, ինչը նշանակում է, որ եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են: Մենք գիտենք, որ հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյուններըհավասար են 60°-ի։ Այսպիսով, AB աղեղը, որը պարունակում է եռանկյան գագաթը, հավասար է 60°-ի: Այստեղից մենք գտնում ենք AB աղեղը, որի վրա հիմնված է ցանկալի անկյունը։
AB=360° - 60°=300°
Անկյուն ABC=300°: 2=150°
Պատասխան՝ 150°
Խնդիր 2
Օ կետում կենտրոնացած շրջանագծի մեջ կամարները կապված են 3:7: Գտեք ավելի փոքր ներգծված անկյունը։
Լուծման համար մի մասը նշում ենք X, այնուհետև մի աղեղը հավասար է 3X, իսկ երկրորդը, համապատասխանաբար, 7X: Իմանալով, որ շրջանագծի աստիճանի չափը 360° է, մենք կարող ենք գրել հավասարում։
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Ըստ պայմանի՝ պետք է ավելի փոքր անկյուն գտնել։ Ակնհայտ է, որ եթե անկյան արժեքն ուղիղ համեմատական է այն աղեղին, որի վրա այն հենվում է, ապա պահանջվող (ավելի փոքր) անկյունը համապատասխանում է 3X-ի հավասար աղեղին։
Ուրեմն ավելի փոքր անկյունն է (36°3): 2=108°: 2=54°
Պատասխան՝ 54°
Խնդիր 3
Օ կետում կենտրոնացած շրջանագծի մեջ AOB անկյունը 60° է, իսկ փոքր աղեղի երկարությունը՝ 50։ Հաշվե՛ք ավելի մեծ աղեղի երկարությունը։
Ավելի մեծ աղեղի երկարությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է համամասնություն կազմել՝ ինչպես է փոքր աղեղը կապված մեծի հետ: Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք երկու աղեղների մեծությունը աստիճաններով: Փոքր աղեղը հավասար է անկյան վրա, որը հենվում է դրա վրա: Նրա աստիճանի չափումը 60° է։ Ավելի մեծ աղեղը հավասար է շրջանագծի աստիճանի չափման տարբերությանը (այն հավասար է 360°-ի՝ անկախ այլ տվյալներից) և փոքր աղեղից։
Մեծ աղեղը 360° - 60°=300° է։
Քանի որ 300°: 60°=5, մեծ աղեղը 5 անգամ փոքր է:
Մեծ աղեղ=505=250
Պատասխան՝ 250
Այնպես որ, իհարկե, կան ուրիշներնմանատիպ խնդիրների լուծման մոտեցումներ, սակայն բոլորն էլ ինչ-որ կերպ հիմնված են կենտրոնական և ներգծված անկյունների, եռանկյունների և շրջանագծերի հատկությունների վրա: Դրանք հաջողությամբ լուծելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր ուսումնասիրել գծագիրը և համեմատել այն խնդրի տվյալների հետ, ինչպես նաև կարողանալ գործնականում կիրառել տեսական գիտելիքներդ։
