Հարթությունը կետի և ուղիղ գծի հետ միասին հիմնական երկրաչափական տարր է: Դրա օգտագործմամբ կառուցվում են տարածական երկրաչափության բազմաթիվ պատկերներ։ Այս հոդվածում մենք ավելի մանրամասն կքննարկենք այն հարցը, թե ինչպես գտնել անկյուն երկու հարթությունների միջև:
Հայեցակարգ
Երկու հարթությունների անկյան մասին խոսելուց առաջ պետք է լավ հասկանալ, թե երկրաչափության որ տարրի մասին է խոսքը։ Եկեք հասկանանք տերմինաբանությունը. Ինքնաթիռը տարածության մեջ կետերի անվերջ հավաքածու է, որոնց միացնելով մենք ստանում ենք վեկտորներ։ Վերջինս ուղղահայաց կլինի ինչ-որ մեկ վեկտորի վրա: Այն սովորաբար կոչվում է հարթության նորմալ:
Վերևի նկարը ցույց է տալիս հարթություն և դրա երկու նորմալ վեկտոր: Կարելի է տեսնել, որ երկու վեկտորներն էլ ընկած են նույն ուղիղ գծի վրա։ Նրանց միջև անկյունը 180o է։
Հավասարումներ
Երկու հարթությունների միջև անկյունը կարելի է որոշել, եթե հայտնի է դիտարկվող երկրաչափական տարրի մաթեմատիկական հավասարումը։ Նման հավասարումների մի քանի տեսակներ կան.որոնց անունները նշված են ստորև՝
- ընդհանուր տեսակ;
- վեկտոր;
- հատվածներում։
Այս երեք տեսակներն ամենահարմարն են տարբեր տեսակի խնդիրներ լուծելու համար, ուստի դրանք առավել հաճախ օգտագործվում են։
Ընդհանուր տիպի հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝
Ax + By + Cz + D=0.
Այստեղ x, y, z-ն տվյալ հարթությանը պատկանող կամայական կետի կոորդինատներն են։ A, B, C և D պարամետրերը թվեր են: Այս նշման հարմարությունը կայանում է նրանում, որ A, B, C թվերը հարթությանը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
հարթության վեկտորային ձևը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, բ2, c2).
Այստեղ (a2, b2, c2) և (a 1, b1, c1) - երկու կոորդինատային վեկտորների պարամետրեր, որոնք պատկանում են դիտարկվող հարթությանը: Կետը (x0, y0, z0) նույնպես գտնվում է այս հարթության մեջ: α և β պարամետրերը կարող են անկախ և կամայական արժեքներ ընդունել։
Վերջապես, հարթության հավասարումը հատվածներով ներկայացված է հետևյալ մաթեմատիկական ձևով՝
x/p + y/q + z/l=1.
Այստեղ p, q, l-ն կոնկրետ թվեր են (ներառյալ բացասականները): Այս կարգի հավասարումը օգտակար է, երբ անհրաժեշտ է ինքնաթիռ պատկերել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, քանի որ p, q, l թվերը ցույց են տալիս հատման կետերը x, y և z առանցքների հետ։ինքնաթիռ.
Նշեք, որ յուրաքանչյուր տեսակի հավասարում կարող է փոխարկվել ցանկացած այլի՝ օգտագործելով պարզ մաթեմատիկական գործողություններ:
Երկու հարթությունների միջև անկյան բանաձև
Այժմ հաշվի առեք հետևյալ նրբերանգը. Եռաչափ տարածության մեջ երկու ինքնաթիռ կարող է տեղակայվել միայն երկու եղանակով։ Կամ հատվել, կամ լինել զուգահեռ: Երկու հարթությունների միջև անկյունն այն է, ինչ գտնվում է նրանց ուղղորդող վեկտորների միջև (նորմալ): 2 վեկտորները հատվելով կազմում են 2 անկյուն (ընդհանուր դեպքում սուր և բութ): Հարթությունների միջև անկյունը համարվում է սուր: Դիտարկենք հավասարումը։
Երկու հարթությունների միջև անկյան բանաձևը հետևյալն է.
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
Հեշտ է կռահել, որ այս արտահայտությունը n1¯ և n2 նորմալ վեկտորների սկալյար արտադրյալի ուղղակի հետևանքն է: ¯ դիտարկված ինքնաթիռների համար: Կետային արտադրանքի մոդուլը համարիչում ցույց է տալիս, որ θ անկյունը կընդունի միայն արժեքներ 0o -ից մինչև 90o: Նորմալ վեկտորների մոդուլների արտադրյալը հայտարարում նշանակում է նրանց երկարությունների արտադրյալ։
Նշում, եթե (n1¯n2¯)=0, ապա հարթությունները հատվում են ուղիղ անկյան տակ:
Օրինակ խնդիր
Հասկանալով, թե ինչ է կոչվում երկու հարթությունների անկյունը, մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրը. Որպես օրինակ. Այսպիսով, անհրաժեշտ է հաշվարկել անկյունը նման հարթությունների միջև՝
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հարթությունների ուղղության վեկտորները: Առաջին հարթության համար նորմալ վեկտորը հետևյալն է. n1¯=(2, -3, 0): Երկրորդ հարթության նորմալ վեկտորը գտնելու համար պետք է վեկտորները բազմապատկել α և β պարամետրերից հետո: Արդյունքը վեկտոր է՝ n2¯=(5, -3, 2).
Թ անկյունը որոշելու համար օգտագործում ենք նախորդ պարբերության բանաձևը: Մենք ստանում ենք՝
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0,5455 ռադ։
Հաշվարկված անկյունը ռադիաններով համապատասխանում է 31,26o: Այսպիսով, խնդրի վիճակի հարթությունները հատվում են 31, 26o անկյան տակ::
