Անկյուններ հարթությունների միջև: Ինչպես որոշել հարթությունների միջև անկյունը

Բովանդակություն:

Անկյուններ հարթությունների միջև: Ինչպես որոշել հարթությունների միջև անկյունը
Անկյուններ հարթությունների միջև: Ինչպես որոշել հարթությունների միջև անկյունը
Anonim

Տիեզերքում երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս հաճախ լինում են այնպիսիք, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել տարբեր տարածական օբյեկտների անկյունները։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք հարթությունների և դրանց միջև և ուղիղ գծի միջև անկյուններ գտնելու հարցը:

Տող տարածության մեջ

Հայտնի է, որ հարթության մեջ բացարձակապես ցանկացած ուղիղ կարող է սահմանվել հետևյալ հավասարությամբ.

y=ax + b

Ահա a և b որոշ թվեր: Եթե տարածության մեջ ուղիղ գիծ ենք ներկայացնում նույն արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք z առանցքին զուգահեռ հարթություն։ Տարածական գծի մաթեմատիկական սահմանման համար օգտագործվում է լուծման այլ մեթոդ, քան երկչափ դեպքում։ Այն բաղկացած է «ուղղության վեկտորի» հայեցակարգի օգտագործումից։

Ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը ցույց է տալիս նրա կողմնորոշումը տարածության մեջ: Այս պարամետրը պատկանում է տողին: Քանի որ տարածության մեջ կա վեկտորների անսահման բազմություն զուգահեռ, ուստի դիտարկվող երկրաչափական օբյեկտը եզակիորեն որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նաև նրան պատկանող կետի կոորդինատները։

Ենթադրենք, որ կակետ P(x0; y0; z0) և ուղղության վեկտոր v¯(a; b գ), ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարող է տրվել հետևյալ կերպ՝

(x; y; z)=P + αv¯ կամ

(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(ա; բ; գ)

Այս արտահայտությունը կոչվում է ուղիղ գծի պարամետրային վեկտորային հավասարում։ α գործակիցը պարամետր է, որը կարող է ընդունել բացարձակապես ցանկացած իրական արժեք: Տողի կոորդինատները կարելի է հստակորեն ներկայացնել՝ ընդլայնելով այս հավասարությունը.

x=x0+ αa;

y=y0+ αb;

z=z0+ αc

հարթության հավասարում

Տիեզերքում հարթության համար հավասարումը գրելու մի քանի ձև կա: Այստեղ մենք կդիտարկենք դրանցից մեկը, որն առավել հաճախ օգտագործվում է երկու հարթությունների կամ դրանցից մեկի և ուղիղ գծի միջև անկյունները հաշվարկելիս:

Եթե հայտնի է որոշ վեկտոր n¯(A; B; C), որն ուղղահայաց է ցանկալի հարթությանը, և P կետը (x0; y 0; z0), որը պատկանում է դրան, ապա վերջինիս ընդհանուր հավասարումն է.

Ax + By + Cz + D=0 որտեղ D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)

Մենք բաց ենք թողել այս արտահայտության ածանցյալը, որը բավականին պարզ է: Այստեղ միայն նշում ենք, որ, իմանալով հարթության հավասարման փոփոխականների գործակիցները, հեշտությամբ կարելի է գտնել բոլոր վեկտորները, որոնք ուղղահայաց են դրան։ Վերջիններս կոչվում են նորմալներ և օգտագործվում են թեքության և հարթության և հարթության միջև ընկած անկյունները հաշվարկելիս.կամայական անալոգներ։

հարթությունների գտնվելու վայրը և նրանց միջև անկյան բանաձևը

Ենթադրենք, որ երկու ինքնաթիռ կա: Որո՞նք են տարածության մեջ նրանց հարաբերական դիրքի տարբերակները: Քանի որ ինքնաթիռն ունի երկու անսահման չափ և մեկ զրո, հնարավոր է դրանց փոխադարձ կողմնորոշման միայն երկու տարբերակ՝

  • դրանք զուգահեռ կլինեն միմյանց;
  • դրանք կարող են համընկնել:

Հարթությունների միջև անկյունը ինդեքսն է նրանց ուղղության վեկտորների միջև, այսինքն՝ n1¯ և n2¯.:

Անկյուն երկու հարթությունների միջև
Անկյուն երկու հարթությունների միջև

Ակնհայտ է, որ եթե դրանք զուգահեռ են հարթությանը, ապա նրանց միջև հատման անկյունը զրո է: Եթե հատվում են, ուրեմն ոչ զրոյական է, բայց միշտ սուր։ Խաչմերուկի հատուկ դեպք կլինի 90o անկյունը, երբ հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են միմյանց:

n1¯ և n2¯ միջև α անկյունը հեշտությամբ որոշվում է այս վեկտորների սկալյար արտադրյալից: Այսինքն՝ բանաձևը տեղի է ունենում՝

α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))

Ենթադրենք, որ այս վեկտորների կոորդինատներն են՝ n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2): Այնուհետև, օգտագործելով վեկտորների սկալյար արտադրյալը և մոդուլները դրանց կոորդինատների միջոցով հաշվարկելու բանաձևերը, վերը նշված արտահայտությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ՝

α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))

Մոդուլը համարիչում հայտնվել է, քանի որ բացառում է բութ անկյունների արժեքները:

հարթությունների հատման անկյունը որոշելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Զուգահեռ և հատվող հարթություններ
Զուգահեռ և հատվող հարթություններ

Իմանալով, թե ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյունը, մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրը. Տրված է երկու հարթություն, որոնց հավասարումներն են՝

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Որքա՞ն է հարթությունների միջև անկյունը:

Խնդրի հարցին պատասխանելու համար հիշենք, որ հարթության ընդհանուր հավասարման փոփոխականների գործակիցները ուղեցույց վեկտորի կոորդինատներն են։ Նշված հարթությունների համար ունենք դրանց նորմալների հետևյալ կոորդինատները.

1¯(3; 4; -1);

2¯(-1; -2; 5)

Այժմ մենք գտնում ենք այս վեկտորների և դրանց մոդուլների սկալյար արտադրյալը, ունենք՝

(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;

|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;

|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30

Այժմ գտնված թվերը կարող եք փոխարինել նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևով: Մենք ստանում ենք՝

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Ստացված արժեքը համապատասխանում է պայմանում նշված հարթությունների հատման սուր անկյունինառաջադրանքներ։

Այժմ դիտարկենք մեկ այլ օրինակ: Տրված է երկու հարթություն՝

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Արդյո՞ք դրանք հատվում են: Եկեք դուրս գրենք դրանց ուղղության վեկտորների կոորդինատների արժեքները, հաշվարկենք դրանց սկալյար արտադրյալը և մոդուլները՝

1¯(1; 1; 0);

2¯(3; 3; 0);

(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;

|n1¯|=√2;

|n2¯|=√18

Այնուհետև հատման անկյունն է՝

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Այս անկյունը ցույց է տալիս, որ հարթությունները չեն հատվում, այլ զուգահեռ են։ Այն փաստը, որ դրանք չեն համապատասխանում միմյանց, հեշտ է ստուգել: Սրա համար վերցնենք դրանցից առաջինին պատկանող կամայական կետ, օրինակ՝ P(0; 3; 2): Փոխարինեք դրա կոորդինատները երկրորդ հավասարման մեջ, ստանում ենք՝

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Այսինքն՝ P կետը պատկանում է միայն առաջին հարթությանը։

Այսպիսով, երկու հարթություններ զուգահեռ են, երբ դրանց նորմալներն են:

հարթ և ուղիղ

Հարաբերական դիրքը հարթության և ուղիղ գծի միջև դիտարկելու դեպքում կան մի քանի տարբերակներ, քան երկու հարթությունների դեպքում: Այս փաստը կապված է ուղիղ գծի միաչափ օբյեկտ լինելու հետ։ Գիծը և հարթությունը կարող են լինել՝

  • փոխադարձ զուգահեռ, այս դեպքում հարթությունը չի հատում ուղիղը;
  • վերջինս կարող է պատկանել ինքնաթիռին, մինչդեռ այն նաև զուգահեռ կլինի նրան;
  • երկու օբյեկտները կարող ենհատվում են ինչ-որ անկյան տակ։

Եկեք նախ դիտարկենք վերջին դեպքը, քանի որ այն պահանջում է հատման անկյան հասկացության ներդրում։

Գիծ և հարթություն, նրանց միջև անկյունը

Եթե ուղիղ գիծը հատում է հարթությունը, ապա այն կոչվում է թեքված դրա նկատմամբ: հատման կետը կոչվում է թեքության հիմք։ Այս երկրաչափական առարկաների միջև անկյունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ցանկացած կետից իջեցնել հարթությանը ուղղահայաց ուղիղը: Այնուհետև հարթության հետ ուղղահայաց հատման կետը և նրա հետ թեք գծի հատման վայրը կազմում են ուղիղ գիծ։ Վերջինս կոչվում է սկզբնական գծի պրոյեկցիա դիտարկվող հարթության վրա։ Գծի և դրա պրոյեկցիայի միջև սուր անկյունը պարտադիր է:

Հարթության և թեքության միջև անկյան որոշ չափով շփոթեցնող սահմանումը կպարզաբանի ստորև բերված նկարը:

Ուղիղ գիծ, որը հատում է հարթությունը
Ուղիղ գիծ, որը հատում է հարթությունը

Այստեղ ABO անկյունը AB ուղիղի և a հարթության միջև ընկած անկյունն է:

Դրա բանաձևը գրելու համար դիտարկեք օրինակ: Թող լինեն ուղիղ գիծ և հարթություն, որոնք նկարագրված ենհավասարումներով.

(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);

Ax + Bx + Cx + D=0

Հեշտ է հաշվարկել այս օբյեկտների համար ցանկալի անկյունը, եթե գտնում եք սկալյար արտադրյալը ուղիղի և հարթության ուղղության վեկտորների միջև: Ստացված սուր անկյունը պետք է հանել 90o-ից, այնուհետև այն ստացվել է ուղիղ գծի և հարթության միջև։

Անկյուն թեքության և հարթության միջև
Անկյուն թեքության և հարթության միջև

Վերևի նկարը ցույց է տալիս գտնելու նկարագրված ալգորիթմըդիտարկված անկյուն. Այստեղ β-ն անկյունն է նորմալի և ուղիղի միջև, և α-ն գծի և հարթության վրա դրա ելքի միջև է: Երևում է, որ դրանց գումարը կազմում է 90o:

Վերևում ներկայացվեց մի բանաձև, որը պատասխանում է այն հարցին, թե ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյուն: Այժմ ուղիղ գծի և հարթության դեպքի համար տալիս ենք համապատասխան արտահայտությունը՝

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))

Բանաձևի մոդուլը թույլ է տալիս հաշվարկել միայն սուր անկյունները: Արկսինի ֆունկցիան հայտնվել է արկկոսինի փոխարեն՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև համապատասխան կրճատման բանաձևի կիրառման շնորհիվ (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)):

Խնդիր. ինքնաթիռը հատում է ուղիղ գիծը

Այժմ եկեք ցույց տանք, թե ինչպես աշխատել վերը նշված բանաձևի հետ: Լուծենք խնդիրը՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել y առանցքի և հարթության անկյունը տրվածհավասարմամբ։

y - z + 12=0

Այս ինքնաթիռը ներկայացված է նկարում։

x-առանցքին զուգահեռ հարթություն
x-առանցքին զուգահեռ հարթություն

Դուք կարող եք տեսնել, որ այն հատում է y և z առանցքները համապատասխանաբար (0; -12; 0) և (0; 0; 12) կետերում և զուգահեռ է x առանցքին:

Y ուղղի ուղղության վեկտորն ունի կոորդինատներ (0; 1; 0): Տվյալ հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը բնութագրվում է կոորդինատներով (0; 1; -1): Կիրառում ենք ուղիղ գծի և հարթության հատման անկյան բանաձևը, ստանում ենք՝

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Խնդիր. հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գիծ

Հիմա եկեք որոշենքնման է նախորդ խնդրին, որի հարցն այլ կերպ է դրված։ Հարթության և ուղիղ գծի հավասարումները հայտնի են՝

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Պետք է պարզել, թե արդյոք այս երկրաչափական առարկաները զուգահեռ են միմյանց:

Ունենք երկու վեկտոր՝ ուղիղ գծի ուղղությունը (0; 2; 2) է, իսկ հարթության ուղղությունը՝ (1; 1; -1): Գտեք դրանց կետային արտադրանքը՝

01 + 12 - 12=0

Ստացված զրոն ցույց է տալիս, որ այս վեկտորների միջև անկյունը 90o է, ինչը ապացուցում է, որ ուղիղը և հարթությունը զուգահեռ են:

Այժմ եկեք ստուգենք՝ արդյոք այս ուղիղը միայն զուգահեռ է, թե նաև հարթության մեջ է: Դա անելու համար ընտրեք կամայական կետ գծի վրա և ստուգեք, թե արդյոք այն պատկանում է ինքնաթիռին: Օրինակ՝ վերցնենք λ=0, ապա P(1; 0; 0) կետը պատկանում է ուղիղին։ Փոխարինեք P հարթության հավասարման մեջ:

1 - 3=-2 ≠ 0

P կետը չի պատկանում հարթությանը, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ ուղիղը նույնպես չի գտնվում դրա մեջ:

Որտե՞ղ է կարևոր իմանալ դիտարկվող երկրաչափական առարկաների միջև եղած անկյունները:

Պրիզմաներ և բուրգեր
Պրիզմաներ և բուրգեր

Խնդիրների լուծման վերը նշված բանաձեւերն ու օրինակները միայն տեսական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում: Դրանք հաճախ օգտագործվում են իրական եռաչափ պատկերների կարևոր ֆիզիկական քանակությունները որոշելու համար, ինչպիսիք են պրիզմաները կամ բուրգերը: Կարևոր է պատկերների ծավալները և դրանց մակերեսների մակերեսները հաշվարկելիս ինքնաթիռների միջև անկյունը որոշելը: Ընդ որում, եթե ուղիղ պրիզմայի դեպքում հնարավոր է չօգտագործել այս բանաձեւերը որոշելու համարնշված արժեքները, ապա ցանկացած տեսակի բուրգի համար դրանց օգտագործումն անխուսափելի է։

Ստորև բերեք վերը նշված տեսության օգտագործման օրինակ՝ քառակուսի հիմքով բուրգի անկյունները որոշելու համար:

Բուրգը և դրա անկյունները

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս բուրգը, որի հիմքում ընկած է a կողմ ունեցող քառակուսի: Ֆիգուրի բարձրությունը հ. Պետք է գտնել երկու անկյուն՝

  • կողային մակերեսի և հիմքի միջև;
  • կողային կողի և հիմքի միջև։
քառանկյուն բուրգ
քառանկյուն բուրգ

Խնդիրը լուծելու համար նախ պետք է մուտքագրել կոորդինատային համակարգ և որոշել համապատասխան գագաթների պարամետրերը։ Նկարը ցույց է տալիս, որ կոորդինատների ծագումը համընկնում է քառակուսի հիմքի կենտրոնում գտնվող կետի հետ: Այս դեպքում բազային հարթությունը նկարագրվում է հավասարմամբ՝

z=0

Այսինքն՝ ցանկացած x-ի և y-ի դեպքում երրորդ կոորդինատի արժեքը միշտ զրո է: ABC կողային հարթությունը հատում է z առանցքը B(0; 0; h) կետում, իսկ y առանցքը կետում կոորդինատներով (0; a/2; 0): Այն չի անցնում x առանցքը: Սա նշանակում է, որ ABC հարթության հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

y / (a / 2) + z / h=1 կամ

2hy + az - ah=0

Վեկտորը AB¯ կողային եզր է: Դրա սկզբի և վերջի կոորդինատներն են՝ A(a/2; a/2; 0) և B(0; 0; h): Այնուհետև բուն վեկտորի կոորդինատները՝

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Մենք գտել ենք բոլոր անհրաժեշտ հավասարումները և վեկտորները: Այժմ մնում է օգտագործել դիտարկված բանաձևերը։

Սկզբում մենք բուրգում հաշվում ենք հիմքի հարթությունների միջև ընկած անկյունըև կողմը. Համապատասխան նորմալ վեկտորներն են՝ n1¯(0; 0; 1) և n2¯(0; 2h; a): Այնուհետև անկյունը կլինի՝

α=arccos(a / √(4h2 + a2))

Անկյունը հարթության և AB եզրի միջև կլինի՝

β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))

Մնում է փոխարինել a հիմքի կողմի հատուկ արժեքները և h բարձրությունը՝ պահանջվող անկյունները ստանալու համար:

Խորհուրդ ենք տալիս: