Անկյուններ հարթությունների միջև: Ինչպես որոշել հարթությունների միջև անկյունը

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Տիեզերքում երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս հաճախ լինում են այնպիսիք, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել տարբեր տարածական օբյեկտների անկյունները։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք հարթությունների և դրանց միջև և ուղիղ գծի միջև անկյուններ գտնելու հարցը:

Տող տարածության մեջ

Հայտնի է, որ հարթության մեջ բացարձակապես ցանկացած ուղիղ կարող է սահմանվել հետևյալ հավասարությամբ.

y=ax + b

Ահա a և b որոշ թվեր: Եթե տարածության մեջ ուղիղ գիծ ենք ներկայացնում նույն արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք z առանցքին զուգահեռ հարթություն։ Տարածական գծի մաթեմատիկական սահմանման համար օգտագործվում է լուծման այլ մեթոդ, քան երկչափ դեպքում։ Այն բաղկացած է «ուղղության վեկտորի» հայեցակարգի օգտագործումից։

Ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը ցույց է տալիս նրա կողմնորոշումը տարածության մեջ: Այս պարամետրը պատկանում է տողին: Քանի որ տարածության մեջ կա վեկտորների անսահման բազմություն զուգահեռ, ուստի դիտարկվող երկրաչափական օբյեկտը եզակիորեն որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նաև նրան պատկանող կետի կոորդինատները։

Ենթադրենք, որ կակետ P(x₀; y₀; z_{0) և ուղղության վեկտոր v¯(a; b գ), ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարող է տրվել հետևյալ կերպ՝}

(x; y; z)=P + αv¯ կամ

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(ա; բ; գ)}

Այս արտահայտությունը կոչվում է ուղիղ գծի պարամետրային վեկտորային հավասարում։ α գործակիցը պարամետր է, որը կարող է ընդունել բացարձակապես ցանկացած իրական արժեք: Տողի կոորդինատները կարելի է հստակորեն ներկայացնել՝ ընդլայնելով այս հավասարությունը.

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

հարթության հավասարում

Տիեզերքում հարթության համար հավասարումը գրելու մի քանի ձև կա: Այստեղ մենք կդիտարկենք դրանցից մեկը, որն առավել հաճախ օգտագործվում է երկու հարթությունների կամ դրանցից մեկի և ուղիղ գծի միջև անկյունները հաշվարկելիս:

Եթե հայտնի է որոշ վեկտոր n¯(A; B; C), որն ուղղահայաց է ցանկալի հարթությանը, և P կետը (x₀; y ₀; z_{0), որը պատկանում է դրան, ապա վերջինիս ընդհանուր հավասարումն է.}

Ax + By + Cz + D=0 որտեղ D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Մենք բաց ենք թողել այս արտահայտության ածանցյալը, որը բավականին պարզ է: Այստեղ միայն նշում ենք, որ, իմանալով հարթության հավասարման փոփոխականների գործակիցները, հեշտությամբ կարելի է գտնել բոլոր վեկտորները, որոնք ուղղահայաց են դրան։ Վերջիններս կոչվում են նորմալներ և օգտագործվում են թեքության և հարթության և հարթության միջև ընկած անկյունները հաշվարկելիս.կամայական անալոգներ։

հարթությունների գտնվելու վայրը և նրանց միջև անկյան բանաձևը

Ենթադրենք, որ երկու ինքնաթիռ կա: Որո՞նք են տարածության մեջ նրանց հարաբերական դիրքի տարբերակները: Քանի որ ինքնաթիռն ունի երկու անսահման չափ և մեկ զրո, հնարավոր է դրանց փոխադարձ կողմնորոշման միայն երկու տարբերակ՝

դրանք զուգահեռ կլինեն միմյանց;
դրանք կարող են համընկնել:

Հարթությունների միջև անկյունը ինդեքսն է նրանց ուղղության վեկտորների միջև, այսինքն՝ n₁¯ և n_2¯.:

Ակնհայտ է, որ եթե դրանք զուգահեռ են հարթությանը, ապա նրանց միջև հատման անկյունը զրո է: Եթե հատվում են, ուրեմն ոչ զրոյական է, բայց միշտ սուր։ Խաչմերուկի հատուկ դեպք կլինի 90o անկյունը, երբ հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են միմյանց:

n₁¯ և n_{2¯ միջև α անկյունը հեշտությամբ որոշվում է այս վեկտորների սկալյար արտադրյալից: Այսինքն՝ բանաձևը տեղի է ունենում՝}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Ենթադրենք, որ այս վեկտորների կոորդինատներն են՝ n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{): Այնուհետև, օգտագործելով վեկտորների սկալյար արտադրյալը և մոդուլները դրանց կոորդինատների միջոցով հաշվարկելու բանաձևերը, վերը նշված արտահայտությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ՝}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Մոդուլը համարիչում հայտնվել է, քանի որ բացառում է բութ անկյունների արժեքները:

հարթությունների հատման անկյունը որոշելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Իմանալով, թե ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյունը, մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրը. Տրված է երկու հարթություն, որոնց հավասարումներն են՝

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Որքա՞ն է հարթությունների միջև անկյունը:

Խնդրի հարցին պատասխանելու համար հիշենք, որ հարթության ընդհանուր հավասարման փոփոխականների գործակիցները ուղեցույց վեկտորի կոորդինատներն են։ Նշված հարթությունների համար ունենք դրանց նորմալների հետևյալ կոորդինատները.

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Այժմ մենք գտնում ենք այս վեկտորների և դրանց մոդուլների սկալյար արտադրյալը, ունենք՝

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Այժմ գտնված թվերը կարող եք փոխարինել նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևով: Մենք ստանում ենք՝

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Ստացված արժեքը համապատասխանում է պայմանում նշված հարթությունների հատման սուր անկյունինառաջադրանքներ։

Այժմ դիտարկենք մեկ այլ օրինակ: Տրված է երկու հարթություն՝

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Արդյո՞ք դրանք հատվում են: Եկեք դուրս գրենք դրանց ուղղության վեկտորների կոորդինատների արժեքները, հաշվարկենք դրանց սկալյար արտադրյալը և մոդուլները՝

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Այնուհետև հատման անկյունն է՝

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Այս անկյունը ցույց է տալիս, որ հարթությունները չեն հատվում, այլ զուգահեռ են։ Այն փաստը, որ դրանք չեն համապատասխանում միմյանց, հեշտ է ստուգել: Սրա համար վերցնենք դրանցից առաջինին պատկանող կամայական կետ, օրինակ՝ P(0; 3; 2): Փոխարինեք դրա կոորդինատները երկրորդ հավասարման մեջ, ստանում ենք՝

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Այսինքն՝ P կետը պատկանում է միայն առաջին հարթությանը։

Այսպիսով, երկու հարթություններ զուգահեռ են, երբ դրանց նորմալներն են:

հարթ և ուղիղ

Հարաբերական դիրքը հարթության և ուղիղ գծի միջև դիտարկելու դեպքում կան մի քանի տարբերակներ, քան երկու հարթությունների դեպքում: Այս փաստը կապված է ուղիղ գծի միաչափ օբյեկտ լինելու հետ։ Գիծը և հարթությունը կարող են լինել՝

փոխադարձ զուգահեռ, այս դեպքում հարթությունը չի հատում ուղիղը;
վերջինս կարող է պատկանել ինքնաթիռին, մինչդեռ այն նաև զուգահեռ կլինի նրան;
երկու օբյեկտները կարող ենհատվում են ինչ-որ անկյան տակ։

Եկեք նախ դիտարկենք վերջին դեպքը, քանի որ այն պահանջում է հատման անկյան հասկացության ներդրում։

Գիծ և հարթություն, նրանց միջև անկյունը

Եթե ուղիղ գիծը հատում է հարթությունը, ապա այն կոչվում է թեքված դրա նկատմամբ: հատման կետը կոչվում է թեքության հիմք։ Այս երկրաչափական առարկաների միջև անկյունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ցանկացած կետից իջեցնել հարթությանը ուղղահայաց ուղիղը: Այնուհետև հարթության հետ ուղղահայաց հատման կետը և նրա հետ թեք գծի հատման վայրը կազմում են ուղիղ գիծ։ Վերջինս կոչվում է սկզբնական գծի պրոյեկցիա դիտարկվող հարթության վրա։ Գծի և դրա պրոյեկցիայի միջև սուր անկյունը պարտադիր է:

Հարթության և թեքության միջև անկյան որոշ չափով շփոթեցնող սահմանումը կպարզաբանի ստորև բերված նկարը:

Այստեղ ABO անկյունը AB ուղիղի և a հարթության միջև ընկած անկյունն է:

Դրա բանաձևը գրելու համար դիտարկեք օրինակ: Թող լինեն ուղիղ գիծ և հարթություն, որոնք նկարագրված ենհավասարումներով.

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Հեշտ է հաշվարկել այս օբյեկտների համար ցանկալի անկյունը, եթե գտնում եք սկալյար արտադրյալը ուղիղի և հարթության ուղղության վեկտորների միջև: Ստացված սուր անկյունը պետք է հանել 90o-ից, այնուհետև այն ստացվել է ուղիղ գծի և հարթության միջև։

Վերևի նկարը ցույց է տալիս գտնելու նկարագրված ալգորիթմըդիտարկված անկյուն. Այստեղ β-ն անկյունն է նորմալի և ուղիղի միջև, և α-ն գծի և հարթության վրա դրա ելքի միջև է: Երևում է, որ դրանց գումարը կազմում է 90o:

Վերևում ներկայացվեց մի բանաձև, որը պատասխանում է այն հարցին, թե ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյուն: Այժմ ուղիղ գծի և հարթության դեպքի համար տալիս ենք համապատասխան արտահայտությունը՝

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² 2 + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Բանաձևի մոդուլը թույլ է տալիս հաշվարկել միայն սուր անկյունները: Արկսինի ֆունկցիան հայտնվել է արկկոսինի փոխարեն՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև համապատասխան կրճատման բանաձևի կիրառման շնորհիվ (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)):

Խնդիր. ինքնաթիռը հատում է ուղիղ գիծը

Այժմ եկեք ցույց տանք, թե ինչպես աշխատել վերը նշված բանաձևի հետ: Լուծենք խնդիրը՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել y առանցքի և հարթության անկյունը տրվածհավասարմամբ։

y - z + 12=0

Այս ինքնաթիռը ներկայացված է նկարում։

Դուք կարող եք տեսնել, որ այն հատում է y և z առանցքները համապատասխանաբար (0; -12; 0) և (0; 0; 12) կետերում և զուգահեռ է x առանցքին:

Y ուղղի ուղղության վեկտորն ունի կոորդինատներ (0; 1; 0): Տվյալ հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը բնութագրվում է կոորդինատներով (0; 1; -1): Կիրառում ենք ուղիղ գծի և հարթության հատման անկյան բանաձևը, ստանում ենք՝

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Խնդիր. հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գիծ

Հիմա եկեք որոշենքնման է նախորդ խնդրին, որի հարցն այլ կերպ է դրված։ Հարթության և ուղիղ գծի հավասարումները հայտնի են՝

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Պետք է պարզել, թե արդյոք այս երկրաչափական առարկաները զուգահեռ են միմյանց:

Ունենք երկու վեկտոր՝ ուղիղ գծի ուղղությունը (0; 2; 2) է, իսկ հարթության ուղղությունը՝ (1; 1; -1): Գտեք դրանց կետային արտադրանքը՝

01 + 12 - 12=0

Ստացված զրոն ցույց է տալիս, որ այս վեկտորների միջև անկյունը 90o է, ինչը ապացուցում է, որ ուղիղը և հարթությունը զուգահեռ են:

Այժմ եկեք ստուգենք՝ արդյոք այս ուղիղը միայն զուգահեռ է, թե նաև հարթության մեջ է: Դա անելու համար ընտրեք կամայական կետ գծի վրա և ստուգեք, թե արդյոք այն պատկանում է ինքնաթիռին: Օրինակ՝ վերցնենք λ=0, ապա P(1; 0; 0) կետը պատկանում է ուղիղին։ Փոխարինեք P հարթության հավասարման մեջ:

1 - 3=-2 ≠ 0

P կետը չի պատկանում հարթությանը, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ ուղիղը նույնպես չի գտնվում դրա մեջ:

Որտե՞ղ է կարևոր իմանալ դիտարկվող երկրաչափական առարկաների միջև եղած անկյունները:

Խնդիրների լուծման վերը նշված բանաձեւերն ու օրինակները միայն տեսական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում: Դրանք հաճախ օգտագործվում են իրական եռաչափ պատկերների կարևոր ֆիզիկական քանակությունները որոշելու համար, ինչպիսիք են պրիզմաները կամ բուրգերը: Կարևոր է պատկերների ծավալները և դրանց մակերեսների մակերեսները հաշվարկելիս ինքնաթիռների միջև անկյունը որոշելը: Ընդ որում, եթե ուղիղ պրիզմայի դեպքում հնարավոր է չօգտագործել այս բանաձեւերը որոշելու համարնշված արժեքները, ապա ցանկացած տեսակի բուրգի համար դրանց օգտագործումն անխուսափելի է։

Ստորև բերեք վերը նշված տեսության օգտագործման օրինակ՝ քառակուսի հիմքով բուրգի անկյունները որոշելու համար:

Բուրգը և դրա անկյունները

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս բուրգը, որի հիմքում ընկած է a կողմ ունեցող քառակուսի: Ֆիգուրի բարձրությունը հ. Պետք է գտնել երկու անկյուն՝

կողային մակերեսի և հիմքի միջև;
կողային կողի և հիմքի միջև։

Խնդիրը լուծելու համար նախ պետք է մուտքագրել կոորդինատային համակարգ և որոշել համապատասխան գագաթների պարամետրերը։ Նկարը ցույց է տալիս, որ կոորդինատների ծագումը համընկնում է քառակուսի հիմքի կենտրոնում գտնվող կետի հետ: Այս դեպքում բազային հարթությունը նկարագրվում է հավասարմամբ՝

z=0

Այսինքն՝ ցանկացած x-ի և y-ի դեպքում երրորդ կոորդինատի արժեքը միշտ զրո է: ABC կողային հարթությունը հատում է z առանցքը B(0; 0; h) կետում, իսկ y առանցքը կետում կոորդինատներով (0; a/2; 0): Այն չի անցնում x առանցքը: Սա նշանակում է, որ ABC հարթության հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

y / (a / 2) + z / h=1 կամ

2hy + az - ah=0

Վեկտորը AB¯ կողային եզր է: Դրա սկզբի և վերջի կոորդինատներն են՝ A(a/2; a/2; 0) և B(0; 0; h): Այնուհետև բուն վեկտորի կոորդինատները՝

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Մենք գտել ենք բոլոր անհրաժեշտ հավասարումները և վեկտորները: Այժմ մնում է օգտագործել դիտարկված բանաձևերը։

Սկզբում մենք բուրգում հաշվում ենք հիմքի հարթությունների միջև ընկած անկյունըև կողմը. Համապատասխան նորմալ վեկտորներն են՝ n₁¯(0; 0; 1) և n_{2¯(0; 2h; a): Այնուհետև անկյունը կլինի՝}